沪科版九年级上册数学期中复习培优试卷（含解析）

沪科版九年级上册数学期中复习培优试题
一、选择题。（每小题只有一个正确答案）
1．抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(　 　)
A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4)
2．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象与轴（ ）
A．有两个交点，且它们位于轴同侧 B．只有一个交点
C．有两个交点，且它们位于轴两侧 D．无交点
5．如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（ ）
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4
6．下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程的一个近似根是( )
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
7．如图，直线与轴交于点A，与双曲线交于点B，若，则的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一动点（与B，C不重合）连接AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E，设BP=，△PCE的面积为，则与的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN=EN．下列结论：①AN=EN，AN⊥EN；②BE+DF=EF；③∠DFE=2∠AMN；④；④图中有4对相似三角形．其中正确结论个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点D ，则矩形OABC的面积为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．8
二、填空题
11．抛物线经过点A（-3，0），B（1，0），则抛物线的对称轴是__________．
12．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为___米．
13．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的最大值为___
14．如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上,恰好完全重合,BE、CE分别交AD于点F、G，BC=6，AF：FG：GD=3：2：1，则AB的长为________．
15．若，则_______.
三、解答题
16．以A（-1，4）为顶点的二次函数的图象经过点B（2，-5），求该函数的表达式．
17．在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D
（1）求证：； （2）求线段AD的长．
18．已知函数（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上．
（2）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
19．如图，在中，，点E在边BC上移动（点E不与点B、C重合），满足，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于A（1，a）、B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
21．农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x（元/千克） 30 35 40 45 50
日销售量p（千克） 600 450 300 150 0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）
22．如图，是的高，点、分别在、上，且，交于点．设，，，．
（1）求的长；
（2）求点到的距离．
23．如图, 已知△ADE∽△ABC，且AD=6，AE=4，AB=12，求CD的长．
24．如图，一次函数y1=k1x+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，-4），连接AO，AO=5，sin∠AOC=．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积；
（3）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．
参考答案
1．A
【详解】
根据 的顶点坐标为 ，易得抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（3，4）.故选A.
2．C
【分析】
把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断
【详解】
解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；
B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；
C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；
D、变成等积式是：3x＝2y，故错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．
3．A
【分析】
先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】
抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3．
故选A．
4．C
【解析】
令y=0,求二次函数与x轴的交点,可得:,解得:
所以二次函数与x轴的交点坐标为:(－1,0),(3,0),故选C.
5．D
【详解】
试题分析：∵△ABC中，AD、BE是两条中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE=AB，
∴△EDC∽△ABC，
∴S△EDC：S△ABC=（）2=．
故选D．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.三角形中位线定理．
6．C
【详解】
解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，
故选C
考点：图象法求一元二次方程的近似根．
7．D
【解析】
因为直线与轴交于点A,所以令y=0,可得:,解得,
则OA=2b,又因为,所以B点纵坐标是:,因为B点在,所以B点坐标为(－2b,),又因为B点在直线上,所以,解得,因为直线与轴交于正半轴,所以,所以,故选D.
8．C
【解析】
过点E作EH⊥BC的延长线于点H,因为∠APB+∠EPC=90°, ∠BAP+∠APB=90°,
所以∠BAP=∠EPH,因为∠B=∠H,所以△ABP∽△PHE,设EH=a,因为∠ECH=45°, ∠H=90°,所以CH=EH=a,因为BP=x,所以CP=4-x,根据相似三角形的性质,可知,即
,整理得:,解得,所以y与x的函数关系式为:,故选C.
9．B
【详解】
将△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADH,
因为四边形ABCD是正方形,
所以AB=BC=AD, ∠BAD＝∠ABC=90°,∠ABD＝∠CBD=45°,
在△BNA和△BNC中,
,
所以△BNA≌△BNC,
所以AN=CN,
∠NEC=∠NCE=∠BAN,
因为∠NEC+∠BEN=180°,
所以∠BAN+∠BEN=180°,
所以∠ABC+∠ANE=180°,
所以∠ANE=90°,
所以AN=NE,AN⊥NE,故①正确,
因为∠3=45°, ∠1=∠4,
所以∠2+∠4=∠2+∠1=45°,
所以∠3=∠FAH=45°,
因为AF=AF,AE=AH,
所以△AFE≌△AFH,
所以EF=FH=DF+DH=DF+BE, ∠AFH=∠AFE,故②正确,
因为∠MAN=∠NDF=45°, ∠ANM=∠NDF,
所以∠AMN=∠AFD,
又因为∠AFE=∠AFD, ∠DFE=∠AFE+∠AFD
所以∠DFE=2∠AMN,故③正确,
因为∠MAN=∠EAF, ∠AMN=∠AFE,
所以△AMN∽△AFE,
所以,
所以MN,
如图2中,将△ABN绕点A逆时针旋转90°,得到△ADG,
易证△ANG≌△ANM, △GDN是直角三角形,
所以MN=GN,
所以,
所以,故④正确,
图中相似三角形有△ANE∽△BAD∽△BCD, △ANM∽△AEF, △ABN∽△FDN,
△BEM∽△DAM等,故⑤错误,故选B.
