沪科版九年级上册数学期中复习培优试题（含解析）

沪科版九年级上册数学期中复习培优试题
一、选择题。（每小题只有一个正确答案）
1．下列各式中，y是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知3x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A．= B．= C．= D．=
3．抛物线y＝x2+1经过平移得到抛物线y＝（x+1）2，平移的方法是（　　）
A．向左平移1个，再向下平移1个单位
B．向右平移1个，再向下平移1个单位
C．向左平移1个，再向上平移1个单位
D．向右平移1个，再向上平移1个单位
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．点C是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），若AC＝2，则CB＝（　　）
A．+1 B．+3 C． D．
6．如图所示是二次函数y=ax2﹣x+a2﹣1的图象，则a的值是（ ）
A．a=﹣1 B．a= C．a=1 D．a=1或a=﹣1
7．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值如图，下列说法错误的是：（　　）
x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …
y … 10 4 0 ﹣2 ﹣2 0 …
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴的交点是（0，4）
C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小
D．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
8．某市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则企业停产的月份为（　　）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
9．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
10．已知，二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，则它的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若线段a=3 cm,b=12 cm，则a、b的比例中项c= cm．
12．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．
13．如图，矩形ABCD的顶点C，D分别在反比例函数y＝（x＞0）．y＝（x＞0）的图象上，顶点A，B在x轴上，连接OC，交DA于点E，则＝_____．
14．已知函数y＝kx2+2kx+1，当﹣3≤x≤2时，函数有最大值为4，则k＝_____．
三、解答题
15．若≠0，求代数式的值．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，3），（﹣1，0），（3，0）三点．
（1）求二次函数解析式；
（2）试说明y随x的变化情况．
17．已知和中，有,且和的周长之差为15厘米，求和的周长.
18．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，求的值．
19．直线y＝mx（m为常数）与双曲线y＝（k为常数）相交于A、B两点．
（1）若点A的横坐标为3，点B的纵坐标为﹣4．直接写出：k＝　 　，m＝　 　，mx＞的解集为　 　．
（2）若双曲线y＝（k为常数）的图象上有点C（x1，y1），D（x2，y2），当x1＜x2时，比较y1与y2的大小．
20．在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（4，0），D（1，0）．
（1）若抛物线经过A、B、D三点，求此抛物线的解析式；
（2）若（1）中的抛物线的顶点为E，连接EB，若P是EB上一动点，过P点作PM⊥AB，PN垂直于y轴，垂足分别是M、N．求矩形AMPN面积的最大值．
21．如图所示，双曲线y＝（x＞0，k＞0）与直线y＝ax+b（a≠0，b为常数）交于A（2，4），B（m，2）两点．
（1）求m的值；
（2）若C点坐标为（n，0），当AC+BC的值最小时，求出n的值；
（3）求△AOB的面积．
22．某网店经市场调查，发现进价为40元的某新型文具每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
售价x（元） 60 70 80 90 …
销售量y（件） 280 260 240 220 …
（1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是　 　（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”），并求这个函数关系式；
（2）当售价为多少元时，当月的销售利润最大，最大利润是多少；
（3）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大，最大利润是多少？
23．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．
（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．
（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】
一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数，根据二次函数的定义，可得答案．
【详解】
A、是反比例函数，错误；
B、是一次函数，错误；
C、是二次函数，正确；
D、是正比例函数，错误．故选C
2．B
【分析】
直接利用比例的性质得出x，y之间关系进而得出答案．
【详解】
A. 由得，故本选项错误；
B. 由得，故本选项正确；
C. 由得，故本选项错误；
D. 由得，故本选项错误.
故选B.
【点睛】
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
3．A
【分析】
按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律解答即可.
【详解】
解：∵y＝x2+1得到顶点坐标为（0，1），
平移后抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），
∴平移方法为：向左平移1个单位，再向下平移1个单位．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．
4．C
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，可得，解比例方程可求出EC，最后即可求出AC．
【详解】
∵DE∥BC，
∴，即，
解得：EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝4+2＝6；
故选C．
【点睛】
此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理及推论和比例的基本性质是解决此题的关键．
5．A
【分析】
把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值叫做黄金比.
