安徽省滁州市定远县民族中学2022-2023学年高二第二学期数学期末试卷

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安徽省滁州市定远县民族中学2022-2023学年高二第二学期数学期末试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高二下·定远期末）在的展开式中，的系数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·定远期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高二下·定远期末）某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的名学生，得到数据如下表：
喜欢应用统计课程 不喜欢应用统计课程
男生
女生
附表：
参考公式：，其中．
参照附表，得到的正确结论是（　　）
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢“应用统计”课程与性别有关
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢“应用统计”课程与性别无关
C．有以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关
D．有以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别无关
4．（2023高二下·定远期末）不等式的解集为（　　）
A．， B．
C． D．，
5．（2021高一下·天津月考）在 中，若 ， ， 的面积 ，则 （　　）
A． B． C． D．
6．（2023高二下·定远期末）年月日是中国共产党成立周年，习近平总书记代表党和人民庄严宣告，经过全党全国各族人民持续奋斗，我们实现了第一个百年奋斗目标，在中华大地上全面建成了小康社会，历史性地解决了绝对贫困问题．某数学兴趣小组把三个、两个、两个与一个组成一个八位数如，若其中三个均不相邻，则这个八位数的个数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·定远期末）已知向量，，与的夹角为，若对任意，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023高二下·定远期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高二下·定远期末）如图，在三棱柱中，，，设，，，且向量与的夹角为，则（　　）
A．
B．与所成的角为
C．
D．当时，三棱锥的体积为定值
10．（2020高三上·南京月考）已知双曲线 ： 的实轴长是2，右焦点与抛物线 ： 的焦点 重合，双曲线 与抛物线 交于 、 两点，则下列结论正确的是（　　）
A．双曲线 的离心率为
B．抛物线 的准线方程是
C．双曲线 的渐近线方程为
D．
11．（2023高二下·定远期末）已知数列，满足，，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
12．（2023高二下·定远期末）石榴原名“安石榴”，果实酸甜各异，是温带、亚热带稀有水果之一．自古就有“九州之奇树，天下之名果”、“多籽丽人”的美称．石榴原产伊朗中亚地区，秦汉时期，通过“丝绸之路”引入我国，已有两千多年的栽培历史，我国南北各地均有小流域的栽培，共有多个品种．金秋十月，怀远石榴成熟．不同品种的石榴价格及某石榴销售点根据以往各种石榴日销量的统计如下表：
种类 软籽 硬籽
红玛瑙 白花玉石籽 红花玉石籽 红玛瑙 白花玉石籽 红花玉石籽
售价单位：元
日销量单位：
此销售点对去年同一时间的天，每天到该销售点要求订购石榴数量统计如下表：
重量范围 单位：
重量单位：
天数单位：天
根据以往的经验，该销售点只有销售额的三分之一作为销售点员工的工资和销售点的利润，其余的费用是其它各项消费．目前该销售点有员工人，每人每天销售石榴不超过，日工资元；该销售点正在考虑每日利润的数学期望决定是否将员工裁减人．
以上数据已做近似处理，要求：将频率视为概率；在计算每千克石榴的价格的平均值时，结果精确到元即精确到个位数则（　　）
A．该销售点销售每千克石榴的价格的平均值约为元
B．该销售点未来天内至少有天石榴销售重量在之间的概率为
C．该销售点在不裁减工作人员的情况下，每日利润的数学期望为元
D．该销售点在裁减工作人员人的情况下，每日利润的数学期望为元
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（2023高二下·定远期末）若函数，且是函数的导函数，则等于　 　．
14．（2022·临沂模拟）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，则其欧拉线方程为　 　．
15．（2022高二下·安徽期末）设，若，则　 　.
