内蒙古通辽市2023年中考数学试卷
1．（2023·通辽）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是-2023，
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，根据相反数的定义计算求解即可。
2．（2023·通辽）在英语单词（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：单词polynomial中，共有字母10个，n出现了1次，
∴选出的字母为“n”的概率是.
故答案为：A.
【分析】利用n出现的次数除以单词中字母的总个数即可.
3．（2023·通辽）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．12
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABE平移得到△DCF，a=4，
∴平移距离为AD=a=4.
故答案为：B.
【分析】由平移的性质可得：平移距离为AD，据此解答.
4．（2023·通辽）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：y=2x-3，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=，
∴函数图象与x轴、y轴的交点分别为（，0）、（0，-3）.
故答案为：D.
【分析】分别令x=0、y=0，求出y、x的值，得到图象与坐标轴的交点坐标，据此判断.
5．（2023·通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴1-x≥0，
∴x≤1.
在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则1-x≥0，求出x的范围，然后根据解集的表示方法进行判断.
6．（2023·通辽）已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵y=-，
∴反比例函数的图象位于二、四象限.
∵x1<0∴点A（x1，y1）在第二象限，点B（x2，y2）在第四象限，
∴y1>0，y2<0，
∴y1-y2>0.
故答案为：D.
【分析】由反比例函数的解析式可得：其图象位于二、四象限，结合x1<00，y2<0，据此判断.
7．（2023·通辽）如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得∠B=∠ADE，AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵DE⊥AC，∠CAD=24°，
∴∠ADE=90°-24°=66°，
∴∠B=∠ADB=∠ADE=66°，
∴α=180°-∠B-∠ADB=180°-66°-66°=48°.
故答案为：C.
【分析】由旋转可得∠B=∠ADE，AB=AD，则∠B=∠ADB，根据余角的性质可得∠ADE=90°-∠CAD=66°，则∠B=∠ADB=∠ADE=66°，接下来利用内角和定理进行计算.
8．（2023·通辽）下列命题：
①；
②；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；圆周角定理；事件的分类；方差；真命题与假命题
【解析】【解答】解：a3·a2=a5，故①属于真命题；
-π<-3.14，故②属于假命题；
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故③属于假命题；
将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，故④属于假命题；
在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差不变，故⑤属于假命题.
故答案为：A.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断①；根据不等式的性质即可判断②；根据圆周角定理可判断③；根据随机事件的概念可判断④；根据方差的意义可判断⑤.
9．（2023·通辽）如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：作点D关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C，此时阴影部分的周长最小.
∵扇形AOB中，∠AOB=60°，OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠BOD=30°.
由轴对称的性质可得∠EOB=∠BOD=30°，OE=OD，
∴∠AOE=90°，
∴△AOE为等腰直角三角形.
∵OA=1，
∴AE=，弧AD==，
∴阴影部分周长的最小值为+.
故答案为：A.
【分析】作点D关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C，此时阴影部分的周长最小，由角平分线的概念可得∠AOD=∠BOD=30°，由轴对称的性质可得∠EOB=∠BOD=30°，OE=OD，进而推出△AOE为等腰直角三角形，然后根据阴影部分的周长=AE+弧AD的长进行计算.
10．（2023·通辽）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图可得：PQ是AB的垂直平分线，
∴OC为Rt△ABC斜边上的中线，
∴OC=AB，
∴OC=OA=OB，
∴点A、C、B在以AB为直径的圆上.
故答案为：D.
【分析】由作图可得：PQ是AB的垂直平分线，则O为AB的中点，OC为OC为Rt△ABC斜边上的中线，据此判断.
11．（2023·通辽）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵P（0，1），A（4，1），
∴PA=4.
由旋转可得∠APB=60°，AP=BP=4，
过点B作BC⊥y轴于点C，则∠BPC=30°
∴BC=2，PC=，
∴B（2，1+）.
设直线PB的解析式为y=kx+b，则
解得，
∴y=x+1.
当x=-1时，y=+1，故点M1不在直线PB上；
当x=-时，y=0，故点M2在直线PB上；
当x=1时，y=+1，故点M3不在直线PB上；
当x=2时，y=+1，故点M4不在直线PB上.
