沪科版九年级上册数学期中复习培优试题（含解析）

沪科版九年级上册数学期中复习培优试题
一、选择题。（每小题只有一个正确答案）
1．若＝，则下列变形错误的是（　　）
A． B． C．3a＝2b D．2a＝3b
2．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2
3．下面四组图形中，必是相似三角形的为（　　）
A．两个直角三角形
B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形
C．有一个角为40°的两个等腰三角形
D．有一个角为100°的两个等腰三角形
4．点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，BC＝mAB，则m的值是（　　）
A． B． C． D．
5．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝3x+2 D．y＝x2﹣3
6．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（　　）
A．3.6 元 B．5 元 C．10 元 D．12 元
8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
A． B． C． D．
9．已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤，则b﹣a的最大值为（　　）
A．1 B．+1 C． D．
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
二、填空题
11．已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中项，则c＝_____cm．
12．抛物线，若其顶点在x轴上，则______．
13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为　 　．
14．等边三角形ABC中，AB＝3，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且∠BAD＝∠CBE，当BD＝1时，则AE的长为_____．
三、解答题
15．如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12．求DE的长．
16．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（4，2）．
（1）以点A （1，1）为位似中心画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1
（2）点B1的坐标为　 　；点C1的坐标为　 　．
17．二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．
18．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABD=∠ACD，试找出图中的相似三角形，并加以证明.
19．如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求水流落地点B离墙的距离OB．
20．在△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC～△FCD；
（2）若△DEF的面积为2，求△FCD的面积．
21．（阅读理解）对于任意正实数a、b，
∵≥0，
∴a﹣2+b≥0，
∴a+b≥2，（只有当a＝b时，a+b＝2）．
即当a＝b时，a+b取得最小值，且最小值为2．
根据上述内容，回答下列问题：
问题1：若m＞0，当m＝　 　时，m+有最小值为　 　；
问题2：若函数y＝a+，则当a＝　 　时，函数y＝a+有最小值为　 　；
（探索应用）已知点Q（﹣3，﹣4）是双曲线y＝上一点，过Q做QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线y＝上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值．
22．创客联盟的队员想用3D的打印完成一幅边长为6米的正方形作品ABCD，设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲打印；中心区是正方形MNPQ，用材料乙打印）．在打印厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如表：
材料 甲 乙
价格（元/米2） 50 40
设矩形的较短边AH的长为x米，打印材料的总费用为y元．
（1）MQ的长为　 　米（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当中心区的边长不小于2米时，预备资金1700元购买材料一定够用吗？请说明理由．
23．如图1矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，连接BG．
（1）求证：△ADE∽△ABF；
（2）若AB＝20，AD＝10，设DE＝x，点G到直线BC的距离为y．
①求y与x的函数关系式；②当时，x的值为　 　；
（3）如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S，四边形BCEG的面积为S1，当时，DE：DC的值为　 　．
参考答案
1．D
【分析】
根据比例的性质逐项分析即可.
【详解】
A. ∵＝，∴，故正确；
B. ∵＝，∴ ，故正确；
C. ∵＝，∴3a＝2b，故C正确，D错误；
故选D.
【点睛】
本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）.
2．A
【详解】
试题分析：根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y=（x﹣1）2+2，
故选A．
考点：二次函数图象与几何变换．
3．D
【分析】
根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质和相似三角形的判定方法即可判定.
【详解】
解：两个直角三角形不一定相似，因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；
两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似，因为这个对应角不一定是夹角；∴B不一定相似；
有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；
有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似，因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似；
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质以及相似三角形的判定，属于基础题型，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键.
4．A
【分析】
直接利用黄金分割的定义求解．
【详解】
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，
∴BC＝AB，∴m＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了黄金分割的知识，属于基础题型，熟知黄金比是是解题的关键.
5．A
【分析】
根据一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质判定即可．
【详解】
解：A、y＝，x＞0时y随x的增大而减小，故本选项正确，
B、y＝，y随x的增大而增大，故本选项错误，
C、y＝3x+2，y随x的增大而增大，故本选项错误，
D、y＝x2﹣3，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项错误.
