辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·本溪）2的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：2的绝对值为2，故答案选D.
【分析】根据绝对值的意义，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值还是0.
2．（2023·本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以A正确；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以B错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以C错误；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以D错误.
综上所述，故选A.
【分析】轴对称图形的定义： 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，被旋转物体发生重合，中心对称图形的概念把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
3．（2023·本溪）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的俯视图是“从上往下看”，故答案选C.
【分析】了解几何体三视图的观察方向：主视图从前到后，左视图从左到右，俯视图从上到下.
4．（2023·本溪）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、代数式两项不是同类项，无法合并，所以A错误；
B、同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以B正确；
C、完全平方公式展开式为，所以C错误；
D、积的乘方最后结果为9b2，所以D错误.
综上所述，本题故选B.
【分析】同类项必须符合字母相同，字母上指数相同才能合并；同底数幂相除，底数不变，指数相减；分清完全平方公式和平方差公式的计算；积的乘方运算，是分别将积的每一项进行乘方，再把最后的结果相乘.
5．（2023·本溪）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：
成绩/m 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80
人数/名 1 3 2 3 1
则这10名运动员成绩的中位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据由小到大排序后，第5名成绩为1.60，第6名成绩为1.60，因此中位数取其平均数为1.60.
故答案为C.
【分析】中位数的计算方法：将一列数据由小到大（或由大到小）排序后，最中间的一个数（或两个数的平均数）为这列数据的中位数.
6．（2023·本溪）如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=108°，
∴∠3=∠1=108°
∵CD∥EF，
∴∠3+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-108°=72°.
故答案为：C.
【分析】利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质解题，当然可以通过同位角或内错角作为桥梁角进行解题.
7．（2023·本溪）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．了解某种灯泡的使用寿命
B．了解一批冷饮的质量是否合格
C．了解全国八年级学生的视力情况
D．了解某班同学中哪个月份出生的人数最多
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查灯泡的使用寿命具有破坏性，不适合全面调查，所以A错误；
B、调查冷饮的质量具有破坏性，不适合全面调查，所以B错误；
C、全国八年级学生人数庞大，不适合全面调查，所以C错误；
D、调查班级学生出生月份，人数适中，适合进行全面调查，所以D正确.
综上所述，本题选D.
【分析】区分全面调查和抽样调查的适用范围，当调查过程具有破坏性，或者调查对象数量庞大，调查过程复杂不经济，则适合进行抽样调查.
8．（2023·本溪）某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，慢车的行驶时间为：，快车的行驶时间为.根据题干“他们同时到达”，以“快车的行驶时间”为等量关系，可建立方程：，
故答案选B.
【分析】题干中有路程和时间两个量，因为可以利用速度=路程÷时间，得到两车的速度，再由出发时间差得到等量关系建立分式方程.
9．（2023·本溪）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的应用；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：作DH⊥AB于点H，由作图轨迹可知，AD为∠BAC的角平分线，则HD=CD.
设BD=x，则HD=CD=3-x.
在Rt△ABC中，∵AB=5，BC=3，∴AC=4，
∵Rt△ACD和Rt△AHD中，AD=AD，CD=HD，∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），∴AH=AC=4
∴BH=AB-AH=1
在Rt△BHD中，∵BD2=BH2+DH2，即x2=12+（3-x）2，
化简得 x2=12+9-6x+x2
得6x=10，x=.
故本题选D.
【分析】根据轨迹能分析出这是角平分线的尺规作图轨迹，从而联系到角平分线的性质定理“角平分线上的点，到角两边的距离相等”，从而联想到作辅助线DH⊥AB，从而得到HD=CD的等量关系.设BD为x，利用的是Rt△BHD的三边勾股定理关系，建立方程求解，这也是直角三角形建方程的常规方法.
10．（2023·本溪）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点在射线．设点的运动时间为，菱形与的重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；位似变换；三角形的综合
【解析】【解答】解：将菱形PQMN平移的过程，分几个过程：
（1）当菱形PQMN整个都在△ABC内部，即重叠部分面积为菱形PQMN的全部面积.
作PD⊥AC于D，QE⊥AB于E，
设AP=x，AQ=
∵∠A=30°，∴在Rt△ADP中，，
所以D为AQ的中点，即PD垂直平分AQ，即AQ=AP=x
而在Rt△AQE中，∵∠A=30°，
所以此时
因此第一段为一个抛物线函数，开口向上，B选项错误，排除；
特别地，当M点运动到BC上时，如图，
∵∠ABC=60°，在（1）的条件下，∵MN∥QP，∠QPN=60°，∴∠MNB=60°=∠MBN
∴△MNB为等边三角形，∴MN=NB，，
综上所述，当0＜x≤1时，
（2）当菱形开始部分和△ABC有重叠时，形成五边形FGNPQ，
作GH⊥FM，如下图所示，
则S五边形FGNPQ=S菱形PNMQ-S△FGM
同理（1），∵△NGB和△FGM均为等边三角形，NB=AB-AP-PN=3-2x
∴NG=3-2x，MG=MN-NG=x-（3-2x）=3x-3=MF
∴
∴
∴
∴
∵a＜0，所以此段抛物线开口向下，C、D选项不符合题意，排除；
特别地，当F、G分别和Q、N重合时，如图，
此时，AP+PN=AB，即2x=3，所以x=1.5，
∴综上所述，当1≤x≤1.5时，
（3）当1.5≤x≤3时，如图所示，
重叠部分为△PEB的面积，作EF⊥AB于点F.
