北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章 《图形的相似》4.探索三角形相似的条件（2）
一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）如图，能使成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意得，，
若添加，利用两边及其夹角法可判断，故本选项符合题意；
A、B、D均不能判定，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】直接根据相似三角形的判定定理进行判断即可.
2．（2023·昔阳模拟）如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.当时，又，
，故此选项不符合题意；
B.，但不知夹角是否相等，不能证明，故此选项符合题意；
C.当时，又，
，故此选项不符合题意；
D.当时，又，
，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
3．（2023·邢台模拟）如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（ ）
A．平分 B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、 由平分可得，结合，可以证明，故此选项不符合题意；
B、由，结合，可以证明，故此选项不符合题意；
C、由，结合，不可以证明，故此选项符合题意；
D、由，结合，可以证明，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
4．（2023·金乡县模拟）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，即：
A、当时，利用两角相等，可以判定，不符合题意；
B、当时，利用两角相等，可以判定，不符合题意；
C、当时，不是两组对应边的夹角，无法判定，符合题意；
D、当时，利用两组对边对应成比例，夹角相等，可以判定，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项分析即可。
5．（2023·萧县模拟）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得，下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、若，则，，
∴，故此选项不符合题意．
B、若，，则，故此选项不符合题意；
C、若，，则，故此选项不符合题意；
D、若，其夹角不确定是否相等，则不能判定，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
6．（2022九上·河北期末）如图，在中，点Р在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
7．（2022九上·凤阳月考）如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故A选项不符合题意；
∵∠，，
∴，
∴∠DBF＝∠ECF，
∵，
∴，
故B选项不符合题意；
∵，不能推出，
∴C选项符合题意；
∵，
∴，，
∴，
故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】相似三角形的判定：两角分别相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.
8．（2022九上·济南期中）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A、三角形各角的度数都是60°，
B、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
C、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
D、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
二、填空题
9．（2022·云南模拟）在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0【答案】1.2s或3s
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图：
分两种情况来计算：
当时，，
得，
解得；
当时，，
得，
解得，
故当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似
故答案为：1.2s或3s．
【分析】由于∠QAP=∠B=90°，所以可分两种情况：①当时，，②当时，，据此分别求解即可.
10．（2021九上·永年期中）如图，已知： ， ， ，当 的长为 时， 与 相似．
【答案】3或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD=2，CD= ，
∴AC= = ．
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有 ＝ ，∴AB=3；
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有 ＝ ，∴AB=3 ．
即当AB的长为3或3 时，这两个直角三角形相似．
故答案为3或3 .
【分析】先求出AC= = ，再分类讨论求解即可。
11．（2021九上·鄄城期中）如图标记了△ABC和△DEF的边，角的一些数据，请你添加一个条件，使△ABC∽△DEF，这个条件可以是 ．（只填一个即可）
【答案】DF＝6或∠C＝60°或∠B＝35°
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）当DF＝6时，利用SAS可证明.
（2）当∠C＝60°或∠B＝35°时，利用AAA可解答.
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
12．（2020九上·青山期中）如图，已知△ABC.D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似．
【答案】4或9
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．
【分析】根据相似三角形对应边成比例求AP的长即可。
三、解答题
13．（2023九上·韩城期末）如图，点D为边上一点，连接，，，.
求证：.
【答案】证明：∵，，
∴，
∴，，即，
又∵，
∴
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由线段的和差关系可得AB=AD+BD=8，根据已知条件可得，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
14．（2023九上·府谷期末）如图，在中，，D是边上一点，.求证.
【答案】证明：∵，，
∴.
∴.
∵，
∴
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据已知条件可得，由图形可得∠A=∠A，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
15．（2022·泸县模拟）已知：、是的边、上的点，，，，，求证：.
【答案】证明：在 和 中，
∵
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ .
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用已知边的长，可知，再利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△AED.
16．（2022九上·顺义期末）如图，在中，点D在边上，且满足．请找出图中的一对相似三角形，并证明．
【答案】解：；
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等可证.
