沪科版九年级上册数学期中复习培优试卷（含解析）

沪科版九年级上册数学期中复习培优试卷
一、选择题。（每小题只有一个正确答案）
1．下列二次函数中，对称轴为直线x = 1的是（ ）
A．y=-x2+1 B．y= (x–1) 2 C．y= (x+1) 2 D．y =-x2-1
2．已知，则下列变形错误的是（ ）
A． B． C．4a=3b D．
3．若点A（-2，1）在反比例函数y=的图像上，则k的值是（ ）
A．2 B．-2 C． D．-
4．将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）．
A． B． C． D．
5．关于反比例函数y=，下列说法不正确的是（ ）
A．图象关于原点成中心对称 B．当x>0时，y随x的增大而减小
C．图象与坐标轴无交点 D．图象位于第二、四象限
6． 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A． B． C． D．2
7．已知二次函数y = ax2+ bx + c(a ≠0)的最小值为2，则（ ）
A．a > 0，b2 – 4ac = 0 B．a > 0，b2 – 4ac < 0
C．a < 0，b2 – 4ac = 0 D．a < 0，b2 – 4ac > 0
8．大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP >PB），如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是（ ）
A．-4 B．12- C．12+ D．+4
9．抛物线y=x2–4x+ 3上有两点A（0，y1）和B（m，y2），若y2< y1，则m的取值范围是（ ）
A．m > 0 B．m < 0 C．0 < m < 4 D．0 ≤ m < 4
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90 ，AC = BC = 4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知线段，，若b是a、c的比例中项，则c=_________
12．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则反比例函数的解析式是______．
13．如图，在平行四边形ABCD中，EF//AB，DE：EA=2：3，S△DEF=2，则S口ABCD=___________
14．下列关于二次函数y=-（x-m）2+m2+1（m为常数）的结论：
①该函数图象开口向下；②当x>0时，y随x的增大而减小；③该函数的图象一定经过坐标轴上某个定点；④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上；⑤当0≤x≤l时，若该函数有最大值2，则m=+1．其中正确结论有______个．
15．如图，点E在线段AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AC=1，AB=5，EB=2，点P是射线BD上的一个动点，则当BP=_____时，△CEA与△EPB相似．
三、解答题
16．已知，求的值．
17．已知抛物线y=-x2+2x+3
（1）请补全数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象：
x … -1 0 2 3 …
y … 0 3 3 …
（2）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1>x2>1，试比较y1与y2的大小，并说明理由．
18．如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，DE，BC的延长线相交于点F，且.
求证：.
19．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点E．
（1）请在网格图中画两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“∽”符号写出这对相似三角形；
（2）线段AE的长为 ．
20．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于M（-3，1），N（1，n）两点．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）过动点C（m，0）且垂直于x轴的直线与一次函数及反比例函数的图象分别交于D、E两点，当点E位于点D上方时，直接写出m的取值范围．
21．小浩以抛物线y=2x2-4x+8的图象为创意，设计了一款玻璃酒杯，如图为酒杯的设计图样，若D为抛物线的顶点，AB=4、DE=3，求酒杯的高CE．
22．某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利60%，市场调查发现：在以标价打八折为销售价的基础上，该种商品每星期可卖出220件，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元（x为整数），每星期的利润为y元．
（1）求该种商品每件的进价为多少元；
（2）求出当售价为多少时，每星期的利润最大，最大利润是多少？
23．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-6，0）、B（-2，0）、C（0，3）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若过点C作x轴的平行线交抛物线与点D，则点D的坐标为 ；
（3）在该抛物线上是否存在点E，使得S△CDE=S△ABC？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
24．在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值．
参考答案
1．B
【分析】
根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
【详解】
解：A、y=-x2+1的对称轴为x=0，所以选项A错误；
B、y= (x–1) 2的对称轴为x=1，所以选项B正确；
C、y= (x+1) 2的对称轴为x=﹣1，所以选项C错误；
D、y =-x2-1对称轴为x=0，所以选项D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称轴，形如y=a（x-h）2+k的顶点为（h，k），对称轴是直线x=h；也可以把抛物线解析式化为一般形式，再根据对称轴公式x=﹣求出对称轴．
2．A
【分析】
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：由得，4a=3b，
A、由等式性质可得：ab=12，原变形错误，故这个选项符合题意；
B、由等式性质得到4a=3b，原变形正确，故这个选项不符合题意；
C、由等式性质可得：4a=3b，原变形正确，故这个选项不符合题意；
D、由等式性质可得：4a=3b，原变形正确，故这个选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．
3．B
【分析】
将点代入反比例函数的解析式即可得．
【详解】
由题意，将点代入得：，
解得，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键．
4．A
【分析】
根据二次函数平移规律，即可得到答案．
【详解】
解：由“左加右减”可知，抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是，
故选A．
【点睛】
本题主要考查抛物线图像的平移，掌握函数图象的平移规则，“左加右减，上加下减”是解题的关键．
5．D
【分析】
根据反比例函数图象的性质判断即可．
【详解】
解：根据反比例函数的性质可知，图象关于原点成中心对称，图象与坐标轴无交点，所以A、C不符合题意；
因为比例系数是4，大于0，所以当x>0时，y随x的增大而减小，故B不符合题意；
因为比例系数是4，大于0，所以图象位于第一、三象限，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是掌握反比例函数图象的性质并熟练运用．