∵PB=3-x，△PEB为等边三角形
则，∴
∴
因为a＞0，所以这段抛物线开口向上，
综上所述，重叠部分面积y与x的函数关系式分别是三段抛物线组成，开口依次朝上，朝下，朝上，符合的只有A，故答案选A.
【分析】因为当P、Q运动过程中，菱形的不同位置，导致和△ABC的重叠图形形状不同，因此需要分类讨论作图：三类情况分别是重叠部分依次为（1）整个菱形，（2）五边形，（3）三角形.菱形的计算直接采用“底×高”的方法计算，五边形的计算采用“割补法”，用“菱形的面积减去未重叠的三角形面积”，三角形的面积直接用“底×高×0.5”计算.在计算过程中，要充分利用含(构造)30°的特殊三角形的三边比例关系，即，在计算过程中能简化计算过程.
二、填空题
11．（2023·本溪）截止到2023年4月底，我国网络覆盖全国所有地级（以上）市、县城城区，移动电话用户达到户，将数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为6.34×108.
故答案为：.
【分析】一个大数用科学记数法表示时，基本形式为，其中，n为自然数.
12．（2019·黄冈模拟）分解因式： .
【答案】 ；
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 =a(a2-4a+4)=a(a-2)2.
故答案是：a(a-2)2.
【分析】先提取公因式a，然后利用完全平方公式进行分解即可.
13．（2023·本溪）如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：利用随机概率的计算公式，落在阴影部分三角形的个数m=5，三角形总数n=9，所以落到阴影部分区域的概率为，故答案为.
【分析】直接利用随机事件的概率公式计算.
14．（2023·本溪）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
【答案】k<-
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即（-1）2-4（k+1）＞0
化简得，1-4k-4＞0，-4k＞3，
∴，
故答案为.
【分析】利用一元二次方程根和系数的关系求解：当方程有两个不相等的实数根时，.
15．（2023·本溪）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意可得，∵四边形OA'B'C'∽四边形OABC，S四边形OA'B'C'：S四边形OABC=4：1，
∴位似比为2：1.
∵点B'和点B是一对对应点，且点B'在第一象限，
∴xB'=xB×2=2×2=4，yB'=yB×2=3×2=6
故本题答案为：（4，6）.
【分析】根据图形位似的性质，四边形的面积比是位似比的平方，因此两个四边形的面积比为4：1，则其位似比为2：1.再根据点B的坐标，可求出其对应点B'的坐标.
16．（2023·本溪）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥y轴，交y轴于点E，作DA⊥x轴于点F.
∵DA∥EO，∴△CDA∽△CEO
∴
即
∴S△CEO=9
∴S四边形ADEO=S△CEO-S△CDA=5
又∵CD∥OF，∴△CDA∽△OFA
∴
即
∴S△OFA=1
∴S矩形OFDE=5+1=6
根据k的几何意义，当k＞时，k=S矩形OFDE=6，
因此本题答案为：6.
【分析】利用AC=2OA的数量关系，可以得到CA∶CO=3：1.通过添加辅助线，利用平行关系和面积的已知条件，建立A字全等△CDA∽△CEO，和8字全等△CDA∽△OFA，从而得到矩形OFDE的面积.最后利用k的几何意义求解.
17．（2023·本溪）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．
【答案】或
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：当B'D⊥BC时，设∠BAD=x度，则根据折叠关系，∠B'AD=x度.
（1）第一种情况，B'D在BC下方
∵∠B=20°，∴∠BDA=（180-x-20）度=∠B'DA
∵∠BDB'=90°
∴（180-x-20）×2=270°
求得x=25，即此时∠BAD=25°
（2）第二种情况，B'D在BC上方
同理可得，∠BDA=（180-x-20）度=∠B'DA
∵∠BDB'=90°
∴（180-x-20）×2=90
解得，x=115，即∠BAD=115°
综上所述，∠BAD=25°或115°.
【分析】当D点位于BC边不同位置时，分别会出现两次B'D⊥BC，因此解决此类问题，必须要通过分类作图的形式进行分类讨论，即B'在BC边下方，和B'在BC边上方.注意图形折叠问题，最关键的是要明确，在折叠过程中，对应边和对应角的关系，如本题解决过程中，∠BDA和∠B'DA始终对应相等.
18．（2023·本溪）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理的应用；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：连结FC，设BC=x，则AC=8-x，作BG⊥CD于G，作DH⊥AB的延长线于H
在Rt△DCE中，∵F为斜边DE的中点
∴CF=DF=EF
又∵∠E=30°，∴∠EDC=60°，
∴∠FCD=60°，
由题意可知，BC=BD，∠B=120°
∴∠BCD=30°
∴∠BCF=90°=∠ACF
在Rt△BCG中，∵∠BCD=30°，∴
进而得
∴
在Rt△ACF中，根据勾股定理，AF2=AC2+FC2，即
等号右边化简，并配合可得，
∴当x=2时，AF取到最小值，为
∵BC=BD=2，∠BDH=∠BDC=30°
∴BH=1，
∴S△BCD=BC×DH×=.
所以本题答案为
【分析】对于Rt△DCE来说，F是斜边DE的中点，斜边中点的常规辅助线，即是连结形成斜边上的中线，即连结FC.而当点动点C在运动过程中，发现FC始终⊥AB，因此△ACF始终是一个直角三角形，而边AC和边FC，均能建立起和CB线段建立起数量关系，若设BC=x，利用勾股定理，就能建立起AF2和x的函数关系，通过配方就能求出AF2的最小值和此时BC的值，从而找到突破口.