17．（2022九上·槐荫期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
【答案】证明：∵四边形是正方形
∴，
∵
∴
∵是的中点
∴
∵，
∴
∵
∴．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】先证明，再结合，可得。
18．（2022九上·西安月考）如图，E是的边BC上的点，已知，，，．求证：．
【答案】证明：，，
，
，
，
即，
．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】 由已知条件可得，根据∠BAE=∠CAD结合角的和差关系可得∠BAC=∠EAD，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
1 / 1北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章 《图形的相似》4.探索三角形相似的条件（2）
一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）如图，能使成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·昔阳模拟）如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·邢台模拟）如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（ ）
A．平分 B． C． D．
4．（2023·金乡县模拟）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·萧县模拟）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得，下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·河北期末）如图，在中，点Р在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
7．（2022九上·凤阳月考）如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022九上·济南期中）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022·云南模拟）在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（010．（2021九上·永年期中）如图，已知： ， ， ，当 的长为 时， 与 相似．
11．（2021九上·鄄城期中）如图标记了△ABC和△DEF的边，角的一些数据，请你添加一个条件，使△ABC∽△DEF，这个条件可以是 ．（只填一个即可）
12．（2020九上·青山期中）如图，已知△ABC.D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似．
三、解答题
13．（2023九上·韩城期末）如图，点D为边上一点，连接，，，.
求证：.
14．（2023九上·府谷期末）如图，在中，，D是边上一点，.求证.
15．（2022·泸县模拟）已知：、是的边、上的点，，，，，求证：.
16．（2022九上·顺义期末）如图，在中，点D在边上，且满足．请找出图中的一对相似三角形，并证明．
17．（2022九上·槐荫期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
18．（2022九上·西安月考）如图，E是的边BC上的点，已知，，，．求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意得，，
若添加，利用两边及其夹角法可判断，故本选项符合题意；
A、B、D均不能判定，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】直接根据相似三角形的判定定理进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.当时，又，
，故此选项不符合题意；
B.，但不知夹角是否相等，不能证明，故此选项符合题意；
C.当时，又，
，故此选项不符合题意；
D.当时，又，
，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、 由平分可得，结合，可以证明，故此选项不符合题意；
B、由，结合，可以证明，故此选项不符合题意；
C、由，结合，不可以证明，故此选项符合题意；
D、由，结合，可以证明，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，即：
A、当时，利用两角相等，可以判定，不符合题意；
B、当时，利用两角相等，可以判定，不符合题意；
C、当时，不是两组对应边的夹角，无法判定，符合题意；
D、当时，利用两组对边对应成比例，夹角相等，可以判定，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项分析即可。
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、若，则，，
∴，故此选项不符合题意．
B、若，，则，故此选项不符合题意；
C、若，，则，故此选项不符合题意；
D、若，其夹角不确定是否相等，则不能判定，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故A选项不符合题意；
∵∠，，
∴，
∴∠DBF＝∠ECF，
∵，
∴，
故B选项不符合题意；
∵，不能推出，
∴C选项符合题意；
∵，
∴，，
∴，
故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】相似三角形的判定：两角分别相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A、三角形各角的度数都是60°，
B、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
C、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
D、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
9．【答案】1.2s或3s
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图：
分两种情况来计算：
当时，，
得，
解得；
当时，，
得，
解得，
故当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似
故答案为：1.2s或3s．
【分析】由于∠QAP=∠B=90°，所以可分两种情况：①当时，，②当时，，据此分别求解即可.
10．【答案】3或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD=2，CD= ，
∴AC= = ．
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有 ＝ ，∴AB=3；
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有 ＝ ，∴AB=3 ．
即当AB的长为3或3 时，这两个直角三角形相似．
故答案为3或3 .
【分析】先求出AC= = ，再分类讨论求解即可。
11．【答案】DF＝6或∠C＝60°或∠B＝35°
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）当DF＝6时，利用SAS可证明.
（2）当∠C＝60°或∠B＝35°时，利用AAA可解答.
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
12．【答案】4或9
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．
【分析】根据相似三角形对应边成比例求AP的长即可。
13．【答案】证明：∵，，
∴，
∴，，即，
又∵，
∴
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由线段的和差关系可得AB=AD+BD=8，根据已知条件可得，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
14．【答案】证明：∵，，
∴.
∴.
∵，
∴
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据已知条件可得，由图形可得∠A=∠A，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
15．【答案】证明：在 和 中，
∵
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ .
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用已知边的长，可知，再利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△AED.
16．【答案】解：；
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等可证.
17．【答案】证明：∵四边形是正方形
∴，
∵
∴
∵是的中点
∴
∵，
∴
∵
∴．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】先证明，再结合，可得。
18．【答案】证明：，，
，
，
，
即，
．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】 由已知条件可得，根据∠BAE=∠CAD结合角的和差关系可得∠BAC=∠EAD，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
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