故答案为：B.
【分析】根据点A、P的坐标可得PA=4，由旋转可得∠APB=60°，AP=BP=4，过点B作BC⊥y轴于点C，则∠BPC=30°，BC=2，PC=，表示出点B的坐标，利用待定系数法求出直线PB的解析式，据此判断.
12．（2023·通辽）如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在正半轴，
∴a>0，b<0，c>0，
∴abc<0，故①正确；
当x=1时，y<0，则a+b+c<0，故②错误；
∵抛物线过点（2，0），
∴4a+2b+c=0，
∴b=-2a-，a=-a-c.
∵a+b+c<0，
∴a-2a-+c<0，
∴2a-c>0，
∴-a-c-c>0，
∴2a+3c<0，故③正确；
∵直线y=x+c过点（2，0）、（0，c），且y随x的增大而减小，
∴不等式ax2+bx+c故答案为：C.
【分析】由图象可得：开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在正半轴，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；由图象可得当x=1时，y<0，据此判断②；由抛物线过点（2，0）可得4a+2b+c=0，表示出a、b，结合a+b+c<0即可判断③；易得直线y=x+c过点（2，0）、（0，c），且y随x的增大而减小，结合图象即可判断④.
13．（2023·通辽）已知一组数据：3，4，5，5，6，则这组数据的众数是 ．
【答案】5
【知识点】众数
【解析】【解答】解：5出现了2次，出现的次数最多，故众数为5.
故答案为：5.
【分析】找出出现次数最多的数据即为众数.
14．（2023·通辽）将一副三角尺如图所示放置，其中，则 度．
【答案】105
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠BDE=∠B=30°，
∴∠CDF=180°-∠BDE-∠FDE=180°-30°-45°=105°.
故答案为：105.
【分析】由平行线的性质可得∠BDE=∠B=30°，然后根据平角的概念进行计算.
15．（2023·通辽）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用等式的性质解一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵3x+7=32-2x，
∴5x=25，
∴x=5.
①+②，得a+b=-4，
∴Q（5，-4），
∴点Q关于y轴的对称点Q′的坐标为（-5，-4）.
故答案为：（-5，-4）.
【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤可得x的值，将方程组中的两个方程相加可得a+b的值，据此可得点Q的坐标，然后根据关于y轴对称点的坐标特征就可得到点Q′的坐标.
16．（2023·通辽）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．
【答案】1
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设点P需运动t秒，点D落在边BC上，
∵△PQD为等边三角形，
∴∠DPQ=60°，
∴∠BPD=180°-∠APQ-∠DPQ=180°-90°-60°=30°，
∴∠BDP=180°-∠B-∠BPD=180°-60°-30°=90°，∠AQP=180°-∠APQ-∠A=180°-90°-60°=30°.
∵∠BDP=∠APQ，∠BPD=∠AQP=30°，DP=PQ，
∴△BDP≌△APQ（ASA），
∴BP=AB-AP=6-2t，BD=AP=2t.
∵∠BPD=30°，
∴BD=BP，
∴2t=(6-2t)，
解得t=1.
故答案为：1.
【分析】设点P需运动t秒，点D落在边BC上，由等边三角形的性质可得∠DPQ=60°，由平角的概念可得∠BPD=30°，结合内角和定理可得∠BDP=90°，∠AQP=30°，利用ASA证明△BDP≌△APQ，得到BP=AB-AP=6-2t，BD=AP=2t，根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=BP，据此求解.
17．（2023·通辽）某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与所在圆相切于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB.
∵∠P=60°，
∴∠AOB=120°，且△AOB为等边三角形，
∴优弧AMB对应的圆心角的度数为360°-120°=240°，AB=OA=，
∴优弧AMB的面积为=，S△PAB=×()2=，S△AOB=×102=∴主视图的面积=++=+.
故答案为：+.
【分析】连接OA、OB，则∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠AOB=120°，且△AOB为等边三角形，优弧AMB对应的圆心角的度数为360°-120°=240°，AB=OA=，然后根据S主视图=优弧AMB的面积+S△PAB+S△AOB进行计算.