三、解答题
19．（2023·本溪）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】带括号的复杂分式的化简求值，遵循的基本原则是“细心”，尽量减少“跳步”.特别注意的是，建议分式通分加减时，分子先带好括号，去括号后再进行加减，以避免加减时的符号错误.
20．（2023·本溪） 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．
（1）本次抽样调查的学生共有 名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）60
（2）解：C组人数为：（名），
补全条形图如图所示：
；
（3）解：估计本次竞赛获得B等级的学生有：（名），
答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
（4）解：画树状图如下：
机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种，
故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）18÷30%=60（名），
故答案为：60.
【分析】(1)根据条形统计图和扇形统计图的对应关系求解即可；
（2）C组人数等于总人数减去其他组的人数；
（3）先计算出样本中B组人数所占的比例，再乘以全校总人数；
（4）利用树状图或者列表格，进行分析计算.
21．（2023·本溪）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
（1）求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
【答案】（1）解：设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，
根据题意得：，
解得：，
答：A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
（2）解：设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒，
根据题意得：，
解得：，
∵x为整数，
∴x的最小整数解为15，
∴至少购进A种礼品盒15盒．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)将A、B两种礼品盒的单价设元x和y，根据题干，根据两次购买礼品盒的数量和总金额，分别建立包含x和y二元一次方程，再形成二元一次方程组求解即可；
（2）因为购买的总盒数为40，所以通过设元A礼品盒的数量x，就可以同时表示出B礼品盒的数量为(40-x)盒.根据总费用不过4500元，显然是一个关于总费用的不等式关系，不超过用不等号“≤”表示.列出不等式求出x的取值范围，求其最小整数值即可.
22．（2023·本溪）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
【答案】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山缆车上升的高度；
（2）解：在中，，，
∴，
∴从山底A处到达山顶处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶处大约需要.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】(1)作辅助线BC⊥AF，BE⊥DF的目的，就是分别将30°（∠BAC）和53°（∠DBE）置于，通过Rt△ABC和Rt△DBE中，通过解直角三角形的方式来求解线段.因为已知AB=300，利用“在直角三角形，30°所对的直角边是斜边的一半”的性质得到BC，由“矩形对边相等”得到EF=BC.最后因为DF=600已知，即可通过DF-EF得到DE的值.
（2）从A到D的总时间分两段：A—B的步行时间300÷30=10分钟，B—D的乘缆车时间.因为乘缆车的速度已知为60，只要求出路程长，即BD的长度即可.在Rt△DBE中，可以通过∠DBE（53°）的正弦函数（sin）建立起DE和BD之间的数量关系，从而求出BD的值.最后把两段时间相加，近似到0.1分钟.
23．（2023·本溪）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：
销售单价（元） … 50 60 70 …
月销量（台） … 90 80 70 …
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
【答案】（1）解：由题意设，
由表知，当时，；当时，；
以上值代入函数解析式中得：，
解得：，
所以y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设销售利润为W元，
则，
整理得：，
由于销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，则，
∵，，
∴当时，W随x的增大而增大，
∴当时，W有最大值，且最大值为2400；
答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据"月销售量y和销售单价x之间满足一次函数关系"，可以设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0)，然后代入表格中任意两组数据，得到关于k和b的二元一次方程组，求解即可.
(2)根据销售问题中的两个计算公式："销售总利润(设元为W)=单价利润×销售数量"，"单件利润=销售单价-商品进价"，结合(1)中的答案，即可得到w关于x的二次函数关系式：W=(x-40)(-x+40).因为要求W的最值，一般将一般式化为顶点式：W=-(x-90)2+2500.利用题干中的“ 规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍 ”，可以关于x的不等量关系，从而得到x的取值范围为：40≤x≤80.因为a=-1＜0，抛物线开口向下，当x≤90时，W随着x的增大而增大，要让W得到最大值，对应的x应该也要取最大值；所以x取到80时，得到W的最大值.
24．（2023·本溪）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．
（1）求证：EF与相切；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵，∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴EF与相切；
（2）解：设半径为x，则，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
∴半径为4，则，
在中，，，，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】(1)要证明EF与相切，E显然为切点，因此连结辅助线OE，只需要证明OF⊥EF（∠OEF=90°）即可.连结辅助线OE后，因为OA=OE，所以∠EOF=2∠EAF，而题干中存在2∠EAF=∠CAF，∴∠EOF=∠CAF.又因为∠EFA=∠ABC，所以根据两角对应相等，△EOF相似△CAB，∠OEF必对应∠ACB.而因为AB为直径，所以∠ACB=90°，所以∠OEF也必为90°，得证.
（2）结合（1）中的结论，△OEF为直角三角形，则，而OF=OE+1，若直接设元半径OE=x，则得到关于x的分式方程：，从而得到x=4=OE，则直径AB=8.又因为∠ABC=∠AFE，所以在Rt△ABC中，利用，可得到AC，然后根据勾股定理，得到BC的值，得解.