6．A
【分析】
首先根据相似的性质，可得对应边成比例，即为，又根据，可得出，据此进行求解即可．
【详解】
∵各种开本的矩形都相似，
∴矩形ABCD与矩形BFEA相似，
∴，
∴AD BF=AB AB，
又∵，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了相似多边形的的性质，相似多边形对应边之比等于相似比，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
7．B
【分析】
由二次函数有最小值2可得，二次函数开口向上且二次函数与x轴没有交点，故a>0，且一元二次方程ax2+ bx + c=0(a ≠0)无解，即b2－4ac<0．
【详解】
由二次函数有最小值可得：a>0，
由最小值为2可得：二次函数与x轴没有交点，
即一元二次方程ax2+ bx + c=0(a ≠0)无解，
∴ b2－4ac<0．
综上：a>0，b2－4ac<0．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与系数以及与一元二次方程的关系，熟记二次函数的图像与系数以及与一元二次方程的关系，数形结合是解题关键．
8．D
【分析】
根据黄金分割的定义得到AP=AB，然后把AP=8代入后可求出AB的长．
【详解】
∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP=AB，
∴AB=（cm），
故选：D．
【点睛】
本题考查了黄金分割以及分母有理化．把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB．并且线段AB的黄金分割点有两个．
9．C
【分析】
先求出当y=y1时x的值，再结合函数图象分析即可.
【详解】
当时
当y=y1时，解得
∵抛物线y=x2–4x+ 3开口向上，
∴由抛物线图像可得：当y2< y1时0 < m < 4
故选C
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的图像解不等式是解题的关键．
10．C
【分析】
过点F作FH⊥AC于H，则△AFH∽△AEC，设FH为x，由已知条件可证明△CHF是等腰直角三角形，用x分别表示出FH、CH，利用FH=CH列方程即可求出x的值，利用DF=CD-CF即可求解．
【详解】
如图，过点F作FH⊥AC于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB= ，
∵CD⊥AB，
∴CD=AD= ，
∵FH∥EC，
∴，
∵EC=EB=2，
∴，
∴设FH=，则AH=，CH=4-，
∵∠FCH=45°
∴CH=FH
∴
解得
∴
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是做垂直，构造相似三角形．
11．4
【分析】
根据比例中项的定义可得，从而易求．
【详解】
∵线段是线段、的比例中项，
∴，
∵，，
∴．
故答案是：4．
【点睛】
本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义．
12． (x＜0）
【分析】
连结OA，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【详解】
解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB=3，
∵
∴|k|=3，
∵k＜0，
∴k=-6．
∴反比例函数的解析式为 (x＜0）
故答案为 (x＜0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
13．25
【分析】
由DE：EC=2：3，得到DE：AD=2：5，再根据四边形ABCD为平行四边形，可推导得出△DEF∽△DAB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合S△DEF=2可求得S△DAB的值，继而根据平行四边形的性质即可求得答案．
【详解】
∵DE：AE=2：3，
∴DE：AD=2：5，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC，AB//CD，
∴S口ABCD=2S△DAB，
∵EF//AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴，
∵S△DEF=2，
∴S△DAB=12.5，
∴S口ABCD=2S△DAB=25．
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握相关性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
14．①③④⑤
【分析】
利用二次函数的性质一一判断即可．
【详解】
∵y=-（x-m）2+m2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论故结论①正确，②错误；
③∵在函数y=-（x-m）2+m2+1中，令x=0，则y=-m2+m2+1=1，
∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论③正确；
④∵抛物线开口向下，当x=m时，函数y有最大值m2+1，
∴该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上．故结论④正确，
⑤当时抛物线在0≤x≤l中y随x的增大而减小，此时当有最大值，最大值为；
当0≤m≤l时，此时抛物线在顶点处最大，最大值，解得，最终m=1;
当时抛物线在0≤x≤l中y随x的增大而增大，此时当有最大值，最大值为，解得m=1；
综上当0≤x≤l时，若该函数有最大值2，则m=+1．故⑤正确；
故答案为①③④⑤．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数性质，属于中考常考题型．
15．或6．
【分析】
先根据已知条件得出AE=3，再分△CAE∽△PBE和△CAE∽△EBP两种情况，利用相似三角形的对应边成比例分别求解可得．
【详解】
解：∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
又∵AB=5，EB=2，
∴AE=AB﹣EB=3，
①当△CAE∽△PBE时，，即，
解得：PB=；
②当△CAE∽△EBP时，，即，
解得：BP=6；
综上，当BP=或6时，△CEA与△EPB相似．
故答案为：或6．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．
16．-1
【分析】
设a=2k，b=3k，再代入比例式计算即可得解．
【详解】
解：∵，
∴设a=2k，b=3k，
∴===-1．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
17．（1）见解析；（2），理由见解析．
【分析】
（1）根据表格已给出的数据，可知空缺的x的值为1，然后把x=1、x=3分别代入解析式求出对应的y值，填入表格；继而根据已有数据利用描点法画出图象即可；
（2）根据二次函数的性质进行求解即可．
【详解】
（1）根据表格中已有的数据可知缺少的x的值为1，
当x=1时，y=-x2+2x+3=-1+2+3=4，
当x=3时，y=-x2+2x+3=-9+6+3=0，
所以补全表格如下：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
利用描点法画出图象如图所示：
（2），理由如下：
因为抛物线的对称轴为：x=，
a=-1<0，
所以当x>1时，y随着x的增大而减小，
因为抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1>x2>1，
所以．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，涉及了列表法表示变量间的关系，描点法画函数图象等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
18．见解析
【分析】
由对应线段成比例且夹角相等可证，根据两组对应角相等即证.