18．（2023·通辽）计算：．
【答案】解：，
，
．
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值以及二次根式的性质可得原式=9+1-10，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
19．（2023·通辽）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ……
（1）上面的运算过程中第 步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）一
（2）解：
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1）分析每步的过程，即可得到错误的地方；
（2）对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可.
20．（2023·通辽）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：．）
【答案】解：设与灯塔P的正东方向相交于点C，
根据题意，得，，；
在中，
∵，
∴；
在中，，
∵，
∴，
答：B处距离灯塔P大约有．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】设AB与灯塔P的正东方向相交于点C，根据题意得∠A=72°，∠B=40°，AP=100，利用三角函数的概念可得PC、PB，据此解答.
21．（2023·通辽）党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示．×××中学在第个“世界读书日”到来之际，对全校名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
调查方式 抽样调查 调查对象 ×××中学部分学生
平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A.8小时以上 B.6-8小时 C.4~6小时 D.0~4小时
请解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数；
（2）求图2中扇形A所占百分比；
（3）估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数；
（4）在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率．
【答案】（1）在这次调查中一共抽查学生（人），
即参与本次抽样调查的学生人数为300人．
（2）扇形A所占百分比为，
即扇形A所占百分比为．
（3）平均每周阅读课外书的时间在“小时”所占的百分比为，
∴（人），
即该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数为320人．
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中《西游记》被选中的结果有6种，
∴《西游记》被选中的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）利用D的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）利用A所占圆心角的度数除以360°，然后乘以100%可得所占的比例；
（3）根据百分比之和为1求出平均每周阅读课外书的时间在6~8h所占的比例，然后乘以2000即可；
（4）画出树状图，找出总情况数以及《西游记》被选中的情况数，然后根据概率公式进行计算.
22．（2023·通辽）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．
（1）如图1，当点M在上时， 度；
（2）改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）30
（2）解：结论：，理由如下：
∵四边形是正方形，
，．
由折叠可得：，，
，．
又，
，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）由折叠可得AE=BE=AB，∠AEM=∠BEM=90°，AB=BM，
∴BE=BM，
∴∠EMB=30°.
故答案为：30.
【分析】（1）由折叠可得AE=BE=AB，∠AEM=∠BEM=90°，AB=BM，则BE=BM，据此不难得到∠EMB的度数；
（2）根据正方形的性质可得AB=BC，∠BAD=∠C=90°，由折叠可得AB=BM，∠BAD=∠BMP=90°，则BM=BC，∠BMQ=∠C=90°，利用HL证明△BCQ≌△BMQ，据此解答.
23．（2023·通辽）如图，为的直径，D，E是上的两点，延长至点C，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，求的半径．
【答案】（1）证明：∵，，
∴；
（2）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
∴的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠BDC=∠A，根据图形可得∠ACD=∠DCB，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）连接OD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ABD=∠ODB，由已知条件可知∠BDC=∠A，结合∠A+∠ABD=90°可得∠ODC=90°，据此证明；
（3）根据三角函数的概念可得，结合相似三角形的性质可得CD、BC，然后根据AB=AC-BC进行计算.
24．（2023·通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【答案】（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，
由题意可得：，
解得：
经检验，是分式方程的解
每台A型机器每天搬运吨
答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
（2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台
由题意可得：，
解得：，
公司采购金额：
∵
∴w随m的增大而减小
∴当时，公司采购金额w有最小值，即，
∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运(x-10)吨，每台A型机器搬运450吨货物所需时间为，每台B型机器搬运500吨货物所需时间为，然后根据时间相同建立方程，求解即可；
（2）设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器(30-m)台，根据每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元可得关于m的不等式组，求出m的范围，由每台A型机器售价×台数+每台B型机器售价×台数=总费用可得W与m的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答.
25．（2023·通辽）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足且，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的通分；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=-=，x1x2==-.
故答案为：，-.