故选：A．
【点睛】
本题考查了初中阶段常见的三种函数：一次函数，二次函数和反比例函数的性质，属于基本题型，熟练掌握三类常见函数的性质是关键.
6．C
【分析】
过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【详解】
过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此，
∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条．
故选C．
7．B
【分析】
设每件降价x元，每天获得的利润记为W元，依据：每天获得的总利润＝每件工艺品的利润×每天的销售量，列出函数关系式，配方成顶点式即可得其最值情况．
【详解】
解：设每件降价x元，每天获得的利润记为W元，
根据题意，W＝（135﹣x﹣100）（100+4x）＝﹣4x2+40x+3500＝﹣4（x﹣5）2+3600，
∵﹣4＜0，∴当x＝5时，W取得最大值，最大值为3600，
即每件降价5元时，每天获得的利润最大，最大利润为3600元．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用之销售问题，属于常考题型，正确列出二次函数的关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
8．D
【分析】
由已知条件易求得BE：BC＝1：5，由DE∥AC可证△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，可得DE：AC的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，
∴BE：EC＝1：4，∴BE：BC＝1：5，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，
∴DE：AC＝BE：BC＝1：5，
∴S△DOE：S△AOC＝（）2＝.
故选：D．
【点睛】
本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键.
9．B
【分析】
根据题意画出函数的图象如下图所示，根据图象求出当x≥0，y＝时，点B的坐标，再求出当x＜0时点C的坐标，然后计算点B的横坐标与点C的横坐标的差即为所求．
【详解】
解：函数的图象如下图所示，
当x≥0，y＝﹣时，，解得：x＝，当y＝时，x＝（负值已舍去），
故顶点A的坐标为（，﹣），点B（，）；
同理点C（，﹣）；
则b﹣a的最大值为：﹣＝1+，
故选B．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质和图象，解答本题的关键是理解题意、正确画出函数图象、灵活应用二次函数的性质求解.
10．C
【详解】
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，
∴AB===，
设PD=x，AB边上的高为h，h==，
∵PD∥BC，
∴，
∴AD=2x，AP=x，
∴S1+S2= 2x x+==，
∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，
当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．故选C．
11．2
【分析】
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负．
【详解】
解：∵c是a、b的比例中项，∴，即，所以c2＝4×1，
解得：c＝±2（线段是正数，负值舍去），则c＝2cm．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了比例中项的定义和比例的性质，属于基本题型，熟知概念是关键.
12．-1
【分析】
根据抛物线的顶点坐标即可解答.
【详解】
原式可写成y=(x-1)2-1+m
又因为顶点在x轴上，
即-1+m=0,m=1.
【点睛】
掌握抛物线一般式和顶点式之间的转化是解答本题的关键.
13．﹣16
【详解】
∵OD=2AD，
∴，
∵∠ABO=90°，DC⊥OB，
∴AB∥DC，
∴△DCO∽△ABO，
∴，
∴，
∵S四边形ABCD=10，
∴S△ODC=8，
∴OC×CD=8，
OC×CD=16，
∴k=﹣16，
故答案为﹣16．
14．2或4或或
【分析】
分四种情形分别画出图形，利用全等三角形或相似三角形的性质解决问题即可.
【详解】
解：分四种情形：
①如图1中，当点D在边BC上，点E在边AC上时．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABD＝∠BCE＝60°，
∵∠BAD＝∠CBE，
∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴BD＝EC＝1，
∴AE＝AC﹣EC＝2；
②如图2中，当点D在边BC上，点E在AC的延长线上时．作EF∥AB交BC的延长线于F．
∵∠CEF＝∠CAB＝60°，∠ECF＝∠ACB＝60°，
∴△ECF是等边三角形，
设EC＝CF＝EF＝x，
∵∠ABD＝∠BFE＝60°，∠BAD＝∠FBE，
∴△ABD∽△BFE，
∴，即，解得x＝，
∴AE＝AC+CE＝；
③如图3中，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时．
∵∠ABD＝∠BCE＝120°，AB＝BC，∠BAD＝∠CBE，
∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴EC＝BD＝1，
∴AE＝AC+EC＝4；
④如图4中，当点D在CB的延长线上，点E在边AC上时，作EF∥AB交BC于F，则△EFC是等边三角形．
设EC＝EF＝CF＝m，
由△ABD∽△BFE，可得，
∴，解得m＝，
∴AE＝AC﹣EC＝，
综上所述，满足条件的AE的值为2或4或或．
故答案为：2或4或或．
【点睛】
本题以等边三角形为载体，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质，正确分类、不重不漏的画出符合题意的图形、灵活应用全等三角形和相似三角形的判定和性质是解答的关键.