25．（2023·本溪）在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点．
（1）如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系；
（2）如图，当点在线段上时，求证：；
（3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值．
【答案】（1）解：．
理由如下：
如图，连接．
根据图形旋转的性质可知．
由题意可知，为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形斜边上的中线，
，．
又，
．
在和中，
．
，．
．
．
．
（2）解：为等腰直角三角形斜边上的中线，
．
，
．
，，
．
，．
，．
在和中，
．
．
．
（3）解：当点D在线段延长线上时，不满足条件，故分两种情况：
①点D在线段上，如图，过点作垂直于，交于点；过点作垂直于，交于点．
设，则．
根据题意可知，四边形和为矩形，为等腰直角三角形．
，．
由（2）证明可知，
．
．
．
根据勾股定理可知
，
的面积与的面积之比
②点D在线段的延长线上，过点作垂直于，交延长线于点，令交于点，连接，由题意知，四边形，是矩形，
∵
∴
即
又∵，
∴
∴
而
∴
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∴
中，
的面积与的面积之比
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】(1)在等腰Rt△ABC中，O为AB的中点，当D与点O重合时，则CD⊥AB，△ACD和△BCD均为等腰直角三角形，∠CDB=∠BCD=45°.由CD和CE的旋转关系，可知DC=EC，∠DCE=90°，所以∠ECB=45°，若连结BE（辅助线），则易证△BDC≌△BEC，所以∠DBC=∠EBC=45°，所以∠EBF=45°，△EBF也为等腰直角三角形.所以AD=BD=BE=，即，得解. （2）分析要证明的结论，，因为，而AD+BD=AB，所以转化证明CG=AD即可.证明两条不在同一个三角形的线段相等，最常用的方法是包含这两条线段的两个三角形全等.判断分析是△ACD和△ECG，已有的条件是CD=EC，因此还需要寻找其他边角条件.因为CB⊥BF，EF⊥BF，所以EB∥GF，所以∠OCB=∠G，而∠A=∠OCB=45°，所以∠A=∠G=45°，这是第二个条件.因为∠ACB=∠DCE=90°，去掉公共角∠DCB，可得∠ACD=∠BCE，而因为CB∥GF，所以∠BCE=∠GEC，所以∠ACD=∠GEC，这是第三个条件，所以能证明△ACD和△ECG全等，进而得到CG=AD，代入完成等式的证明.
（3）先分析结论，△CDE合△ABC的面积比，结合两个三角形均为等腰直角三角形，两个三角形相似，所以其面积比，我们简化为两个三角形对应直角边的平方比，如.
再分析，因为D在直线AB上运动，点D的位置不同，需要分类作图讨论：
第一种情况：当D在线段AB的延长上，此时作图发现EF＞BC，不满足题目条件要求，不用分析；
第二种情况：当D在线段AB上时，为计算方便，设EF=a，则BC=3a=AC，结合（2）的证明过程，GE=AC=3a，GF=4a.现在要求出CE和a的关系，则需要把CE也放置在特殊的三角形中求解，因此作EM⊥BC于M，则BM=EF=a，所以CM=2a，所以接下来就是找到ME和a的关系.因为∠G=45°，若作CN⊥GF，则△CGN为等腰直角三角形，ME=CN=GN，而GN=GF-NF=GF-CB=a.所以在Rt△CME中，CM=2a，ME=a，根据勾股定理得，所以.
第三种情况：当点D在BA的延长线上时，类似与第二种情况解法过程，延长CB，作EJ⊥CB的延长线于J，构造Rt△CEJ，从而求斜边CE.因为CD=EC，∠DCA=∠ECB，AC=BC，所以△DCA全等于△BCE(SAS)，所以∠DAC=∠EBC，所以∠CAB=∠EBJ，均为45°，所以△EBJ为等腰直角三角形，EJ=BJ=EF=a.在Rt△CEJ中，EJ=a，CJ=4a，根据勾股定理得，，所以.所以最终答案为和.
26．（2023·本溪）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；
（3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点和，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，且，则，
∴，
∵解析式的对称轴为，
∴，
∴，
依题意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）解：令，则，
解得或，
∴，
同理，直线的解析式为，
∵四边形是正方形，
∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，
，，
∴，
∴，，
设，
∴，，
则，
∵点M在直线上，
∴，
解得或，
当时，，，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时；
当时，，，
点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
∴，即．
综上，点的坐标为或．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)用待定系数法，直接将抛物线上的两个已知点B（4，0）和C（0，4）代入，得到b和c的二元一次方程组，求解即可；
（2）因为矩形EFGH的周长为11，可知2(EF+EH)=11.因为HE∥x轴，EF∥y轴，则H、E纵坐标相等，E、F横坐标相等，所以可以利用E的坐标把两条线段表示出来.设E的横坐标为x，因其位于抛物线上，所以代入（1）中抛物线表达式得到其纵坐标为 .求出BC直线表达式，代入F的横坐标x，可得到F的总坐标为-x+4，所以EF长度为（E纵-F纵），化简即可S.而求HE时，因为H、E关于对称轴对称，所以EH=2（E横-对称轴），故先求出其对称轴为1，所以得到EH的长度为2（x-1）=2x-2.最后，将EF和EH的代数式代入2(EF+EH)=11，得到关于x的一元二次方程中，得解x.特别注意的是，因为E位于第一象限内，所以x取值范围为0（3）根据正方形OENM的名称，O和N，E和M分别是对顶点，根据其题意作出满足条件一个图形.作EP⊥OC于P，MQ⊥y轴于Q，根据三角形K型全等模型（坐标系中出现正方形时常用模型），可得△OEP≌△MOP，结合E的坐标（m，）得到对应边EP=OQ=-m，OP=MQ=，进而可得到M的坐标(，)，因此代入AC的函数解析式，得到m的一元二次方程求解，得到m的两个解，进而求出E和M的坐标.根据正方形顶点在坐标系中的平移特征：“O到M的平移过程，和E到N的平移过程”一致，最后求出对应的N的两个坐标即可.
