沪科版九年级上册数学期中复习培优试卷（含解析）

沪科版九年级上册数学期中复习培优试卷
一、选择题。（每小题只有一个正确答案）
1．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．轴 D．直线
2．已知（5，-1）是双曲线上的一点，则下列各点中不在该图象上的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知x:y=5:2，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为
A． B． C． D．
5．若∽，其面积比为，则与的相似比为（ ）
A． B． C． D．
6．已知：如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是 （ ）
A． B． C． D．
7．已知，那么（ ）
A．a是b 、c 的比例中项 B．c是a、b的比例中项
C．b是a、c的比例中项 D．以上都不对
8．函数的图象上有两点，，若，则（ ）
A． B．
C． D．的大小不确定
9．将抛物线的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，，，点是上的一个动点（不与、两点重合），于点，于点，点从靠近点的某一点向点移动，矩形的周长变化情况是（ ）
A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大
二、填空题
11．已知、是线段的两个黄金分割点，且，则长为_________
12．已知抛物线的顶点在y轴上，k的值______________．
13．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m．
14．二次函数的图象如图所示，以下结论:
①；
②；
③；
④；
⑤当时，总有
其中正确的有____________ （填写正确结论的序号）
15．已知，顶点、、分别与、、对应，若，，则_____度．
三、解答题
16．如图，已知抛物线y=ax2+bx－3的对称轴为直线x=1，交x轴于A，B两点，交y轴于C点，其中B点的坐标为(3，0)．
(1)直接写出A点的坐标；
(2)求二次函数y=ax2+bx－3的解析式．
17．如图是的网格，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形
（1）图1中的格点与相似吗？请说明理由．
（2）请在图2中画一个格点与相似（注意：与、都不全等）
18．已知函数（为常数）．
（1）证明：无论m取何值，该函数与轴总有两个交点；
（2）设函数的两交点的横坐标分别为和，且，求此函数的解析式．
19．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求、两点的坐标和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出当时的取值范围；
（3）求的面积．
20．如图，在等腰三角形中，，是边上一点，以为一边，向上作等腰，使，连，求证：
（1）； （2）．
21．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
22．如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，与相交于点．
（1）证明：≌；
（2）与相似吗？说说你的理由；
（3）吗？请说明理由．
23．如图，反比例函数的图象经过点A（，4），直线（）与双曲线在第二、四象限分别相交于P，Q 两点，与x轴、y 轴分别相交于C，D 两点．
（1）求k 的值；
（2）当时，求△OCD 的面积；
（3）连接OQ，是否存在实数b，使得？ 若存在，请求出b 的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：因为二次函数的对称轴是y轴，所以抛物线的对称轴是y轴，故选;C．
考点：二次函数的对称轴．
2．B
【详解】
解：因为点（5，-1）是双曲线上的一点，
将（5，-1）代入得k=-5；
四个选项中只有B不符合要求：k=5×1≠-5．
故选B．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．
3．B
【解析】
试题解析：A、由合比性质得，，故A正确；
B、由反比性质，得y：x=2：5．由分比性质得，再由反比性质得，故B错误；
C、由反比性质，得y：x=2：5．由合比性质得，再由反比性质得，故C正确；
D、由分比性质，得，故D正确；
故选B．
考点：比例的性质．
4．B
【解析】