【详解】
证：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形的证明，判定相似三角形的定理有3个：①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似，由已知条件选择合适的判定定理是解题的关键.
19．（1）见解析；（2）AE=
【分析】
（1）直接利用网格结合相似三角形的判定方法得出答案；
（2）利用网格结合勾股定理以及第一问的相似三角形得出答案．
【详解】
（Ⅰ）连接AC，DB，△CAE∽△DBE；
（2），，
∵△CAE∽△DBE
∴
∴
∴AE=
【点睛】
此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AE的长是解题关键．
20．（1）y=；；（2）m＞1或-3＜m＜0
【分析】
（1）把M代入反比例函数的解析式即可求得k的值，然后求得n的值，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）先画出两函数的图象，再根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出m的取值范围．
【详解】
（1）∵点M（-3，1）和N（1，n）在反比例函数的图象上，
∴，．
∴反比例函数表达式为，
点N的坐标为N（1，），
∵点M（-3，1）和N（1，）在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数表达式为；
（2）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点M（-3，1）和N（1，），
观察函数图象可知：若过动点C（m，0）且垂直于x轴的直线分别与反比例函数图象和一次函数图象交于E、D两点，当点E位于点D上方时，
则m的取值范围是：m＞1或-3＜m＜0．
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
21．11
【分析】
首先由y=2x2-4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2-4x+8，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．
【详解】
解：∵y=2x2-4x+8=2（x-1）2+6，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），
∵AB=4，
∴B点的横坐标为x=3，
把x=3代入y=2x2-4x+8，得到y=14，
∴CD=14-6=8，
∴CE=CD+DE=8+3=11．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．
22．（1）40元；（2）售价为57或58元时，最大利润为6120元
【分析】
（1）设成本为m元，根据题意得：80×0.8-m=0.6m，即可解答；
（2）根据题意得到y=（80×0.8-x-40）（220+20x）=-20x2+260x+5280=-20（x-6.5）2+6125，利用二次函数的性质，即可解答；
【详解】
解：（1）设成本为m元，根据题意得：
80×0.8-m=0.6m
解得：m=40，
∴该种商品每件的进价为40元；
（2）y=（80×0.8-x-40）（220+20x）=-20x2+260x+5280=-20（x-6.5）2+6125，
∴当x=6.5时，y最大，
∵x为整数，
∴x1=7，x2=6，
∴当x=6或7时，y最大为6120元．
80×0.8-7=57（元），80×0.8-6=58（元），
∴当售价为57元或58元时，每星期的利润最大最大值为6120元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，关键是根据题目中的数量关系列出式子，求出函数关系式．
23．（1）y=x2+2x+3；（2）D（-8，3）；（3）（-4-4，7），（-4+4，7）或（-4，-1）
【分析】
（1）利用交点式求解析式即可；
（2）求抛物线与直线y=3的交点即可；
（3）利用CD∥AB，面积比转换成CD、AB上高的比即可，需要注意E可能在C上方也可以在下方.
【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-6，0）、B（-2，0）
∴设抛物线解析式为
∵C（0，3）在抛物线上
∴
∴解析式为
（2）当y=3时
解得
∵C（0，3）
∴D（-8，3）
（3）CD=8，AB=4，设△CDE的高为h
∵S△CDE=S△ABC
∴
∴
解得
当E在CD上方时此时E点纵坐标为3+h=7，代入抛物线解析式得，
解得
此时E点坐标为（-4-4，7），（-4+4，7）；
当E在CD下方时此时E点纵坐标为3-h=-1，代入抛物线解析式得，
解得
此时E点坐标为（-4，-1）
【点睛】
本题考查二次函数综合运用，熟练把题目转换成求二次函数自变量的值是解题的关键.
24．（1）15°；（2）；（3）
【分析】
（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到；
（2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则；
（3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．
【详解】
（1）∵矩形，
∴，
由折叠的性质可知BF=BC=2AB，，
∴，
∴，
∴
（2）由题意可得，
，
∴
∴
∴，
∴
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴；
（3）过点作于点．
∴
又∵
∴．
∴．
∵，即
∴，
又∵BM平分，，
∴NG=AN，
∴，
∴
整理得：．
【点睛】
本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题．
(
2
)
(
1
)