1 / 1辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·本溪）2的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2
2．（2023·本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·本溪）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·本溪）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·本溪）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：
成绩/m 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80
人数/名 1 3 2 3 1
则这10名运动员成绩的中位数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·本溪）如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·本溪）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．了解某种灯泡的使用寿命
B．了解一批冷饮的质量是否合格
C．了解全国八年级学生的视力情况
D．了解某班同学中哪个月份出生的人数最多
8．（2023·本溪）某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·本溪）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·本溪）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点在射线．设点的运动时间为，菱形与的重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2023·本溪）截止到2023年4月底，我国网络覆盖全国所有地级（以上）市、县城城区，移动电话用户达到户，将数据用科学记数法表示为 ．
12．（2019·黄冈模拟）分解因式： .
13．（2023·本溪）如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ．
14．（2023·本溪）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
15．（2023·本溪）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．
16．（2023·本溪）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ．
17．（2023·本溪）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．
18．（2023·本溪）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．
三、解答题
19．（2023·本溪）先化简，再求值：，其中．
20．（2023·本溪） 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．
（1）本次抽样调查的学生共有 名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
21．（2023·本溪）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
（1）求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
22．（2023·本溪）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
23．（2023·本溪）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：
销售单价（元） … 50 60 70 …
月销量（台） … 90 80 70 …
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
24．（2023·本溪）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．
（1）求证：EF与相切；
（2）若，求的长．
25．（2023·本溪）在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点．
（1）如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系；
（2）如图，当点在线段上时，求证：；
（3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值．
26．（2023·本溪）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；
（3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：2的绝对值为2，故答案选D.
【分析】根据绝对值的意义，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值还是0.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以A正确；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以B错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以C错误；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以D错误.
综上所述，故选A.
【分析】轴对称图形的定义： 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，被旋转物体发生重合，中心对称图形的概念把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的俯视图是“从上往下看”，故答案选C.
【分析】了解几何体三视图的观察方向：主视图从前到后，左视图从左到右，俯视图从上到下.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、代数式两项不是同类项，无法合并，所以A错误；
B、同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以B正确；
C、完全平方公式展开式为，所以C错误；
D、积的乘方最后结果为9b2，所以D错误.
综上所述，本题故选B.
【分析】同类项必须符合字母相同，字母上指数相同才能合并；同底数幂相除，底数不变，指数相减；分清完全平方公式和平方差公式的计算；积的乘方运算，是分别将积的每一项进行乘方，再把最后的结果相乘.
5．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据由小到大排序后，第5名成绩为1.60，第6名成绩为1.60，因此中位数取其平均数为1.60.
故答案为C.
【分析】中位数的计算方法：将一列数据由小到大（或由大到小）排序后，最中间的一个数（或两个数的平均数）为这列数据的中位数.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=108°，
∴∠3=∠1=108°
∵CD∥EF，
∴∠3+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-108°=72°.
故答案为：C.
【分析】利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质解题，当然可以通过同位角或内错角作为桥梁角进行解题.
7．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查灯泡的使用寿命具有破坏性，不适合全面调查，所以A错误；
B、调查冷饮的质量具有破坏性，不适合全面调查，所以B错误；
C、全国八年级学生人数庞大，不适合全面调查，所以C错误；
D、调查班级学生出生月份，人数适中，适合进行全面调查，所以D正确.
综上所述，本题选D.
【分析】区分全面调查和抽样调查的适用范围，当调查过程具有破坏性，或者调查对象数量庞大，调查过程复杂不经济，则适合进行抽样调查.
8．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，慢车的行驶时间为：，快车的行驶时间为.根据题干“他们同时到达”，以“快车的行驶时间”为等量关系，可建立方程：，
故答案选B.
【分析】题干中有路程和时间两个量，因为可以利用速度=路程÷时间，得到两车的速度，再由出发时间差得到等量关系建立分式方程.
9．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的应用；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：作DH⊥AB于点H，由作图轨迹可知，AD为∠BAC的角平分线，则HD=CD.
设BD=x，则HD=CD=3-x.
在Rt△ABC中，∵AB=5，BC=3，∴AC=4，
∵Rt△ACD和Rt△AHD中，AD=AD，CD=HD，∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），∴AH=AC=4
∴BH=AB-AH=1
在Rt△BHD中，∵BD2=BH2+DH2，即x2=12+（3-x）2，
化简得 x2=12+9-6x+x2
得6x=10，x=.
故本题选D.
【分析】根据轨迹能分析出这是角平分线的尺规作图轨迹，从而联系到角平分线的性质定理“角平分线上的点，到角两边的距离相等”，从而联想到作辅助线DH⊥AB，从而得到HD=CD的等量关系.设BD为x，利用的是Rt△BHD的三边勾股定理关系，建立方程求解，这也是直角三角形建方程的常规方法.
10．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；位似变换；三角形的综合
【解析】【解答】解：将菱形PQMN平移的过程，分几个过程：
（1）当菱形PQMN整个都在△ABC内部，即重叠部分面积为菱形PQMN的全部面积.