16．（2023高二下·定远期末）某校高二学生一次数学诊断考试成绩单位：分服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率　 　.(结果用分数表示)
附参考数据：；；．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高二下·定远期末）已知数列的前项之积为，且，．
（1）求的通项公式
（2）求数列的前项和．
18．（2023高二下·定远期末）随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝、微信等软件进行扫码支付也日渐流行开来某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如表：
年份
年份代码
使用扫码支付的人次单位：万人
（1）观察数据发现，使用扫码支付的人次与年份代码的关系满足经验关系式：，通过散点图可以发现与之间具有相关性设，利用与的相关性及表格中的数据求出与之间的回归方程，并估计年该商场使用扫码支付的人次；
（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：
方案一：使用现金支付，每满元可参加次抽奖活动，抽奖方法如下：
在抽奖箱里有个形状、大小完全相同的小球其中红球有个，黑球有个，顾客从抽奖箱中一次性摸出个球，若摸到个红球，则打折；若摸出个红球则打折，其他情况不打折．
方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受立减元优惠．
若小张在活动期间恰好购买了总价为元的商品．
(ⅰ)求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望；
(ⅱ)试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点，，，，的回归直线为，，，相关数据：，，，其中．
19．（2023高二下·定远期末）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当有最大值，且最大值小于时，求的取值范围．
20．（2023高二下·定远期末）已知数列满足，。数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
21．（2022高二下·安徽期末）已知椭圆的左，右焦点分别为为上一点且在第一象限.已知为等腰三角形，且.
（1）求的离心率；
（2）若的周长为10，求点的坐标.
22．（2022高二下·安徽期末）函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当，且.
①证明：有两个极值点；
②证明：对任意的.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】的展开式，令，解得， 的系数为.
故答案为：C
【分析】写出 展开式的通项求解。
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ， ，.
故答案为：A
【分析】利用复数的除法计算，进而得到 。
3．【答案】A
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】，有以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关，即在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢“应用统计”课程与性别有关。
故答案为：A
【分析】利用公式计算 ， 再根据计算结果参照表格利用独立性检验相关知识判断选项。
4．【答案】B
【知识点】绝对值不等式的解法
【解析】【解答】 ，或，解得或.
故答案为：B
【分析】根据绝对值计算法则计算求解。
5．【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由三角形的面积公式可得：
由余弦定理可得：
所以
故答案为：A
【分析】首先由三角形的面积公式计算出c的值，再由余弦定理代入数值求出a的值，然后再正弦定理代入数值计算出结果即可。
6．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】利用插空法第一步排列两个、两个与一个，有种排法。
第二步将0插入这5个数中，排除首位有五个空有种排法，这个八位数的个数为.
故答案为：C
【分析】利用插空法第一步排列两个、两个与一个，第二步将0插入这5个数中。
7．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；函数的单调性与导数正负的关系；向量的模
【解析】【解答】由题意知，，，
对任意，，当时恒成立，
令，则只需证明在单调递减，
，令，解得 。
故答案为：D
【分析】先利用模长计算公式求 ，再构造函数转化为单调性问题。
8．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】令，则，在上单调递减，
为偶函数， ，，
不等式 即，
，解得。
故答案为：A
【分析】构造函数 ，利用函数单调性进行求解。
9．【答案】B,D
【知识点】向量加减混合运算；平面内两直线的夹角与到角问题；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A、 ， ， ， A错误；
B、 ，， ， 与所成的角为 ，B正确；
C、 ， C错误；
D、 ，点P在直线上，又 平面，直线上点到平面距离相等，又面积为定值，三棱锥的体积为定值， D正确。
故答案为：CD
【分析】A、利用直角三角形直接计算 ； B、以 ，，为基底，利用基底法计算； C、利用向量加法判断；D、利用 平面判断。
10．【答案】B,C
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 ： 的实轴长为2，可得 ，
又由抛物线 ： 的焦点 重合，可得双曲线的右焦点为 ，即 ，
则 ，可知双曲线 ： ，
所以双曲线 的离心率为 ，抛物线 的准线方程是 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
所以A不正确；B、C符合题意，
联立方程组 ，解得 ，
所以 ，所以D不正确.
