沪科版九年级上册数学期中复习培优试题（含解析）

沪科版九年级上册数学期中复习培优试题
一、选择题。（每小题只有一个正确答案）
1．二次函数的对称轴是
A．直线 B．直线 C．y轴 D．x轴
2．若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
3．已知二次函数y=（x-1）2-3，则此二次函数（ ）
A．有最大值1 B．有最小值1
C．有最大值-3 D．有最小值-3
4．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2,1） B．（2，-1） C．（-2，-1） D．（-2,1）
5．如图，线段相交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中有两点，如果抛物线与线段有公共点，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A． B． C． D．
8．心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（　　）
A．8min B．13min C．20min D．25min
9．在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标为为实数)，当长取得最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
10．一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（2，1），B（，n）两点，则n﹣k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6
二、填空题
11．如图，在中，，若，则_____．
12．某水果店销售一批水果，平均每天可售出，每千克盈利元，经调查发现，每千克降价元，商店平均每天可多售出水果，则商店平均每天的最高利润为______________ 元
13．如图，在轴上方，平行于轴的直线与反比例函数和的图象分别交于两点，连接．若的面积为则 __________．
14．已知二次函数为常数)，当时，的最大值是，则的值是__________．
15．已知，则＝_____．
16．如图，函数y＝和y＝﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为_____．
三、解答题
17．抛物线的顶点为，它的形状与相同，但开口方向与之相反．
（1）直接写出抛物线的解析式 ；
（2）求抛物线与轴的交点坐标．
18．如图，正方形对角线的交点在平面直角坐标系的原点，且边与坐标轴平行或垂直，AB=4．
（1）如果反比例函数的图象经过点，求这个反比例函数的表达式；
（2）如果反比例函数的图象与正方形有公共点，请直接写出的取值范围．
19．如图，在中，分别是边上的点，连接，且，．
求证:；
如果是的中点，求的长，
20．已知中，边及边上的高的和为．
请直接写出的面积与边的长之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；
当是多少时，这个三角形面积最大？最大面积是多少？
21．如图，在中，是内一点，且
求的度数；
求的面积．
22．已知:分别是内角和外角平分线．
则的度数=_ ；
求证:；
作，交延长线于的延长线交于，求证:．
23．定义: 在平面直角坐标系中，如果点和都在某函数的图象上，则称点是图象的一对“相关点”．例如，点和点是直线的一对相关点．
请写出反比例函数的图象上的一对相关点的坐标；
如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点．
求抛物线的解析式:
若点是抛物线上的一对相关点，直线与轴交于点，点为抛物线上之间的一点，求面积的最大值．
24．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P（1，4）在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B（1，m），求k，m的值及△POB的面积．
25．如图，△ABC∽△ADE，AB=30 cm，BD=18 cm，BC=20 cm，∠BAC=75°，∠ABC=40°．
(1)求∠AED的度数．
(2)求DE的长．
参考答案
1．C
【分析】
根据顶点式y=a（x-h）2+k的对称轴是直线x=h，找出h即可得出答案．
【详解】
解：二次函数y=x2的对称轴为y轴．
故选:C ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是顶点式y=a（x-h）2+k的对称轴是直线x=h，顶点坐标为（h，k）．
2．D
【详解】
∵，
∴==，
故选D
3．D
【解析】
试题解析：∵a=1＞0，
∴二次函数y=（x-1）2-3有最小值-3．
故选D．
考点：二次函数的最值．
4．B
【解析】
【分析】
直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
【详解】
解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位所得抛物线的表达式是-1．
所以平移后抛物线的顶点坐标是（2，-1）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
5．C
【分析】
根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
∴AC=3.6，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
6．D
【分析】
分别把A、B点的坐标代入y=ax2得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．
【详解】
解：把A（1，1）代入y=ax2得a=1，
把B（3，1）代入y=ax2得a=，
所以a的取值范围为.
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
7．C
【分析】
易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得= ,=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．
【详解】
∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD，
∴= ,=，
∴+=+==1.
∵AB=1，CD=3，
∴+=1，
∴EF=.
故选C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
8．B
【分析】
先利用条件求出解析式，再变式求出最值即可解答.
【详解】
解：已知满足函数关系s＝at2＋bt＋c（a≠0），
根据图像可知经过（0,43），（20,55），（30,31），
将已知点代入解析式得s＝－0.1＋2.6t＋43,
根据函数性质得t＝－＝13时，s最大，
故选B.