作PD⊥AC于D，QE⊥AB于E，
设AP=x，AQ=
∵∠A=30°，∴在Rt△ADP中，，
所以D为AQ的中点，即PD垂直平分AQ，即AQ=AP=x
而在Rt△AQE中，∵∠A=30°，
所以此时
因此第一段为一个抛物线函数，开口向上，B选项错误，排除；
特别地，当M点运动到BC上时，如图，
∵∠ABC=60°，在（1）的条件下，∵MN∥QP，∠QPN=60°，∴∠MNB=60°=∠MBN
∴△MNB为等边三角形，∴MN=NB，，
综上所述，当0＜x≤1时，
（2）当菱形开始部分和△ABC有重叠时，形成五边形FGNPQ，
作GH⊥FM，如下图所示，
则S五边形FGNPQ=S菱形PNMQ-S△FGM
同理（1），∵△NGB和△FGM均为等边三角形，NB=AB-AP-PN=3-2x
∴NG=3-2x，MG=MN-NG=x-（3-2x）=3x-3=MF
∴
∴
∴
∴
∵a＜0，所以此段抛物线开口向下，C、D选项不符合题意，排除；
特别地，当F、G分别和Q、N重合时，如图，
此时，AP+PN=AB，即2x=3，所以x=1.5，
∴综上所述，当1≤x≤1.5时，
（3）当1.5≤x≤3时，如图所示，
重叠部分为△PEB的面积，作EF⊥AB于点F.
∵PB=3-x，△PEB为等边三角形
则，∴
∴
因为a＞0，所以这段抛物线开口向上，
综上所述，重叠部分面积y与x的函数关系式分别是三段抛物线组成，开口依次朝上，朝下，朝上，符合的只有A，故答案选A.
【分析】因为当P、Q运动过程中，菱形的不同位置，导致和△ABC的重叠图形形状不同，因此需要分类讨论作图：三类情况分别是重叠部分依次为（1）整个菱形，（2）五边形，（3）三角形.菱形的计算直接采用“底×高”的方法计算，五边形的计算采用“割补法”，用“菱形的面积减去未重叠的三角形面积”，三角形的面积直接用“底×高×0.5”计算.在计算过程中，要充分利用含(构造)30°的特殊三角形的三边比例关系，即，在计算过程中能简化计算过程.
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为6.34×108.
故答案为：.
【分析】一个大数用科学记数法表示时，基本形式为，其中，n为自然数.
12．【答案】 ；
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 =a(a2-4a+4)=a(a-2)2.
故答案是：a(a-2)2.
【分析】先提取公因式a，然后利用完全平方公式进行分解即可.
13．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：利用随机概率的计算公式，落在阴影部分三角形的个数m=5，三角形总数n=9，所以落到阴影部分区域的概率为，故答案为.
【分析】直接利用随机事件的概率公式计算.
14．【答案】k<-
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即（-1）2-4（k+1）＞0
化简得，1-4k-4＞0，-4k＞3，
∴，
故答案为.
【分析】利用一元二次方程根和系数的关系求解：当方程有两个不相等的实数根时，.
15．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意可得，∵四边形OA'B'C'∽四边形OABC，S四边形OA'B'C'：S四边形OABC=4：1，
∴位似比为2：1.
∵点B'和点B是一对对应点，且点B'在第一象限，
∴xB'=xB×2=2×2=4，yB'=yB×2=3×2=6
故本题答案为：（4，6）.
【分析】根据图形位似的性质，四边形的面积比是位似比的平方，因此两个四边形的面积比为4：1，则其位似比为2：1.再根据点B的坐标，可求出其对应点B'的坐标.
16．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥y轴，交y轴于点E，作DA⊥x轴于点F.
∵DA∥EO，∴△CDA∽△CEO
∴
即
∴S△CEO=9
∴S四边形ADEO=S△CEO-S△CDA=5
又∵CD∥OF，∴△CDA∽△OFA
∴
即
∴S△OFA=1
∴S矩形OFDE=5+1=6
根据k的几何意义，当k＞时，k=S矩形OFDE=6，
因此本题答案为：6.
【分析】利用AC=2OA的数量关系，可以得到CA∶CO=3：1.通过添加辅助线，利用平行关系和面积的已知条件，建立A字全等△CDA∽△CEO，和8字全等△CDA∽△OFA，从而得到矩形OFDE的面积.最后利用k的几何意义求解.
17．【答案】或
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：当B'D⊥BC时，设∠BAD=x度，则根据折叠关系，∠B'AD=x度.
（1）第一种情况，B'D在BC下方
∵∠B=20°，∴∠BDA=（180-x-20）度=∠B'DA
∵∠BDB'=90°
∴（180-x-20）×2=270°
求得x=25，即此时∠BAD=25°
（2）第二种情况，B'D在BC上方
同理可得，∠BDA=（180-x-20）度=∠B'DA
∵∠BDB'=90°
∴（180-x-20）×2=90
解得，x=115，即∠BAD=115°
综上所述，∠BAD=25°或115°.
【分析】当D点位于BC边不同位置时，分别会出现两次B'D⊥BC，因此解决此类问题，必须要通过分类作图的形式进行分类讨论，即B'在BC边下方，和B'在BC边上方.注意图形折叠问题，最关键的是要明确，在折叠过程中，对应边和对应角的关系，如本题解决过程中，∠BDA和∠B'DA始终对应相等.
18．【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理的应用；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：连结FC，设BC=x，则AC=8-x，作BG⊥CD于G，作DH⊥AB的延长线于H
在Rt△DCE中，∵F为斜边DE的中点
∴CF=DF=EF
又∵∠E=30°，∴∠EDC=60°，
∴∠FCD=60°，
由题意可知，BC=BD，∠B=120°
∴∠BCD=30°
∴∠BCF=90°=∠ACF
在Rt△BCG中，∵∠BCD=30°，∴
进而得
∴
在Rt△ACF中，根据勾股定理，AF2=AC2+FC2，即
等号右边化简，并配合可得，
∴当x=2时，AF取到最小值，为
∵BC=BD=2，∠BDH=∠BDC=30°
∴BH=1，
∴S△BCD=BC×DH×=.