【分析】（1）直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答；
（2）根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-，然后根据m2+n2=(m+n)2-2mn进行计算；
（3）由题意可得：s、t可以看作方程2x2+3x-1=0的两个根，则s+t=，st=-，根据(t-s)2=(t+s)2-4st可求出t-s的值，对待求式通分可得，据此计算.
26．（2023·通辽）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接．
①如图，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；
②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，请直接写出四边形的周长．
【答案】（1）∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴把，代入得，
，
解得，，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）①设，过点作于点，如图，
∴
∵
∴
∵轴，
∴
又
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴（不合题意，舍去）
∴
∴；
②设，
对于，当时，
解得，
∴
∵
由勾股定理得，
当点在第三象限时，如图，过点作轴于点，
则四边形是矩形，
∵点与点关于对称，
∴
∵轴，
∴
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵
∴
∴
∴
∴
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
又且
∴
解得，（舍去）
∴
∴四边形的周长；
当点在第二象限时，如图，
同理可得：
解得，（舍去）
∴
∴四边形的周长；
综上，四边形的周长为或．
【知识点】菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将A（1，0）、C（0，-4）代入y=ax2+x+c中求出a、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①设P（x，x2+x-4），过点C作CE⊥PD于点E，根据点C的坐标可得OC=4，易得四边形DOCE是矩形，则DE=OC=4，DO=CE=-x，PE=PD-DE=-x2-x，根据三角函数的概念可得x的值，进而可得点P的坐标；
②设P（m，m2+m-4），由勾股定理可得BC的值，当点P在第三象限时，过点E作EF⊥y轴于点F，则四边形DEFO是矩形，EF=DO=-m，根据轴对称的性质可得∠ECP=∠E′CP，CE=CE′，根据平行线的性质可得∠EPC=∠PCE′，进而推出PE=CE′，得到四边形PECE′是菱形，根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△CEF∽△CBO，利用相似三角形的性质可得CE=m，求出直线BC的解析式，可得E（m，-m-4），表示出PE，根据CE=m且PE=CE可求出m的值，据此不难求出四边形PECE′的周长；当点P在第二象限时，同理求解即可.
1 / 1内蒙古通辽市2023年中考数学试卷
1．（2023·通辽）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·通辽）在英语单词（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“”的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·通辽）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．12
4．（2023·通辽）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·通辽）已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·通辽）如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·通辽）下列命题：
①；
②；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023·通辽）如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·通辽）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
11．（2023·通辽）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·通辽）如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2023·通辽）已知一组数据：3，4，5，5，6，则这组数据的众数是 ．
14．（2023·通辽）将一副三角尺如图所示放置，其中，则 度．
15．（2023·通辽）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 ．
16．（2023·通辽）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．
17．（2023·通辽）某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为 ．
18．（2023·通辽）计算：．
19．（2023·通辽）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ……
（1）上面的运算过程中第 步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
20．（2023·通辽）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：．）
21．（2023·通辽）党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示．×××中学在第个“世界读书日”到来之际，对全校名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
调查方式 抽样调查 调查对象 ×××中学部分学生
平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A.8小时以上 B.6-8小时 C.4~6小时 D.0~4小时
请解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数；
（2）求图2中扇形A所占百分比；
（3）估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数；
（4）在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率．
22．（2023·通辽）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．
（1）如图1，当点M在上时， 度；
（2）改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
23．（2023·通辽）如图，为的直径，D，E是上的两点，延长至点C，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，求的半径．
24．（2023·通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
25．（2023·通辽）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足且，求的值．
26．（2023·通辽）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接．
①如图，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；
②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，请直接写出四边形的周长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是-2023，
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，根据相反数的定义计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：单词polynomial中，共有字母10个，n出现了1次，
∴选出的字母为“n”的概率是.
故答案为：A.
【分析】利用n出现的次数除以单词中字母的总个数即可.
3．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABE平移得到△DCF，a=4，
∴平移距离为AD=a=4.
故答案为：B.
【分析】由平移的性质可得：平移距离为AD，据此解答.
4．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：y=2x-3，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=，
∴函数图象与x轴、y轴的交点分别为（，0）、（0，-3）.
故答案为：D.
【分析】分别令x=0、y=0，求出y、x的值，得到图象与坐标轴的交点坐标，据此判断.