试题分析：A、由一次函数y=ax+c的图象可得，a＞0，c＞0，此时二次函数y=ax2+c开口应向上，所以A错误；B、由一次函数y=ax+c可得，a＜0，c＞0，二次函数y=ax2+c开口应向下，在y轴上与一次函数交于同一点，符合；C、由一次函数y=ax+c可得，a＜0，c＜0，二次函数y=ax2+c开口应向下，与图不符；
D、一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c常数项相同，在y轴上应交于同一点，与图不符；故选B．
考点：1．一次函数图像的性质、2．二次函数图像的性质．
5．D
【解析】
试题分析：因为∽，且其面积比为，所以根据相似三角形的性质可得：与的相似比为，故选：D．
考点：相似三角形的性质．
6．C
【解析】
【分析】
试题分析：，又，所以△AEC∽△ABC，所以
故选C，考点：相似三角形各边之比
点评：相似三角形各边之比为常数，相等的角相对应的边成比例．
【详解】
请在此输入详解！
7．C
【解析】
试题分析：因为，所以，所以b是a、c的比例中项，故选C．
考点：比例中项
8．B
【解析】
试题分析：因为，所以对称轴为，又＜0，抛物线开口向下，所以当x＞-4时，y随x的增大而减小，因为，所以，故选：B．
考点：抛物线的性质．
9．D
【解析】
试题分析：根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，所以将抛物线的图象向右平移2个单位得，，再向下平移3个单位，得到的抛物线是，故选;D．
考点：抛物线的平移．
10．A
【详解】
试题分析：设DE=x，DF=y，因为，，，所以AB=10，又，，所以根据题意可得：△ADE∽ABC，△BDF∽BAC，所以，所以，所以，所以（0＜x＜10），所以矩形的周长l=2x+2y=2x+2（）=，所以l的值随着x的值的增大而减小，因为点从靠近点的某一点向点移动时，x的值逐渐增大，所以矩形的周长逐渐减小，故选A．
考点：1．相似三角形的判定性质、2．一次函数的应用．
11．10-20
【分析】
首先根据题意画出图形，由P、Q是线段AB的两个黄金分割点，可求得AQ与BP的长，继而求得答案．
【详解】
根据黄金分割点的概念,可知AQ=BP=×10=(5 5)cm.
则PQ=AQ+BP AB=(5 5)×2 10=(10 20)cm，
故本题答案为：(10 20).
【点睛】
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点是解题的关键.
12．-2
【解析】
试题分析：因为抛物线的顶点在轴上，所以抛物线的对称轴是y轴，所以，所以k= -2．
考点：抛物线的性质．
13．10
【分析】
要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，x的正值即为所求．
【详解】
在函数式中，令，得
，解得，（舍去），
∴铅球推出的距离是10m.
【点睛】
本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当时，x的正值代表的是铅球最终离原点的距离．
14．①②④⑤
【解析】
试题分析：观察图形可知二次函数的图象过点（1，0），所以，所以①正确；又因为二次函数的图象过点（3，0），所以对称轴是x=2，所以，所以b=-4a，所以，所以②正确；因为抛物线开口向下，所以a＜0，因为对称轴是x=2，所以a、b异号，所以b＞0，因为抛物线与y轴交于负半轴，所以c＜0，所以abc＞0，所以③错误；因为二次函数的图象与z轴有两个交点，所以＞0，所以，因此④正确；因为当x=2时，y有最大值，所以当时，总有，因此⑤正确；所以正确的有①②④⑤．
考点：二次函数图象的性质．
15．80
【分析】
由∠A=40°，∠C=60°，根据三角形的内角和定理，即可求得∠B的度数，又由△ABC∽△A1B1C1，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠B1的度数．
【详解】
解：∵∠A=40°，∠C=60°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=80°，
∵△ABC∽△A1B1C1，
∴∠B1=∠B=80°．
故答案为80．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质与三角形内角和定理．解题的关键是注意掌握相似三角形的对应角相等．
16．（1）（－1，0）；（2）
【分析】
（1）由抛物线y=ax2+bx-3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），根据二次函数的对称性，即可求得A点的坐标；
（2）利用待定系数法，将A（-1，0）、B（3，0）两点的坐标代入y=ax2+bx-3，即可求得二次函数y=ax2+bx-3的解析式.