10．B
【解析】
试题分析：∵，∴OA OD=2．∵D是AB的中点，∴AB=2AD，∴矩形的面积=OA AB=2AD OA=2×2=4．故选B．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
11．
【解析】
因为二次函数与x轴的交点是关于对称轴对称的两点,根据对称性可得:抛物线的对称轴,故答案为:.
12．5
【详解】
根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知，即，解得AM=5．
∴小明的影长为5米．
13．3
【详解】
试题解析：：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，
∴a＞0．
-=-3，即b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2-4am≥0，即12a-4am≥0，即12-4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3，
14．
【解析】
因为BC=6,AF:FG:GD=3:2:1,所以AF=3,DG=1,
因为∠AFB＝∠GFE,∠A＝∠E=90°,
所以∠ABF＝∠FGE,
又因为∠FGE＝∠DGC,
所以∠ABF＝∠DGC,
因为∠A＝∠D=90°,
所以△AFB∽△DCG,
所以,
因为AB=CD,
所以即,
所以,
所以.
故答案为:.
15．或
【分析】
用含k的式子分别表示出，，，然后相加整理得到一个等式，对等式进行分析可得到k的值.
【详解】
解：，
，，
，
，
或，
当时，，
当时，，
所以，或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，解题关键在于将式子变形为.
16．
【解析】
试题分析:根据已知条件二次函数的顶点坐标A(－1,4)可设二次函数顶点式即:
,然后根据二次函数经过点B(2, －5),代入可求得a=,然后代入解析式即可求解.
试题解析:由顶点A（-1，4）,可设函数解析式为,
∵二次函数的图象过点B（2，-5）,
∴,
解得,
∴二次函数解析式为.
17．（1）见解析；（2）.
【解析】
试题分析:(1)先根据AB=AC,可证得△ABC是等腰三角形,由∠A=36°,可得∠ABC=∠C=72°,因为BD平分∠ABC交AC于点D,所以∠CBD=∠ABD=36°,
∠BDC=∠C =72°,根据等角对等边可得: AD=BD=BC, 根据∠CBD=∠A,∠C=∠C,
可判定△CBD∽△CAB,根据相似三角形对应边成比例可得:,即可求证
,(2)设AD=x,则CD=1-x,再根据,可得,
解得:.
试题解析:（1）∵AB=AC=1，∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD=36°,∠BDC=72°,
∴AD=BD=BC,
∵∠CBD=∠A,∠C=∠C,
∴△CBD∽△CAB,
∴,即
(2)由（1）得,点D是AC的一个黄金分割点,
∴AD=.
18．（1）见解析；（2）0≤z≤4．
【解析】
试题分析:先根据顶点坐标公式计算出函数（m为常数）的顶点坐标,然后把顶点坐标横坐标代入的图象上可求出对应的函数值,函数值与顶点坐标的纵坐标相等,即可证明,(2)把顶点纵坐标看成关于m的二次函数,然后根据二次函数图象性质,在﹣2≤m≤3范围内求出顶点坐标纵坐标的最大值和最小值,即可求解.