【详解】
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＜CB，
∴，
∴CB＝=+1，
故选A．
【点睛】
本题考查了黄金分割的概念，熟练掌握黄金比是解答本题的关键.
6．C
【详解】
由图象得，此二次函数过原点（0，0），
把点（0，0）代入函数解析式得a2-1=0，解得a=±1；
又因为此二次函数的开口向上，所以a＞0；
所以a=1．
故选C．
7．C
【分析】
根据二次函数的性质和表格中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【详解】
解：由表格可知，
该抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴在抛物线开口向上，故选项A正确；
x＝0和x＝﹣5对应的函数值相等，故抛物线与y轴的交点是（0，4），故选项B正确；
当x＜﹣时，y随x的增大而减小，故选项C错误；
当x＞﹣时，y随x的增大而增大，故选项D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．D
【分析】
求出时n的所有的整数值即可得．
【详解】
由题意，，且n为整数
企业停产时，利润
令得
解得或
结合得，当或时，企业利润
因n为整数
则企业停产的月份为1月、2月和12月
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，正确列出所求的式子是解题关键．
9．A
【分析】
根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为4，判断方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况即是判断函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝4交点的情况．
【详解】
∵函数的顶点的纵坐标为4，
∴直线y＝4与抛物线只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c﹣4＝0有两个相等的实数根，
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握一元二次方程与二次函数间的关系是解题的关键.
10．D
【解析】
【分析】
由抛物线满足②a-b+c＜0，③b＜c，可得出a＜0，只能在C、D中选择，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
∵a-b+c＜0，b＜c
∴a＜b-c＜0
抛物线开口向下，故A、B不符合题意
C.∵对称轴直线x＝﹣>0，a<0，∴b＞0，
∵抛物线交y的负半轴，∴c＜0，∴b＞c，故C不符合题意；
D. ∵对称轴直线x＝﹣<-1，a<0，∴b＜0，
∵抛物线交y的负半轴，∴c＜0
∵抛物线与x轴无交点，
∴b2-4ac＜0
∴＞4c，
由图像可知当x=-1时，a﹣b+c＜0
，故D符合题意；
故选D．
【点睛】
此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
11．6.
【详解】
试题分析：由c是线段a,b的比例中项可得：c2=ab=12×3=36,因为c>0，所以c=6cm.故答案为6cm.
考点：成比例线段的计算.
12．10
【分析】
根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】
解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为10．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
13．
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数k的几何意义，求出矩形CBOH的面积为8，矩形ADHO的面积为3，进一步求得OA：CD=3：5，通过证得△AOE∽△DCE，得出＝＝．
【详解】
解：延长CD交y轴于点H，
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴矩形CBOH的面积为8，
∵点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴矩形ADHO的面积为3，
∴矩形ABCD的面积为：8﹣3＝5，
∴OA：CD＝3：5，
∵CD∥OA，
∴△AOE∽△DCE，
∴＝＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数k的几何意义，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，根据矩形的面积得出OA：CD=3：5是解题的关键．
14．﹣3或．
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以求得k的值．
【详解】
解：∵函数y＝kx2+2kx+1＝k（x+1）2﹣k+1，当﹣3≤x≤2时，函数有最大值为4，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，
当k＜0时，x＝﹣1时，函数取得最大值，即﹣k+1＝4，得k＝﹣3；
当k＞0时，x＝2时，函数取得最大值，即9k﹣k+1＝4，解得，k＝，
故答案为：﹣3或．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答，也考查了分类讨论的数学思想.
15．
【分析】
设x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入化简即可.
【详解】
解：设＝k≠0，
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
所以＝＝．
【点睛】
本题考查了比例的性质及比例的约分，正确设出x＝2k，y＝3k，z＝4k是解答本题的关键.