15．4
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式求解即可．
【详解】
解：∵l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12，
∴，即，解得DE＝4．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，属于基础题型，掌握定理是关键.
16．（1）见解析；（2）（3，5）；（7，3）
【分析】
（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据图形得出坐标即可．
【详解】
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）点B1的坐标为（3，5）；点C1的坐标为（7，3）．
故答案为：（3，5）；（7，3）．
【点睛】
本题考查了位似变换作图，属于基础题型，得出变换后的对应点位置是解题关键.
17．y＝2x2﹣4x﹣6
【分析】
利用待定系数法求解即可.
【详解】
解：根据题意可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，解得：a＝2，
∴该二次函数解析式为y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的的解析式，属于基本题型，熟练掌握求解的方法是关键.
18．△AOB∽△DOC，△AOD∽△BOC
【解析】
试题分析：由∠ABD=∠ACD结合对顶角相等，可证得△AOB∽△DOC，根据相似三角形的性质可得，即得，再结合对顶角相等，可证得△AOD∽△BOC.
∵∠ABD=∠ACD，∠AOB=∠DOC（对顶角相等）
∴△AOB∽△DOC
∴
∴
又∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD∽△BOC
考点：同角的余角相等，相似三角形的判定和性质
点评：相似三角形的判定在中考中往往不以单独的知识点出现，而是出现在综合性的大题中，如二次函数与圆的应用等问题，因而熟练掌握相似三角形的判定方法极为重要.
19．（1）y＝﹣3x2+6x+9；（2）3米.
【分析】
（1）先根据题意确定所求抛物线的顶点M和点A的坐标，再利用待定系数法求解；
（2）根据（1）中求得的二次函数解析式即可求解．
【详解】
解：（1）根据题意，得A（0，9），顶点M（1，12），
于是设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+12，
把A（0，9）代入，得9=a+12，解得a＝﹣3，
所以抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9．
答：抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．
（2）当y＝0时，0＝﹣3x2+6x+9，解得x1＝3，x2＝﹣1，
所以B（3，0）．
答：水流落地点B离墙的距离OB为3米．
【点睛】
本题是二次函数的应用题，正确理解题意、求出抛物线的解析式是解题关键.
20．（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）由线段垂直平分线的性质可得BE＝EC，进而可得∠ABC＝∠FCD，由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠FDC，问题即得解决；
（2）由相似三角形的性质可得AC＝2DF，S△ABC＝4S△FCD，进而可得AF＝DF，S△DEC＝S△AEC，再利用S△ABC与S△FCD的关系得出关于S△FCD的方程，即可求解．
【详解】
解：（1）∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴BE＝EC，BD＝CD＝BC，
∴∠ABC＝∠FCD，
∵AD＝AC，
∴∠ACB＝∠FDC，
∴△ABC∽△FCD；
（2）∵△ABC∽△FCD，
∴，∴，
∴AC＝2DF，S△ABC＝4S△FCD，
∴AD＝2DF， ∴AF＝DF，
∴S△DEF＝S△AEF＝2，S△DFC＝S△AFC，
∴S△DEC＝S△AEC，
∵BD＝DC，
∴S△BDE＝S△CDE＝S△DFC+2，
∵S△ABC＝4S△FCD，
∴3（S△DFC+2）＝4S△FCD，
∴S△FCD＝6.
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，第（2）小题有难度，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
21．问题1：2，4；问题2：4，7；【探索应用】四边形AQBP的面积的最小值为24.
【分析】
问题1：根据阅读材料的结论解答即可；
问题2：先变形y＝ 得，再根据阅读材料的方法和结论即可求解；
探索应用：先求出反比例函数的解析式，设出点P坐标，再用点P的横坐标表示出所求四边形面积，然后利用阅读材料提供的方法求解即可．
【详解】
解：问题1：根据题意，当m＝时，即m＝±2，∵m＞0，所以m＝2，
此时m+的最小值为2＝4.