故答案为：BC.
【分析】首先由已知可求出a与c的值，进而得出双曲线的方程，再由双曲线的离心率以及渐近线的方程，结合抛物线的方程以及准线方程即可判断出选项A错误选项B、C正确；联立两个圆锥曲线的方程求出交点的坐标再结合抛物线的定义即可判断出选项D错误，由此得到答案。
11．【答案】B,C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的应用
【解析】【解答】，，，数列是以为首项，1为公差的等差数列，， ，
， ，
故答案为：BC
【分析】对 取倒数利用等差数列求通项，进而求出 和判断选项。
12．【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】A、 该销售点销售每千克石榴的价格的平均值约为，A正确
B、由题意知石榴的销售量在101~600kg之间的天数有15天，将频率视为概率，石榴的销售量在 101~600kg之间的概率为，
石榴销售点未来4天内没有1天石榴销售重量在101~600kg之间的概率为，
销售点未来天内至少有天石榴销售重量在之间的概率为，B正确；
C、如果不裁员，销售点每天销量的上限为1500kg，此时销售点每日销售量情况如下：
重量范围(单位：kg) 0~100 101~300 301~600 610~900 901~1500
重量(单位：kg) 50 200 450 800 1250
天数(单位：天) 1 5 10 3 1
频率
销售点平均销售量的期望值为：千克，
销售点平均日利润的期望值为：元，C错误；
D、如果裁员1人，销售点每天销量的上限为1200kg，此时销售点每日销售量情况如下：
重量范围(单位：kg) 0~100 101~300 301~600 610~1200
重量(单位：kg) 50 200 450 800
天数(单位：天) 1 5 10 4
频率
销售点平均销售量的期望值为：千克，
销售点平均日利润的期望值为：元，D正确。
故答案为：ABD
【分析】A、根据表格数据直接计算销售点销售每千克石榴的价格的平均值；
B、首先浆出石榴的销售量在101~600kg之间的概率，再求出此石榴销售点未来4天内没有1天石
榴销售重量在101~600kg之间的概率，利用对立事件求石榴销售点未来4天内至少有1天石榴销售重量在101~600kg之间的概率；
C、先求出不裁员销售点每日的销售量情况，再求出日利润的期望值进行判断；
D、先求出裁员1人后销售点每日的销售量情况，再求出日利润的期望值进行判断。
13．【答案】24
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】 ，
.
故答案为：24
【分析】根据导数运算法则先求出 ，再求 。
14．【答案】x-y+2=0
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】设的重心为，垂心为
由重心坐标公式得，所以
由题，的边上的高线所在直线方程为，
直线，，所以的边上的高线所在直线方程为
所以
所以欧拉线的方程为，即.
故答案为：x-y+2=0
【分析】分别算出重心坐标和垂心坐标即可求得欧拉线方程.
15．【答案】4
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令，得，①
令，得，②
①-②，得，得，所以，解得。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合赋值法和作差法，进而得出实数a的值。
16．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由题意知事件为同学的成绩，，，
，
，
.