所以本题答案为
【分析】对于Rt△DCE来说，F是斜边DE的中点，斜边中点的常规辅助线，即是连结形成斜边上的中线，即连结FC.而当点动点C在运动过程中，发现FC始终⊥AB，因此△ACF始终是一个直角三角形，而边AC和边FC，均能建立起和CB线段建立起数量关系，若设BC=x，利用勾股定理，就能建立起AF2和x的函数关系，通过配方就能求出AF2的最小值和此时BC的值，从而找到突破口.
19．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】带括号的复杂分式的化简求值，遵循的基本原则是“细心”，尽量减少“跳步”.特别注意的是，建议分式通分加减时，分子先带好括号，去括号后再进行加减，以避免加减时的符号错误.
20．【答案】（1）60
（2）解：C组人数为：（名），
补全条形图如图所示：
；
（3）解：估计本次竞赛获得B等级的学生有：（名），
答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
（4）解：画树状图如下：
机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种，
故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）18÷30%=60（名），
故答案为：60.
【分析】(1)根据条形统计图和扇形统计图的对应关系求解即可；
（2）C组人数等于总人数减去其他组的人数；
（3）先计算出样本中B组人数所占的比例，再乘以全校总人数；
（4）利用树状图或者列表格，进行分析计算.
21．【答案】（1）解：设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，
根据题意得：，
解得：，
答：A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
（2）解：设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒，
根据题意得：，
解得：，
∵x为整数，
∴x的最小整数解为15，
∴至少购进A种礼品盒15盒．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)将A、B两种礼品盒的单价设元x和y，根据题干，根据两次购买礼品盒的数量和总金额，分别建立包含x和y二元一次方程，再形成二元一次方程组求解即可；
（2）因为购买的总盒数为40，所以通过设元A礼品盒的数量x，就可以同时表示出B礼品盒的数量为(40-x)盒.根据总费用不过4500元，显然是一个关于总费用的不等式关系，不超过用不等号“≤”表示.列出不等式求出x的取值范围，求其最小整数值即可.
22．【答案】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山缆车上升的高度；
（2）解：在中，，，
∴，
∴从山底A处到达山顶处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶处大约需要.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】(1)作辅助线BC⊥AF，BE⊥DF的目的，就是分别将30°（∠BAC）和53°（∠DBE）置于，通过Rt△ABC和Rt△DBE中，通过解直角三角形的方式来求解线段.因为已知AB=300，利用“在直角三角形，30°所对的直角边是斜边的一半”的性质得到BC，由“矩形对边相等”得到EF=BC.最后因为DF=600已知，即可通过DF-EF得到DE的值.
（2）从A到D的总时间分两段：A—B的步行时间300÷30=10分钟，B—D的乘缆车时间.因为乘缆车的速度已知为60，只要求出路程长，即BD的长度即可.在Rt△DBE中，可以通过∠DBE（53°）的正弦函数（sin）建立起DE和BD之间的数量关系，从而求出BD的值.最后把两段时间相加，近似到0.1分钟.
23．【答案】（1）解：由题意设，
由表知，当时，；当时，；
以上值代入函数解析式中得：，
解得：，
所以y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设销售利润为W元，
则，
整理得：，
由于销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，则，
∵，，
∴当时，W随x的增大而增大，
∴当时，W有最大值，且最大值为2400；
答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据"月销售量y和销售单价x之间满足一次函数关系"，可以设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0)，然后代入表格中任意两组数据，得到关于k和b的二元一次方程组，求解即可.
(2)根据销售问题中的两个计算公式："销售总利润(设元为W)=单价利润×销售数量"，"单件利润=销售单价-商品进价"，结合(1)中的答案，即可得到w关于x的二次函数关系式：W=(x-40)(-x+40).因为要求W的最值，一般将一般式化为顶点式：W=-(x-90)2+2500.利用题干中的“ 规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍 ”，可以关于x的不等量关系，从而得到x的取值范围为：40≤x≤80.因为a=-1＜0，抛物线开口向下，当x≤90时，W随着x的增大而增大，要让W得到最大值，对应的x应该也要取最大值；所以x取到80时，得到W的最大值.
24．【答案】（1）证明：连接，
∵，∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴EF与相切；
（2）解：设半径为x，则，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
∴半径为4，则，
在中，，，，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】(1)要证明EF与相切，E显然为切点，因此连结辅助线OE，只需要证明OF⊥EF（∠OEF=90°）即可.连结辅助线OE后，因为OA=OE，所以∠EOF=2∠EAF，而题干中存在2∠EAF=∠CAF，∴∠EOF=∠CAF.又因为∠EFA=∠ABC，所以根据两角对应相等，△EOF相似△CAB，∠OEF必对应∠ACB.而因为AB为直径，所以∠ACB=90°，所以∠OEF也必为90°，得证.
（2）结合（1）中的结论，△OEF为直角三角形，则，而OF=OE+1，若直接设元半径OE=x，则得到关于x的分式方程：，从而得到x=4=OE，则直径AB=8.又因为∠ABC=∠AFE，所以在Rt△ABC中，利用，可得到AC，然后根据勾股定理，得到BC的值，得解.