16．(1) y＝﹣x2+2x+3；(2)见解析.
【分析】
（1）把（0，3），（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c用待定系数法求解即可；
（2）通过配方化为顶点式解答即可.
【详解】
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，3），（﹣1，0），（3，0）三点，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＝1时，y有最大值为4．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确的求得函数的解析式是解题的关键．
17．分别是30厘米和45厘米.
【分析】
根据已知的三边对应成比例,得到△ABC和△DEF相似,再根据相似三角形的周长之比等于相似比,得到△ABC和△DEF的周长之比,由和的周长之差为15厘米,可出△ABC和△DEF的周长的方程，可求出答案.
【详解】
解：设和的周长分别是x厘米和y厘米.
①..
由题意可得： ②
由①式得 ③
将③式代入①式得：
...
将代入②式得：
...
答：和的周长分别是30厘米和45厘米.
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质,要求学生掌握相似三角形的相似比,周长比及面积比之间的关系,即相似三角形的对应边之比与周长之比都等于相似比,面积比等于相似比的平方.
18．1
【分析】
根据四边形ABCD是菱形得到BC∥AD，从而得到，，，代入菱形的边长为1即可求得结论.
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD
∴＝
∵CD∥AB
∴＝
∴＝＝1
又∵AB＝AD＝1，
∴
＝1．
答：的值为1．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定及平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键.
19．（1）12，，﹣3＜x＜0或x＞3；（2）y1＜y2．
【分析】
（1）根据正比例函数与双曲线的交点关于原点对称得出A（3，4），B（-3，-4），进而得出k=3×4=12，m=，然后根据图象即可求得mx＞的解集；
（2）根据反比例函数的性质即可判断．
【详解】
解：（1）∵直线y＝mx（m为常数）与双曲线y＝（k为常数）相交于A、B两点，点A的横坐标为3，点B的纵坐标为﹣4，
∴A（3，4），B（﹣3，﹣4），
∴k＝3×4＝12，m＝，
由图象可知，mx＞的解集为﹣3＜x＜0或x＞3，
故答案为12，，﹣3＜x＜0或x＞3；
（2）若点C（x1，y1），D（x2，y2）在同一象限，即x1x2＞0，y随x的增大而减小，
当x1＜x2时，则y1＞y2；
若点C（x1，y1），D（x2，y2）不在同一象限，即x1x2＜0，
当x1＜x2时，则点C（x1，y1）在第三象限，D（x2，y2）在第一象限，
则y1＜y2．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，解不等式．利用数形结合思想是解题的关键．
20．（1）y＝x2x+4；（2）最大值为．
【分析】
（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，把A（0，4）、B（4，4）、D（1，0）代入y=ax2+bx+c列方程组即可得到结论；
（2）由（1）可知，抛物线的顶点坐标E（2，-），求得直线BE的解析式为y=x-，设P点的坐标为（m，m-），根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c，
把A（0，4）、B（4，4）、D（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2x+4；；
（2）如图，
由（1）可知，抛物线的顶点坐标E（2，﹣），
设直线BE的解析式为：y=kx+b，把B为（4，4），E（2，﹣）代入得
，
∴，
∴直线BE的解析式为y＝x﹣，
∴设P点的坐标为（m，m﹣），
∴S矩形AMPN＝[4﹣（m﹣）]m﹣﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+，
∴当m＝2时，矩形AMPN面积的最大值为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确列出表示矩形AMPN面积的解析式是解（2）的关键．
21．(1)m=4;(2)n=;(3)6.
