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北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章 《图形的相似》4.探索三角形相似的条件（1）
一、选择题
1．（2023·新城模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于F，连接AE，则图中与△DEF相似（不包括本身）的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·太谷模拟）在三边都不相等的的边上有一点D，过点D画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与相似，这样的直线最多可以画（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
3．（2023·立山模拟）如图，中，点D在边上，，分别交，，于点E，F，G，图中相似三角形共有（ ）．
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
4．（2023九上·平桂期末）如图，在四边形中，与相交于点O，则下列三角形中，与一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·潜山月考）下列命题中：①任意两个等腰三角形都相似；②任意两个等边三角形都相似；③任意两个直角三角形都相似；④任意两个等腰直角三角形都相似；正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
6．（2022九上·虹口期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，那么下列判断中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△CDE∽△BCD
C．△ADE∽△ACD D．△ADE∽△DBC
7．（2022·宝山模拟）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．
8．（2022·钦州模拟）如图，E是的边的延长线上一点，连接交于F，则图中共有相似三角形（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
二、填空题
9．（2023·金华模拟）如图，点P在△ABC的边AC上，请添加一个条件 ，使△ABP∽△ACB，
10．（2023九上·嵊州期末）图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）.
11．（2023·福州模拟）如图，在中，，点D在边上，点E在边上且.只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）.
12．（2022九上·沙河口期末）如图，要使，则需添加一个适当的条件是 （添一个即可）．
三、解答题
13．（2023·凤庆模拟）如图，为菱形的对角线，点E在的延长线上，且．求证：．
14．（2023·岳阳模拟）如图，点D为的边的中点，过点D作，交于点E，延长至点F，使，求证：.
15．（2023九上·福州模拟）如图，将绕点A顺时针旋转得到（为锐角），点D与点B对应，连接，.求证：.
16．（2022九上·高州月考）如图，在△ABP和△CDP中，∠B=∠C=，点P在BC上，且∠APD=，证明：△ABP△PCD．
17．（2022九上·平阴期中）如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．求证：．
18．（2022九上·乐山期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC.求证：△ADE∽△DBF．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以，，所以，，，，所以，.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得，，利用平行四边形的性质可得，，，，根据两角分别相等的两个三角形相似可证以，.
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，画直线交于点E，则；
如图，画直线交于点E，使，
∵，
∴；
如图，画直线交于点E，则；
如图，画直线交于点E，使，
∵，
∴；
∴这样的直线最多可以画4条．
故答案为：B
【分析】作∠ADE=∠B，∠ADE=∠C，∠BDE=∠A，∠BDE=∠C，可得所截得的三角形与相似 ，继而得解.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：图中共有三对相似三角形，理由如下：
，分别交、、于点E、F、G
，，．
故答案为：D．
【分析】根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得答案。
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质可得∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，由对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，然后根据相似三角形的判定定理进行解答.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①不符合题意，因为没有说明角或边相等的条件，故不一定相似；
②符合题意，因为等边三个角都相等，故两三角形相似；
③不符合题意，只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故不一定相似；
④符合题意，因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似；
所以②④符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∵DE∥BC，
∴∠BCD=∠EDC，
∵∠B=∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，故B不符合题意；
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴△ADE∽△ACD，故C不符合题意；
△ADE与△DBC不一定相似，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： △ABC与△BDE都是等边三角形，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，
∴△EAB∽△AFD.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，由平行线的性质可得∠B=∠FCE，∠DAF=∠E，由对顶角的性质可得∠AFD=∠EFC，然后根据相似三角形的判定定理进行解答.
9．【答案】∠C=∠ABP（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC与△APB中，∠A是两个三角形的公共角，要使两个三角形相似，只需要添加∠C=∠ABP即可.
故答案为：∠C=∠ABP.（答案不唯一）
【分析】由相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似，两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而题目中∠A是两个三角形的公共角，从而即可解答.
10．【答案】是
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为，
根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似，
故答案为：是
【分析】根据内角和定理求出第一个三角形另一个内角的度数，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似进行判断.
11．【答案】∠1=∠C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加∠1=∠C，
又∵，
∴，
故答案为：∠1=∠C（答案不唯一）.
【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似进行解答.
12．【答案】∠PMN=∠PRQ（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：，
只需要再加上，即可得到，
故答案为：∠PMN=∠PRQ（答案不唯一）
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
13．【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】先运用菱形的性质即可得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
14．【答案】证明：∵点D为的边的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴
∴.
【知识点】平行线的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据中点的概念可得AD=BD，由平行线分线段成比例的性质可得，则AE=CE，根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，利用SAS证明△ADE≌△CFE，得到∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，推出∠B=∠F，然后根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明.
15．【答案】解：绕点旋转得到，
，，，
，
.
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，则，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
16．【答案】证明：∵∠APD=，∠B=∠C=
∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=
∴∠BAP=∠CPD
又∵∠B=∠C
∴△ABP△PCD
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用“一线三等角”证明△ABP△PCD即可。
17．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∴．
∵
∴；
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质可得，再结合，即可得到。
18．【答案】证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
又∵DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF，
∴△ADE∽△DBF．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线性质，可得到∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，再利用两组角对应相等，可证明三角形相似.