5．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴1-x≥0，
∴x≤1.
在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则1-x≥0，求出x的范围，然后根据解集的表示方法进行判断.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵y=-，
∴反比例函数的图象位于二、四象限.
∵x1<0∴点A（x1，y1）在第二象限，点B（x2，y2）在第四象限，
∴y1>0，y2<0，
∴y1-y2>0.
故答案为：D.
【分析】由反比例函数的解析式可得：其图象位于二、四象限，结合x1<00，y2<0，据此判断.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得∠B=∠ADE，AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵DE⊥AC，∠CAD=24°，
∴∠ADE=90°-24°=66°，
∴∠B=∠ADB=∠ADE=66°，
∴α=180°-∠B-∠ADB=180°-66°-66°=48°.
故答案为：C.
【分析】由旋转可得∠B=∠ADE，AB=AD，则∠B=∠ADB，根据余角的性质可得∠ADE=90°-∠CAD=66°，则∠B=∠ADB=∠ADE=66°，接下来利用内角和定理进行计算.
8．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；圆周角定理；事件的分类；方差；真命题与假命题
【解析】【解答】解：a3·a2=a5，故①属于真命题；
-π<-3.14，故②属于假命题；
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故③属于假命题；
将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，故④属于假命题；
在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差不变，故⑤属于假命题.
故答案为：A.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断①；根据不等式的性质即可判断②；根据圆周角定理可判断③；根据随机事件的概念可判断④；根据方差的意义可判断⑤.
9．【答案】A
【知识点】弧长的计算；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：作点D关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C，此时阴影部分的周长最小.
∵扇形AOB中，∠AOB=60°，OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠BOD=30°.
由轴对称的性质可得∠EOB=∠BOD=30°，OE=OD，
∴∠AOE=90°，
∴△AOE为等腰直角三角形.
∵OA=1，
∴AE=，弧AD==，
∴阴影部分周长的最小值为+.
故答案为：A.
【分析】作点D关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C，此时阴影部分的周长最小，由角平分线的概念可得∠AOD=∠BOD=30°，由轴对称的性质可得∠EOB=∠BOD=30°，OE=OD，进而推出△AOE为等腰直角三角形，然后根据阴影部分的周长=AE+弧AD的长进行计算.
10．【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图可得：PQ是AB的垂直平分线，
∴OC为Rt△ABC斜边上的中线，
∴OC=AB，
∴OC=OA=OB，
∴点A、C、B在以AB为直径的圆上.
故答案为：D.
【分析】由作图可得：PQ是AB的垂直平分线，则O为AB的中点，OC为OC为Rt△ABC斜边上的中线，据此判断.
11．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵P（0，1），A（4，1），
∴PA=4.
由旋转可得∠APB=60°，AP=BP=4，
过点B作BC⊥y轴于点C，则∠BPC=30°
∴BC=2，PC=，
∴B（2，1+）.
设直线PB的解析式为y=kx+b，则
解得，
∴y=x+1.
当x=-1时，y=+1，故点M1不在直线PB上；
当x=-时，y=0，故点M2在直线PB上；
当x=1时，y=+1，故点M3不在直线PB上；
当x=2时，y=+1，故点M4不在直线PB上.
故答案为：B.
【分析】根据点A、P的坐标可得PA=4，由旋转可得∠APB=60°，AP=BP=4，过点B作BC⊥y轴于点C，则∠BPC=30°，BC=2，PC=，表示出点B的坐标，利用待定系数法求出直线PB的解析式，据此判断.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在正半轴，
∴a>0，b<0，c>0，
∴abc<0，故①正确；
当x=1时，y<0，则a+b+c<0，故②错误；
∵抛物线过点（2，0），
∴4a+2b+c=0，
∴b=-2a-，a=-a-c.
∵a+b+c<0，
∴a-2a-+c<0，
∴2a-c>0，
∴-a-c-c>0，
∴2a+3c<0，故③正确；
∵直线y=x+c过点（2，0）、（0，c），且y随x的增大而减小，
∴不等式ax2+bx+c故答案为：C.