【分析】
（1）由A点坐标即可求出反比例函数，再把B点坐标代入反比函数即可求出m的值；
（2）求得B点关于x轴的对称点B′（4，-2），连接AB′，交x轴与C，此时AC+BC=AB′，AC+BC的值最小，根据待定系数法求得直线AB′的解析式，然后把（n，0）代入求得的解析式即可求得n的值；
（3）根据待定系数法求得直线AB的解析式，即可得到直线AB与x轴的交点C的坐标，然后根据S△AOB=S△AOC-S△BOC求得即可．
【详解】
解：（1）把A（2，4）代入y＝（x＞0，k＞0），
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把B（m，2）代入y＝得，2＝，
解得m＝4；
（2）由（1）可知：A（2，4），B（4，2），
∴B点关于x轴的对称点B′（4，﹣2），
连接AB′，交x轴与C，此时AC+BC＝AB′，AC+BC的值最小，
设直线AB′的解析式为y＝ax+b，
把A（2，4），B′（4，﹣2）代入得，
解得：，
∴直线AB′的解析式为y＝﹣3x+10，
把（n，0）代入得y＝﹣3n+10，
∴n＝；
（3）设直线AB的解析式为y＝mx+t，
∴把A（2，4），B（4，2）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6，
∴直线AB与x轴的交点C（6，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×6×4﹣×6×2＝6．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，以及反比例函数和一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
22．(1) 一次函数, y＝﹣2x+400 ;(2) 120元,最大利润是12800元;(3) 72元, 最大利润为8192.
【分析】
（1）利用一次函数的性质和待定系数法求解可得；
（2）根据月销售利润=单件利润乘以月销售量可得函数解析式，配方成顶点，再利用二次函数的性质求解可得；
（3）先根据获利不得高于进价的80%得出x的范围，再结合二次函数的性质求解可得．
【详解】
解：（1）由表格知，售价每增加10元，销售量对应减少20元，
所以这个函数是一次函数，
设其解析式为y＝kx+b，
根据题意，得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+400，
故答案为：一次函数；
（2）设月销售利润为W，
则W＝（x﹣40）（﹣2x+400）
＝﹣2x2+480x﹣16000
＝﹣2（x﹣120）2+12800，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝120时，W取得最大值，最大值为12800元，
故当售价为120元时，当月的销售利润最大，最大利润是12800元，
（3）∵获利不得高于进价的80%，
∴x﹣40≤80%×40，
解得：x≤72，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＜120时，W随x的增大而减小，
∴当x＝72时，W取得最大值，最大值为8192，
答：售价定为72元时，月销售利润达到最大．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质．
23．(1)-1,5;(2) y＝﹣x2+3x﹣2；(3) 2＜p＜10.
【分析】
（1）1-2=-1，故“坐标差”为-1，y-x=-x2+3x+4-x=-（x-1）2+5，故“特征值”为5；
（2）由题意得：点C（0，c），故点B、C的“指标差”相等，故点B（-c，0），把点B的坐标代入y=-x2+（1-c）x+c得：0=-（-c）2+b（-c）+c，解得：b=1-c，故：y=-x2+（1-c）x+c，故抛物线的“特征值”为-1，y-x=-x2+（1-c）x+c-x=-x2-cx+c，故=-1，即可求解；
（3）“坐标差”为2的一次函数为：y=x+2，对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），则对称轴为：-=1，解得：p=2，对于图2，把点E（7，3）代入y=-（x-m）2+m+2并解得：m=5或10（舍去10），即可求解．
【详解】
解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐标差”为﹣1，
y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”为5；
（2）由题意得：点C（0，c），且点B、C的“坐标差”相等，
故点B（﹣c，0），把点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：
0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，
解得：b＝1﹣c，
故：y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，
故抛物线的“特征值”为﹣1，
∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，
故＝﹣1．
∴c＝﹣2，b＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x﹣2；
（3）“坐标差”为2的一次函数为：y＝x+2，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在y＝x+2上，
∴设抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m+2，
当抛物线与矩形有3个交点时，如图1、2，
对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），
则对称轴为：﹣＝1，解得：p＝2，
对于图2，把点E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2并解得：
m＝5或10（舍去10），
故﹣＝5，解得：p＝10，
故二次函与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围：2＜p＜10．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法、二次函数的性质、一次函数、矩形性质等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解．
(
2
)
(
1
)