故答案为：
【分析】先计算出， ，再利用条件概率公式求解。
17．【答案】（1）由题意得，，．
所以，故是以为首项，为公差的等差数列，则
当时，由，得，则，此式对也成立，
故．
（2）由可知，，
所以，
即数列的前项和
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由 得即利用等差数列求出，再由求出 的通项公式 ；
（2）由得，利用裂项法求 。
18．【答案】（1）由题意可得，，
所以，
则，
所以所求的回归方程为，
当时，万人次，
估计年该商场使用移动支付的有万人次．
（2）若选择方案一，设付款金额为元，则的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为：
故E元；
若选择方案二，记需支付的金额为元，
则的可能取值为，，，
则其对应的概率分别为，
所以元，
因为，
故从期望角度看，小张选择方案二付款优惠力度更大．
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）分别求出，，，得到所求的回归方程，代
，估计出年该商场使用移动支付的 人次；
（2） (ⅰ)易知的可能取值为，，，再求出， ，
列出分布列求期望；
(ⅱ)求出方案二的期望，与比较判断哪个方案付款优惠力度更大。
19．【答案】（1）函数的定义域为，
当时，，则，则，，
所以，所求切线方程为，即．
（2）函数的定义域为，．
若，则，在上单调递增，无最大值；
若，则当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，函数在取得最大值，
最大值为，
因此，，可得，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，且，
由可得，所以，的取值范围是．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）代入 ，再求出，，利用点斜式写出在点处的切线方程；
（2）求导分和两种情况讨论在的最大值，进而求 的取值范围。
20．【答案】（1）由并根据题意可知，
则，
当且时，
由累乘法得，
又，则，
当时，也符合上式，
综上可知，．
（2），因为，所以，即，
当且时，由累加法得，
设，则，
所以，
又，则，
当时，上述不等式也成立，
因此，当时，对恒成立．
【知识点】数列的应用；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）由得到利用累乘法求的通项公式；
（2）利用基本不等式进行放缩，再利用累加法和错位相减法证明 ．
21．【答案】（1）解：由题意可知，，所以，得，即的离心率为
（2）解：的周长为，即，
，所以得，所以，所以椭圆方程，
设，则在中，，
所以，得边的高为，
因为在第一象限，所以，得，
代入椭圆方程得，得，所以
【知识点】椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合焦距的定义和椭圆的定义，进而结合转化的方法和椭圆的离心率公式，进而得出椭圆的离心率的值。
（2）利用三角形 的周长结合已知条件得出a+c的值，再结合，进而得出a，c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出b的值，进而得出椭圆的标准方程，设，则在中结合焦距的定义得出的值，再利用椭圆的定义得出的值，再结合勾股定理得出边的高，再利用点在第一象限结合三角形的面积公式得出的值，再结合代入法得出
的值，进而得出点M的坐标。
22．【答案】（1）解：当时，，
解得
当单调递减；当单调递增，
当时，有极小值，，无极大值
（2）证明：①证明：
则，
所以
当时，单调递减；当单调递增；
所以，
由零点存在定理知，在上各有一个零点，
即存在，使得
所以在上，，单调递增，在，，单调递减
再在上，，单调递增
所以有两个极值点；
②证明：由①可知的最小值为0，
令，则，得到
即，令，则，
所以
【知识点】函数恒成立问题；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值。
（2） ①利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用零点存在性定理和导数求极值点的方法，进而证出函数有两个极值点。
②证明：由①可知的最小值为0，令，则，得到，令，则，再结合求和法和对数的运算法则，进而证出任意的成立。
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安徽省滁州市定远县民族中学2022-2023学年高二第二学期数学期末试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高二下·定远期末）在的展开式中，的系数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】的展开式，令，解得， 的系数为.
故答案为：C
【分析】写出 展开式的通项求解。
2．（2023高二下·定远期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ， ，.
故答案为：A
【分析】利用复数的除法计算，进而得到 。
3．（2023高二下·定远期末）某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的名学生，得到数据如下表：
喜欢应用统计课程 不喜欢应用统计课程
男生
女生
附表：
参考公式：，其中．
参照附表，得到的正确结论是（　　）
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢“应用统计”课程与性别有关
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢“应用统计”课程与性别无关
C．有以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关
D．有以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别无关
【答案】A
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】，有以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关，即在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢“应用统计”课程与性别有关。
故答案为：A
【分析】利用公式计算 ， 再根据计算结果参照表格利用独立性检验相关知识判断选项。
4．（2023高二下·定远期末）不等式的解集为（　　）
A．， B．
C． D．，
【答案】B
【知识点】绝对值不等式的解法
【解析】【解答】 ，或，解得或.