【分析】由图象可得：开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在正半轴，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；由图象可得当x=1时，y<0，据此判断②；由抛物线过点（2，0）可得4a+2b+c=0，表示出a、b，结合a+b+c<0即可判断③；易得直线y=x+c过点（2，0）、（0，c），且y随x的增大而减小，结合图象即可判断④.
13．【答案】5
【知识点】众数
【解析】【解答】解：5出现了2次，出现的次数最多，故众数为5.
故答案为：5.
【分析】找出出现次数最多的数据即为众数.
14．【答案】105
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠BDE=∠B=30°，
∴∠CDF=180°-∠BDE-∠FDE=180°-30°-45°=105°.
故答案为：105.
【分析】由平行线的性质可得∠BDE=∠B=30°，然后根据平角的概念进行计算.
15．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用等式的性质解一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵3x+7=32-2x，
∴5x=25，
∴x=5.
①+②，得a+b=-4，
∴Q（5，-4），
∴点Q关于y轴的对称点Q′的坐标为（-5，-4）.
故答案为：（-5，-4）.
【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤可得x的值，将方程组中的两个方程相加可得a+b的值，据此可得点Q的坐标，然后根据关于y轴对称点的坐标特征就可得到点Q′的坐标.
16．【答案】1
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设点P需运动t秒，点D落在边BC上，
∵△PQD为等边三角形，
∴∠DPQ=60°，
∴∠BPD=180°-∠APQ-∠DPQ=180°-90°-60°=30°，
∴∠BDP=180°-∠B-∠BPD=180°-60°-30°=90°，∠AQP=180°-∠APQ-∠A=180°-90°-60°=30°.
∵∠BDP=∠APQ，∠BPD=∠AQP=30°，DP=PQ，
∴△BDP≌△APQ（ASA），
∴BP=AB-AP=6-2t，BD=AP=2t.
∵∠BPD=30°，
∴BD=BP，
∴2t=(6-2t)，
解得t=1.
故答案为：1.
【分析】设点P需运动t秒，点D落在边BC上，由等边三角形的性质可得∠DPQ=60°，由平角的概念可得∠BPD=30°，结合内角和定理可得∠BDP=90°，∠AQP=30°，利用ASA证明△BDP≌△APQ，得到BP=AB-AP=6-2t，BD=AP=2t，根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=BP，据此求解.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与所在圆相切于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB.
∵∠P=60°，
∴∠AOB=120°，且△AOB为等边三角形，
∴优弧AMB对应的圆心角的度数为360°-120°=240°，AB=OA=，
∴优弧AMB的面积为=，S△PAB=×()2=，S△AOB=×102=∴主视图的面积=++=+.
故答案为：+.
【分析】连接OA、OB，则∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠AOB=120°，且△AOB为等边三角形，优弧AMB对应的圆心角的度数为360°-120°=240°，AB=OA=，然后根据S主视图=优弧AMB的面积+S△PAB+S△AOB进行计算.
18．【答案】解：，
，
．
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值以及二次根式的性质可得原式=9+1-10，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
19．【答案】（1）一
（2）解：
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1）分析每步的过程，即可得到错误的地方；
（2）对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可.
20．【答案】解：设与灯塔P的正东方向相交于点C，
根据题意，得，，；
在中，
∵，
∴；
在中，，
∵，
∴，
答：B处距离灯塔P大约有．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】设AB与灯塔P的正东方向相交于点C，根据题意得∠A=72°，∠B=40°，AP=100，利用三角函数的概念可得PC、PB，据此解答.
21．【答案】（1）在这次调查中一共抽查学生（人），
即参与本次抽样调查的学生人数为300人．
（2）扇形A所占百分比为，
即扇形A所占百分比为．
（3）平均每周阅读课外书的时间在“小时”所占的百分比为，
∴（人），
即该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数为320人．
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中《西游记》被选中的结果有6种，
∴《西游记》被选中的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）利用D的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）利用A所占圆心角的度数除以360°，然后乘以100%可得所占的比例；
（3）根据百分比之和为1求出平均每周阅读课外书的时间在6~8h所占的比例，然后乘以2000即可；
（4）画出树状图，找出总情况数以及《西游记》被选中的情况数，然后根据概率公式进行计算.