试题解析:∵的顶点坐标为 ,
把代入得:,
∴不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数的图象上,
（2）设函数,
当时,有最小值为0,
当时,随m的增大而减小,当m＞﹣1时,z随m的增大而增大,
当m=﹣2时,z=,当m=3时,z=4,
∴当﹣2≤m≤3时,该函数图象的顶点纵坐标的取值范围是0≤z≤4.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，，即可判定，根据相似三角形的判定方法即可得△BDE∽△CEF；（2）由相似三角形的性质可得，再由点E是BC的中点，可得BE=CE，即可得，又因，即可判定△CEF∽△EDF，根据相似三角形的性质可得，即可证得即FE平分∠DFC．
【详解】
解：（1）因为AB=AC,所以∠B=∠C，
因为∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
所以,
所以△BDE∽△CEF；
（2）因为△BDE∽△CEF，所以,
因为点E是BC的中点，所以BE=CE,即,
所以，又,故△CEF∽△EDF,
所以,即FE平分∠DFC．
20．（1），；（2）P ，．
【详解】
试题分析：（1）由点A在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，连接PB．由点B、D的对称性结合点B的坐标找出点D的坐标，设直线AD的解析式为y=mx+n，结合点A、D的坐标利用待定系数法求出直线AD的解析式，令直线AD的解析式中y=0求出点P的坐标，再通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论．
试题解析：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=-x+4，
得：a=-1+4，解得：a=3，
∴点A的坐标为（1，3）．
把点A（1，3）代入反比例函数y=，
得：3=k，
∴反比例函数的表达式y=，
联立两个函数关系式成方程组得：，
解得：，或，
∴点B的坐标为（3，1）．
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，连接PB，如图所示．
∵点B、D关于x轴对称，点B的坐标为（3，1），
∴点D的坐标为（3，- 1）．
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得：，
解得：，
∴直线AD的解析式为y=-2x+5．
令y=-2x+5中y=0，则-2x+5=0，
解得：x=，
∴点P的坐标为（，0）．
S△PAB=S△ABD-S△PBD=BD （xB-xA）-BD （xB-xP）
=×[1-（-1）]×（3-1）-×[1-（-1）]×（3-）
=．
考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.待定系数法求一次函数解析式；3.轴对称-最短路线问题．
21．（1）函数关系为p=﹣30x+1500；（2）这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）a的值为2．
【分析】
（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．
【详解】
（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，
则，
解得：k=﹣30，b=1500，
∴p=﹣30x+1500，
检验：当x=35，p=450；当x=45，p=150；当x=50，p=0，符合一次函数解析式，
∴所求的函数关系为p=﹣30x+1500；
（2）设日销售利润w=p（x﹣30）=（﹣30x+1500）（x﹣30）
即w=﹣30x2+2400x﹣45000，
∴当x=﹣=40时，w有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；
（3）日获利w=p（x﹣30﹣a）=（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），
即w=﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），
对称轴为x=﹣=40+a，
①若a≥10，则当x=45时，w有最大值，
即w=2250﹣150a＜2430（不合题意）；
②若a＜10，则当x=40+a时，w有最大值，
将x=40+a代入，可得w=30（a2﹣10a+100），
当w=2430时，2430=30（a2﹣10a+100），
解得a1=2，a2=-38（舍去），
综上所述，a的值为2．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是：
(1) 首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系， 任选两点求表达式，再验证猜想的正确性;
(2)根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可;
(3)根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．
22．（1）8 （2）6
【分析】
（1）由DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到AF⊥DE，根据DE∥BC，推出△ADG∽△ABF，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵，
∴∽，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）∵是的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴，
即点到的距离是6．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．CD=2．
【分析】
根据三角形相似的性质求解即可.
【详解】
∵△ADE∽△ABC，
∴．
∵AD=6，AE=4，AB=12，
∴．
∴AC=8．
∴CD=AC－AD＝8－6=2．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
24．（1）y2=-；（2）S△AOB=；（3）当x＜3时，y2＞0或y2＜-4．
【解析】
【分析】
（1）过点A作AE⊥轴于点E，在Rt△AEO中，通过解直角三角形可求出点A的坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的解析式；
（2）由反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（3）观察函数图象可得出：＜0以及0＜＜3时，的取值范围，合在一起即可得出结论．
【详解】
解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示．
在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC=，
∴AE=AO sin∠AOC=5×=3，
∴OE==4，
∴点A的坐标为（-4，3）．
∵点A在反比例函数y2=的图象上，
∴k2=-4×3=-12，
∴反比例函数的解析式为y2=-．
（2）∵点B（m，-4）反比例函数y2=-的图象上，
∴-4=-，解得：m=3，
∴点B的坐标为（3，-4）．
将A（-4，3）、B（3，-4）代入y1=k1x+b中，
，解得：，
∴直线AB的解析式为y=-x-1．
当y=-x-1=0时，x=-1，
∴点C的坐标为（-1，0），
∴S△AOB=OC （yA-yB）=×1×[3-（-4）]=．
（3）观察函数图象可知：当x＜0时，y2＞0；当0＜x＜3时，y2＜-4．
∴当x＜3时，y2＞0或y2＜-4．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）通过解直角三角形找出点A的坐标；（2）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；（3）观察函数图象，找出当＜m时，的取值范围．
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2
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