【点睛】
本题主要考察求函数最值，可利用配方法，公式法等.
9．A
【分析】
由两点间的距离公式可得出PQ2关于t的二次函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可得出当PQ取最小值时t的值．
【详解】
解：由两点间的距离公式可知：PQ2=（t-1）2+（t--2）2=（t+）2+16，
∵＞0，
∴当t=时，PQ2最小．
故选：A．
【点睛】
本题考查了两点间的距离公式以及二次函数的性质，解题的关键是找出PQ2关于t的二次函数关系式．
10．C
【分析】
把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出n的值，把A、B的坐标代入一次函数y＝kx+b即可求出k的值．
【详解】
解：∵把A（2，1）代入y＝ 得：m＝2，
∴反比例函数的解析式是y＝，
∵B（，n）代入反比例函数y＝得：n＝4，
∴B的坐标是（，4），
把A、B的坐标代入一次函数y1＝kx+b，得，
解得：k＝﹣2，
∴n﹣k＝4+2＝6，
故选：C．
【点睛】
本题是一次函数和反比例函数的综合题，解答关键是应用待定系数法确定函数关系式．
11．
【分析】
由，可知：，列出比例式，即可得到答案.
【详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
选答案是：.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，根据相似三角形的性质，列出比例式是解题的关键.
12．
【分析】
设每千克降价x元，先用含x的式子表示出每天的销售量，再设商店平均每天的利润为w元，根据每千克的盈利乘以销售量等于利润，写出关于x的函数，写成顶点式，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
解：设每千克降价x元，由题意得每天的销售量为：
40+×10=（40+20x）千克，
设商店平均每天的利润为w元，由题意得：
w=（4-x）（40+20x）
=-20x2+40x+160
=-20（x-1）2+180，
∵二次项系数为-20＜0，
∴当x=1时，w取得最大值180元．
故答案为：180．
【点睛】
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系，正确列出函数关系式并明确二次函数的相关性质，是解题的关键．
13．
【分析】
根据AB∥x轴，设A（x，），B（，），得到AB=-x，根据△AOB的面积为6，列方程即可得到结论．
【详解】
解：∵AB∥x轴，
∴设A（x，），B（，），
∴AB=-x，
∵△AOB的面积为6，
∴（-x）×=6，
∴k2-k1=12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质以及反比例函数图像上的点，解题的关键是将A和B的坐标表示出来，从而得到△AOB的面积的代数式.
14．和
【分析】
根据题目中的函数解析式和当-2≤x≤4时，y的最大值是15，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决．
【详解】
解：二次函数y=-x2+mx+m=-（x-）2++m，
当4＜时，即m＞8，
在-2≤x≤4时，x=4时取得最大值，则15=-42+4m+m，得m=6.2（舍去）；
当＜-2时，即m＜-4，
在-2≤x≤4时，x=-2时取得最大值，则15=-22-2m+m，得m=-19，
当-2≤≤4时，即-4≤m≤8，
在-2≤x≤4时，x=时取得最大值，则15=+m，得m1=6，m2=-10（舍去），
由上可得，m的值是和，
故答案为：和．
【点睛】
本题考查考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．
15．
【分析】
设，然后表示出a，b，c，再进行化简即可．
【详解】
解：设．
则根据比例的性质，得a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∴＝＝；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
16．8
【详解】
解：∵点P在y=上，
∴|xp|×|yp|=|k|=1，
∴设P的坐标是（a，）（a为正数），
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是a，
∵A在y=﹣上，
∴A的坐标是（a，﹣），
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是，
∵B在y=﹣上，
∴代入得： =﹣，
解得：x=﹣3a，
∴B的坐标是（﹣3a，），
∴PA=|﹣（﹣）|=，PB=|a﹣（﹣3a）|=4a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是：PA×PB=××4a=8．
故答案为8．
【点睛】
本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P点的坐标得出A、B的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
17．（1）；（2）
【分析】
（1）由抛物线y=a（x+h）2的顶点为（-2，0），得出h=2，抛物线y=a（x+h）2的形状与y=3x2的相同，开口方向相反，得出a=-3，从而确定该抛物线的函数表达式；
（2）根据图象上点的坐标特征求得即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=a（x+h）2的顶点为（-2，0），
∴-h=-2，
∴h=2，
抛物线y=a（x+h）2的形状与y=3x2的相同，开口方向相反，
∴a=-3，
则该抛物线的函数表达式是y=-3（x+2）2；
（2）当时，，
抛物线与轴的交点坐标为．
【点睛】
主要考查了待定系数法求二次函数的解析式．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题．
18．（1）；（2） 或
【分析】
（1）根据题意得出A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）根据A、B、C、D的坐标，结合图象即可求得．
【详解】
解：（1）由题意，得，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式；
（2）由图象可知：
当反比例函数刚好经过A和C，或B和D时，k分别为4和-4，k≠0，
则如果反比例函数的图象与正方形ABCD有公共点，
k的取值范围是或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质以及反比例函数的图象，根据图象得出正方形各点的坐标是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由条件得出，根据相似三角形的判定即可求出证．
（2）由于点E是AC的中点，设AE=x，根据相似三角形的性质可知，从而列出方程解出x的值．
【详解】
解：（1）证明:
，
，
，
，
；
（2）由（1）知，
，
点是的中点，设，
，
，
，
解得(负值舍去) ．
.