故答案为2、4；
问题2：∵a＞1，∴，根据题意，得：
y＝，
当时，解得：，（不合题意，舍去），∴，
即当时，函数y＝a+有最小值7.
故答案为4、7；
探索应用：
因为点Q（﹣3，﹣4）是双曲线y＝上一点，所以k＝12，所以双曲线为y＝．
连接PQ，设P（x，），
所以S四边形AQBP＝×4（x+3）+×3（+4）＝2x++12≥＝12+12＝24.
当时，即x=3时“=”成立.
所以四边形AQBP的面积的最小值为24．
【点睛】
本题是阅读理解题，重点考查了反比例函数的性质和理解新知与应用新知的能力，正确理解题意、弄清阅读材料提供的方法和结论是解题的关键.
22．（1）（6﹣2x）；（2）y＝﹣40x2+240x+1440；（3）预备资金1700元购买材料一定够用．理由见解析
【分析】
（1）根据大正方形的边长减去两个小长方形的宽即可求解；
（2）根据总费用等于两种材料的费用之和即可求解；
（3）根据（2）中求得的关系式代入求解，解出x的值后再根据二次函数的性质解答．
【详解】
解：（1）根据题意，得：MQ＝AD﹣2AH＝6﹣2x．
故答案为（6﹣2x）；
（2）根据题意，得AH＝x，AE＝6﹣x，
S甲＝4S长方形AENH＝4x（6﹣x）＝24x﹣4x2，S乙＝S正方形MNQP＝（6﹣2x）2＝36﹣24x+4x2．
∴y＝50（24x﹣4x2）+40（36﹣24x+4x2）＝﹣40x2+240x+1440；
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣40x2+240x+1440．
（3）预备资金1700元购买材料一定够用．理由如下：
当y＝1700时，1700＝﹣40x2+240x+1440，解得x1＝，x2＝．
∵中心区的边长不小于2米，即6﹣2x≥2，解得x≤2，∴0＜x≤2，∴x＝.
∵y＝﹣40x2+240x+1440＝﹣40(x－3)2+1800，，对称轴是直线x=3，
∴当0＜x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当时，.
∴预备资金1700元购买材料一定够用．
【点睛】
本题是二次函数的应用问题，主要考查了根据题意列出函数关系式、正方形的性质、二次函数的性质、一元二次方程的求解等知识，正确列出二次函数关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
23．（1）见解析；（2）①，②；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．
（2）①如图1中，作GH⊥BF于H．利用三角形的中位线定理，推出EC＝2y，再根据DE+EC＝20，即可解决问题．
②由，可以假设EC＝24k，BG＝13k，利用相似三角形的性质构建方程求出k即可解决问题．
（3）如图2中，连接BE，设DE＝a，CD＝BC＝b．构建一元二次方程，即可解决问题．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ABF＝∠D＝90°，
∴∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAB＝∠DAE，
∵∠ABF＝∠D＝90°，
∴△ADE∽△ABF．
（2）①如图1中，作GH⊥BF于H．
∵∠GHF＝∠C＝90°，
∴GH∥EC，
∵FG＝GE，
∴FH＝HC，
∴EC＝2GH＝2y，
∵DE+EC＝CD＝AB＝20，
∴x+2y＝20，
∴y＝﹣x+10（0＜x＜20）．
②∵，
∴可以假设EC＝24k，BG＝13k，
∵EC＝2GH，
∴GH＝12k，
∴
∴FH＝CH＝5k+10，
∴FB＝10k+10，
∵
∴x＝20﹣24k，
∵△ADE∽△ABF，
∴
∴
∴k＝
∴x＝
故答案为
（3）如图2中，连接BE，设DE＝a，CD＝BC＝b．
易证△ADE≌△ABF，可得BF＝DE＝a，
∴
∵S＝b2，S＝4S1，
∴b2＝2b2﹣a2﹣ab，
∴a2+ab﹣b2＝0，
∴
∴或（舍弃），
∴
故答案为:
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，教育的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
(
2
)
(
1
)