22．【答案】（1）30
（2）解：结论：，理由如下：
∵四边形是正方形，
，．
由折叠可得：，，
，．
又，
，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）由折叠可得AE=BE=AB，∠AEM=∠BEM=90°，AB=BM，
∴BE=BM，
∴∠EMB=30°.
故答案为：30.
【分析】（1）由折叠可得AE=BE=AB，∠AEM=∠BEM=90°，AB=BM，则BE=BM，据此不难得到∠EMB的度数；
（2）根据正方形的性质可得AB=BC，∠BAD=∠C=90°，由折叠可得AB=BM，∠BAD=∠BMP=90°，则BM=BC，∠BMQ=∠C=90°，利用HL证明△BCQ≌△BMQ，据此解答.
23．【答案】（1）证明：∵，，
∴；
（2）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
∴的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠BDC=∠A，根据图形可得∠ACD=∠DCB，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）连接OD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ABD=∠ODB，由已知条件可知∠BDC=∠A，结合∠A+∠ABD=90°可得∠ODC=90°，据此证明；
（3）根据三角函数的概念可得，结合相似三角形的性质可得CD、BC，然后根据AB=AC-BC进行计算.
24．【答案】（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，
由题意可得：，
解得：
经检验，是分式方程的解
每台A型机器每天搬运吨
答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
（2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台
由题意可得：，
解得：，
公司采购金额：
∵
∴w随m的增大而减小
∴当时，公司采购金额w有最小值，即，
∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运(x-10)吨，每台A型机器搬运450吨货物所需时间为，每台B型机器搬运500吨货物所需时间为，然后根据时间相同建立方程，求解即可；
（2）设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器(30-m)台，根据每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元可得关于m的不等式组，求出m的范围，由每台A型机器售价×台数+每台B型机器售价×台数=总费用可得W与m的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答.
25．【答案】（1）；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的通分；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=-=，x1x2==-.
故答案为：，-.
【分析】（1）直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答；
（2）根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-，然后根据m2+n2=(m+n)2-2mn进行计算；
（3）由题意可得：s、t可以看作方程2x2+3x-1=0的两个根，则s+t=，st=-，根据(t-s)2=(t+s)2-4st可求出t-s的值，对待求式通分可得，据此计算.
26．【答案】（1）∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴把，代入得，
，
解得，，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）①设，过点作于点，如图，
∴
∵
∴
∵轴，
∴
又
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴（不合题意，舍去）
∴
∴；
②设，
对于，当时，
解得，
∴
∵
由勾股定理得，
当点在第三象限时，如图，过点作轴于点，
则四边形是矩形，
∵点与点关于对称，
∴
∵轴，
∴
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵
∴
∴
∴
∴
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
又且
∴
解得，（舍去）
∴
∴四边形的周长；
当点在第二象限时，如图，
同理可得：
解得，（舍去）
∴
∴四边形的周长；
综上，四边形的周长为或．
【知识点】菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将A（1，0）、C（0，-4）代入y=ax2+x+c中求出a、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①设P（x，x2+x-4），过点C作CE⊥PD于点E，根据点C的坐标可得OC=4，易得四边形DOCE是矩形，则DE=OC=4，DO=CE=-x，PE=PD-DE=-x2-x，根据三角函数的概念可得x的值，进而可得点P的坐标；
②设P（m，m2+m-4），由勾股定理可得BC的值，当点P在第三象限时，过点E作EF⊥y轴于点F，则四边形DEFO是矩形，EF=DO=-m，根据轴对称的性质可得∠ECP=∠E′CP，CE=CE′，根据平行线的性质可得∠EPC=∠PCE′，进而推出PE=CE′，得到四边形PECE′是菱形，根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△CEF∽△CBO，利用相似三角形的性质可得CE=m，求出直线BC的解析式，可得E（m，-m-4），表示出PE，根据CE=m且PE=CE可求出m的值，据此不难求出四边形PECE′的周长；当点P在第二象限时，同理求解即可.
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