【点睛】
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
20．（1）；（2）当为时，三角形面积最大，最大面积是
【分析】
（1）S=x×这边上的高，把相关数值代入化简即可；
（2）结合（1）得到的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：；
（2），
有最大值，
当==20时，有最大值为，
∴当为时，三角形面积最大，最大面积是．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的最值求法是解决本题的关键．
21．（1）90°；（2）5
【分析】
（1）根据，利用余角的性质求解；
（2）证明，得到，设PA为x，将相应边表示出来，根据AC=5求出x，即可计算△PAC的面积.
【详解】
解：（1），
；
（2）在等腰直角中，
，
，
∴，
∴，
设，
，则，
，
，
.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形，证明∠APC=90°是本题的突破点，属于中考常考题型．
22．（1）90°；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据角平分线的定义和邻补角的定义即可解得；
（2）过点C作CN∥AB交AE于点N，如图，易证CA=CN．由CN∥AB可得△ECN∽△EBA，则有，由CA=CN可得；
（3）分别延长BF、AC交于点H，证明△ABF≌△AHF，可得BF=HF，证明△BCF∽△ECG，△ACG∽△HCF，可得比例线段，则结论得证．
【详解】
解：（1）∵AD、AE分别是△ABC中∠A内角的平分线和外角平分线，
∴∠DAE=∠DAC+∠EAC
=∠BAC+∠CAF
=（∠BAC+∠CAF）
=×180°=90°．
故答案为：90°；
（2）证明：过点作交于点，如图1，
则有．
，
，
．
，
，
，
；
（3）如图2，分别延长、交于点；
为的角平分线，
；
在与中，
，
，
；
，，
，
，，
，，
，
∵，
．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，添加平行线构造相似三角形是解题的关键．
23．（1），；（2）①；②
【分析】
（1）xy=6，当x=2时，y=3，当x=3时，y=2，即可求解；
（2）①根据C（0，-1）求得c，根据x=-1，函数对称轴为：x=-=-1，解得：b=-2，即可求解；
②由“相关点”的定义，可得直线MN的表达式，求出点M、N的坐标，将△PMN面积利用S=×PQ×（xM-xN）表示出来即可求解．
【详解】
解:（1）xy=6，当x=2时，y=3，当x=3时，y=2，
故答案为：（2，3）和（3，2）；
（2）①∵抛物线的对称轴为直线，
解得，
抛物线与轴交于点，
，
抛物线的解析式为；
②由相关点定义得，点关于直线对称．
又直线与轴交于点，
直线的解析式为．
代入抛物线的解析式中，并整理，得
，
解得，，
两点坐标为和．
设点的横坐标为，则点，
过作轴交直线于点，
则点坐标为，
，
即当时，的面积最大，最大值为.
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解较为容易．
24．k=4，m=2，．
【详解】
试题分析：将点P的坐标代入C1的解析式即可求出k的值；将点B的横坐标代入C2的解析式即可求出m的值；S△POB=S△POA－S△BOA，由反比例函数k的几何意义可以分别求出S△POA、S△BOA的值.
试题解析：
∵P（1，4），∴k=4；
∵B（1，m），C2解析式为：y=，∴m=2；
S△POB=S△POA－S△BOA=2－1=1.
点睛：掌握反比例函数k的几何意义.
25．（1）65°（2）8
【详解】
试题分析：（1）∵
∴
∵△ABC∽△ADE
∴
(2) ∵
∴
又∵△ABC∽△ADE
∴ 即：
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形，掌握相似三角形的性质是解本题的关键，所以要求考生对相似三角形的性质要熟悉．
(
2
)
(
1
)