【详解】
（1）∵抛物线对称轴为直线，
交轴于A、B两点，其中B点坐标为（3，0），
∴A点横坐标为：，
∴A点坐标为：（－1，0）
（2）将A（－1，0），B（3，0）代入得
解得：
故抛物线解析式为：
考点：1．待定系数法，2．二次函数的解析式
17．（1）△ABC∽△DEF，理由见解析（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）分别求出两个三角形的三边的长，然后利用相似三角形的判定定理证明即可；（2）在图2中画一个边长分别为的三角形即可．
试题解析：（1）△ABC∽△DEF，理由如下：
由图可知：，，，，，
则，
∴△ABC∽△DEF；
（2）△如图所示。
考点：相似三角形的判定．
18．（1）见解析（2）y＝x2－2x－8．
【解析】
试题分析：（1）证明△＝b2－4ac＞0即可；（2）利用根与系数的关系得到x1＋x2＝2m，x1x2＝－2（m＋3）代入，解方程得出m=1即可．
试题解析：（1）令y＝0，得△＝（－2m）2－4[－2（m＋3）]＝4（m＋1）2＋20＞0
∴无论m取何值，方程x2－2mx－2（m＋3）＝0总有两个不相等的实数根．
即无论m取何值，该函数与轴总有两个交点．
（2）依题意有x1＋x2＝2m，x1x2＝－2（m＋3）
由，解得m＝1．∴函数的解析式为y＝x2－2x－8．
考点：二次函数与一元二次方程．
19．（1）A（1，4）、B（4，1），；（2）x＜0或1＜x＜4；（3）
【解析】
试题分析：（1）把A（1，m）、B（4，n）代入，即可求出两点的坐标，然后把点A的坐标代入，即可求出反比例函数的解析式；（2）根据函数图象直接作答即可；（3）作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，然后根据计算即可．
试题解析：（1）将A（1，m）、B（4，n）代入，得 ，
∴A、B两点的坐标是A（1，4）、B（4，1）
把A（1，4）代入，得，故反比例函数的解析式为。
（2）由图象，得所求的x取值范围是：x＜0或1＜x＜4
（3）作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D． 则
∴= =
考点：1．一次函数、2．反比例函数与一元一次方程、3．函数图象的性质与不等式．
20．（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）由得到，然后利用角的和差关系即可证明；（2）根据条件证明∽得到，再由得到，从而得出，然后可证明结论．
试题解析： （1）
∴
（2）
∴∽
∴
∴
∴
∴
考点：相似三角形的判定与性质．
21．（1）（0＜x＜40）；（2）当x=20时，y有最大值，最大值是300平方米．
【详解】
试题分析：（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；
（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
试题解析：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，
设BE=a，则AE=2a，
∴8a+2x=80，
∴a=-x+10，3a=-x+30，
∴y=（-x+30）x=-x2+30x，
∵a=-x+10＞0，
∴x＜40，
则y=-x2+30x（0＜x＜40）；
（2）∵y=-x2+30x=-（x-20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为-＜0，
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．
考点：二次函数的应用．
22．（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证得△ABD≌△BCE；
（2）由△ABD≌△BCE得∠BAD＝∠CBE，然后可证，结合公共角，由此可以证明△AEF∽△BEA；
（3）由，结合公共角，证明∽，然后可以得到，即BD2＝AD DF．
【详解】
（1）在与中，
∵，，，
∴≌；
（2）由≌，得，
∵，
∴，
∵是与的公共角，
∴∽；
（3）∵，是与的公共角，
∴∽，
∴，即．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，有一定的综合性，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
23．（1）；（2）2；（3）．
【解析】
试题分析：（1）把A（－1，4）代入双曲线的解析式即可；
（2）由，可得到直线CD的解析式为，从而得出CO=DO=2，即可得到的值；
（3）过Q作QE⊥y轴，垂足为E．然后分①b＜0和②b＞0两种情况讨论．当b＜0时，由可知， OC=OD，∠OCD=∠ODC=45°，所以∠EDQ=∠DQE=45°，得到DE=EQ，由，可得到CO=QE，从而有Q（－b，2b），由点Q在双曲线的图象上，得到，即可得到b的值；②当b＞0时，有，综和这两种情况，得到b的值．
试题解析：（1）∵A（－1，4）在双曲线上，∴；
（2）∵，∴直线CD的解析式为，∴C（－2，0），D（0，－2），∴CO=2，DO=2，∴=CO·DO=2；
（3）过Q作QE⊥y轴，垂足为E．
①当b＜0时，由可知，C（b，0），D（0，b），∴OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=45°，∴∠EDQ=∠DQE=45°，∴DE=EQ，∵，∴CO·DO=DO·QE，∴CO=QE，∴Q（－b，2b），∵点Q在双曲线的图象上，∴，∴，∴，∵b＜0，∴；
②当b＞0时，此时；
综上所述，当时，．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
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