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北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章 《图形的相似》4.探索三角形相似的条件（1）
一、选择题
1．（2023·新城模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于F，连接AE，则图中与△DEF相似（不包括本身）的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以，，所以，，，，所以，.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得，，利用平行四边形的性质可得，，，，根据两角分别相等的两个三角形相似可证以，.
2．（2023·太谷模拟）在三边都不相等的的边上有一点D，过点D画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与相似，这样的直线最多可以画（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，画直线交于点E，则；
如图，画直线交于点E，使，
∵，
∴；
如图，画直线交于点E，则；
如图，画直线交于点E，使，
∵，
∴；
∴这样的直线最多可以画4条．
故答案为：B
【分析】作∠ADE=∠B，∠ADE=∠C，∠BDE=∠A，∠BDE=∠C，可得所截得的三角形与相似 ，继而得解.
3．（2023·立山模拟）如图，中，点D在边上，，分别交，，于点E，F，G，图中相似三角形共有（ ）．
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：图中共有三对相似三角形，理由如下：
，分别交、、于点E、F、G
，，．
故答案为：D．
【分析】根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得答案。
4．（2023九上·平桂期末）如图，在四边形中，与相交于点O，则下列三角形中，与一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质可得∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，由对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，然后根据相似三角形的判定定理进行解答.
5．（2022九上·潜山月考）下列命题中：①任意两个等腰三角形都相似；②任意两个等边三角形都相似；③任意两个直角三角形都相似；④任意两个等腰直角三角形都相似；正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①不符合题意，因为没有说明角或边相等的条件，故不一定相似；
②符合题意，因为等边三个角都相等，故两三角形相似；
③不符合题意，只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故不一定相似；
④符合题意，因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似；
所以②④符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可.
6．（2022九上·虹口期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，那么下列判断中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△CDE∽△BCD
C．△ADE∽△ACD D．△ADE∽△DBC
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∵DE∥BC，
∴∠BCD=∠EDC，
∵∠B=∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，故B不符合题意；
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴△ADE∽△ACD，故C不符合题意；
△ADE与△DBC不一定相似，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
7．（2022·宝山模拟）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： △ABC与△BDE都是等边三角形，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
8．（2022·钦州模拟）如图，E是的边的延长线上一点，连接交于F，则图中共有相似三角形（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，
∴△EAB∽△AFD.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，由平行线的性质可得∠B=∠FCE，∠DAF=∠E，由对顶角的性质可得∠AFD=∠EFC，然后根据相似三角形的判定定理进行解答.
二、填空题
9．（2023·金华模拟）如图，点P在△ABC的边AC上，请添加一个条件 ，使△ABP∽△ACB，
【答案】∠C=∠ABP（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC与△APB中，∠A是两个三角形的公共角，要使两个三角形相似，只需要添加∠C=∠ABP即可.
故答案为：∠C=∠ABP.（答案不唯一）
【分析】由相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似，两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而题目中∠A是两个三角形的公共角，从而即可解答.
10．（2023九上·嵊州期末）图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）.
【答案】是
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为，
根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似，
故答案为：是
【分析】根据内角和定理求出第一个三角形另一个内角的度数，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似进行判断.
11．（2023·福州模拟）如图，在中，，点D在边上，点E在边上且.只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）.
【答案】∠1=∠C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加∠1=∠C，
又∵，
∴，
故答案为：∠1=∠C（答案不唯一）.
【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似进行解答.
12．（2022九上·沙河口期末）如图，要使，则需添加一个适当的条件是 （添一个即可）．
【答案】∠PMN=∠PRQ（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：，
只需要再加上，即可得到，
故答案为：∠PMN=∠PRQ（答案不唯一）
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
三、解答题
13．（2023·凤庆模拟）如图，为菱形的对角线，点E在的延长线上，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】先运用菱形的性质即可得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
14．（2023·岳阳模拟）如图，点D为的边的中点，过点D作，交于点E，延长至点F，使，求证：.
【答案】证明：∵点D为的边的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴
∴.
【知识点】平行线的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据中点的概念可得AD=BD，由平行线分线段成比例的性质可得，则AE=CE，根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，利用SAS证明△ADE≌△CFE，得到∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，推出∠B=∠F，然后根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明.
15．（2023九上·福州模拟）如图，将绕点A顺时针旋转得到（为锐角），点D与点B对应，连接，.求证：.
【答案】解：绕点旋转得到，
，，，
，
.
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，则，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
16．（2022九上·高州月考）如图，在△ABP和△CDP中，∠B=∠C=，点P在BC上，且∠APD=，证明：△ABP△PCD．
【答案】证明：∵∠APD=，∠B=∠C=
∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=
∴∠BAP=∠CPD
又∵∠B=∠C
∴△ABP△PCD
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用“一线三等角”证明△ABP△PCD即可。
17．（2022九上·平阴期中）如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∴．
∵
∴；
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质可得，再结合，即可得到。
18．（2022九上·乐山期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC.求证：△ADE∽△DBF．
【答案】证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
又∵DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF，
∴△ADE∽△DBF．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线性质，可得到∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，再利用两组角对应相等，可证明三角形相似.
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