25．【答案】（1）解：．
理由如下：
如图，连接．
根据图形旋转的性质可知．
由题意可知，为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形斜边上的中线，
，．
又，
．
在和中，
．
，．
．
．
．
（2）解：为等腰直角三角形斜边上的中线，
．
，
．
，，
．
，．
，．
在和中，
．
．
．
（3）解：当点D在线段延长线上时，不满足条件，故分两种情况：
①点D在线段上，如图，过点作垂直于，交于点；过点作垂直于，交于点．
设，则．
根据题意可知，四边形和为矩形，为等腰直角三角形．
，．
由（2）证明可知，
．
．
．
根据勾股定理可知
，
的面积与的面积之比
②点D在线段的延长线上，过点作垂直于，交延长线于点，令交于点，连接，由题意知，四边形，是矩形，
∵
∴
即
又∵，
∴
∴
而
∴
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∴
中，
的面积与的面积之比
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】(1)在等腰Rt△ABC中，O为AB的中点，当D与点O重合时，则CD⊥AB，△ACD和△BCD均为等腰直角三角形，∠CDB=∠BCD=45°.由CD和CE的旋转关系，可知DC=EC，∠DCE=90°，所以∠ECB=45°，若连结BE（辅助线），则易证△BDC≌△BEC，所以∠DBC=∠EBC=45°，所以∠EBF=45°，△EBF也为等腰直角三角形.所以AD=BD=BE=，即，得解. （2）分析要证明的结论，，因为，而AD+BD=AB，所以转化证明CG=AD即可.证明两条不在同一个三角形的线段相等，最常用的方法是包含这两条线段的两个三角形全等.判断分析是△ACD和△ECG，已有的条件是CD=EC，因此还需要寻找其他边角条件.因为CB⊥BF，EF⊥BF，所以EB∥GF，所以∠OCB=∠G，而∠A=∠OCB=45°，所以∠A=∠G=45°，这是第二个条件.因为∠ACB=∠DCE=90°，去掉公共角∠DCB，可得∠ACD=∠BCE，而因为CB∥GF，所以∠BCE=∠GEC，所以∠ACD=∠GEC，这是第三个条件，所以能证明△ACD和△ECG全等，进而得到CG=AD，代入完成等式的证明.
（3）先分析结论，△CDE合△ABC的面积比，结合两个三角形均为等腰直角三角形，两个三角形相似，所以其面积比，我们简化为两个三角形对应直角边的平方比，如.
再分析，因为D在直线AB上运动，点D的位置不同，需要分类作图讨论：
第一种情况：当D在线段AB的延长上，此时作图发现EF＞BC，不满足题目条件要求，不用分析；
第二种情况：当D在线段AB上时，为计算方便，设EF=a，则BC=3a=AC，结合（2）的证明过程，GE=AC=3a，GF=4a.现在要求出CE和a的关系，则需要把CE也放置在特殊的三角形中求解，因此作EM⊥BC于M，则BM=EF=a，所以CM=2a，所以接下来就是找到ME和a的关系.因为∠G=45°，若作CN⊥GF，则△CGN为等腰直角三角形，ME=CN=GN，而GN=GF-NF=GF-CB=a.所以在Rt△CME中，CM=2a，ME=a，根据勾股定理得，所以.
第三种情况：当点D在BA的延长线上时，类似与第二种情况解法过程，延长CB，作EJ⊥CB的延长线于J，构造Rt△CEJ，从而求斜边CE.因为CD=EC，∠DCA=∠ECB，AC=BC，所以△DCA全等于△BCE(SAS)，所以∠DAC=∠EBC，所以∠CAB=∠EBJ，均为45°，所以△EBJ为等腰直角三角形，EJ=BJ=EF=a.在Rt△CEJ中，EJ=a，CJ=4a，根据勾股定理得，，所以.所以最终答案为和.
26．【答案】（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点和，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，且，则，
∴，
∵解析式的对称轴为，
∴，
∴，
依题意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）解：令，则，
解得或，
∴，
同理，直线的解析式为，
∵四边形是正方形，
∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，
，，
∴，
∴，，
设，
∴，，
则，
∵点M在直线上，
∴，
解得或，
当时，，，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时；
当时，，，
点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
∴，即．
综上，点的坐标为或．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)用待定系数法，直接将抛物线上的两个已知点B（4，0）和C（0，4）代入，得到b和c的二元一次方程组，求解即可；
（2）因为矩形EFGH的周长为11，可知2(EF+EH)=11.因为HE∥x轴，EF∥y轴，则H、E纵坐标相等，E、F横坐标相等，所以可以利用E的坐标把两条线段表示出来.设E的横坐标为x，因其位于抛物线上，所以代入（1）中抛物线表达式得到其纵坐标为 .求出BC直线表达式，代入F的横坐标x，可得到F的总坐标为-x+4，所以EF长度为（E纵-F纵），化简即可S.而求HE时，因为H、E关于对称轴对称，所以EH=2（E横-对称轴），故先求出其对称轴为1，所以得到EH的长度为2（x-1）=2x-2.最后，将EF和EH的代数式代入2(EF+EH)=11，得到关于x的一元二次方程中，得解x.特别注意的是，因为E位于第一象限内，所以x取值范围为0（3）根据正方形OENM的名称，O和N，E和M分别是对顶点，根据其题意作出满足条件一个图形.作EP⊥OC于P，MQ⊥y轴于Q，根据三角形K型全等模型（坐标系中出现正方形时常用模型），可得△OEP≌△MOP，结合E的坐标（m，）得到对应边EP=OQ=-m，OP=MQ=，进而可得到M的坐标(，)，因此代入AC的函数解析式，得到m的一元二次方程求解，得到m的两个解，进而求出E和M的坐标.根据正方形顶点在坐标系中的平移特征：“O到M的平移过程，和E到N的平移过程”一致，最后求出对应的N的两个坐标即可.
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