故答案为：B
【分析】根据绝对值计算法则计算求解。
5．（2021高一下·天津月考）在 中，若 ， ， 的面积 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由三角形的面积公式可得：
由余弦定理可得：
所以
故答案为：A
【分析】首先由三角形的面积公式计算出c的值，再由余弦定理代入数值求出a的值，然后再正弦定理代入数值计算出结果即可。
6．（2023高二下·定远期末）年月日是中国共产党成立周年，习近平总书记代表党和人民庄严宣告，经过全党全国各族人民持续奋斗，我们实现了第一个百年奋斗目标，在中华大地上全面建成了小康社会，历史性地解决了绝对贫困问题．某数学兴趣小组把三个、两个、两个与一个组成一个八位数如，若其中三个均不相邻，则这个八位数的个数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】利用插空法第一步排列两个、两个与一个，有种排法。
第二步将0插入这5个数中，排除首位有五个空有种排法，这个八位数的个数为.
故答案为：C
【分析】利用插空法第一步排列两个、两个与一个，第二步将0插入这5个数中。
7．（2023高二下·定远期末）已知向量，，与的夹角为，若对任意，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；函数的单调性与导数正负的关系；向量的模
【解析】【解答】由题意知，，，
对任意，，当时恒成立，
令，则只需证明在单调递减，
，令，解得 。
故答案为：D
【分析】先利用模长计算公式求 ，再构造函数转化为单调性问题。
8．（2023高二下·定远期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】令，则，在上单调递减，
为偶函数， ，，
不等式 即，
，解得。
故答案为：A
【分析】构造函数 ，利用函数单调性进行求解。
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高二下·定远期末）如图，在三棱柱中，，，设，，，且向量与的夹角为，则（　　）
A．
B．与所成的角为
C．
D．当时，三棱锥的体积为定值
【答案】B,D
【知识点】向量加减混合运算；平面内两直线的夹角与到角问题；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A、 ， ， ， A错误；
B、 ，， ， 与所成的角为 ，B正确；
C、 ， C错误；
D、 ，点P在直线上，又 平面，直线上点到平面距离相等，又面积为定值，三棱锥的体积为定值， D正确。
故答案为：CD
【分析】A、利用直角三角形直接计算 ； B、以 ，，为基底，利用基底法计算； C、利用向量加法判断；D、利用 平面判断。
10．（2020高三上·南京月考）已知双曲线 ： 的实轴长是2，右焦点与抛物线 ： 的焦点 重合，双曲线 与抛物线 交于 、 两点，则下列结论正确的是（　　）
A．双曲线 的离心率为
B．抛物线 的准线方程是
C．双曲线 的渐近线方程为
D．
【答案】B,C
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 ： 的实轴长为2，可得 ，
又由抛物线 ： 的焦点 重合，可得双曲线的右焦点为 ，即 ，
则 ，可知双曲线 ： ，
所以双曲线 的离心率为 ，抛物线 的准线方程是 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
所以A不正确；B、C符合题意，
联立方程组 ，解得 ，
所以 ，所以D不正确.
故答案为：BC.
【分析】首先由已知可求出a与c的值，进而得出双曲线的方程，再由双曲线的离心率以及渐近线的方程，结合抛物线的方程以及准线方程即可判断出选项A错误选项B、C正确；联立两个圆锥曲线的方程求出交点的坐标再结合抛物线的定义即可判断出选项D错误，由此得到答案。
11．（2023高二下·定远期末）已知数列，满足，，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的应用
【解析】【解答】，，，数列是以为首项，1为公差的等差数列，， ，
， ，
故答案为：BC
【分析】对 取倒数利用等差数列求通项，进而求出 和判断选项。
12．（2023高二下·定远期末）石榴原名“安石榴”，果实酸甜各异，是温带、亚热带稀有水果之一．自古就有“九州之奇树，天下之名果”、“多籽丽人”的美称．石榴原产伊朗中亚地区，秦汉时期，通过“丝绸之路”引入我国，已有两千多年的栽培历史，我国南北各地均有小流域的栽培，共有多个品种．金秋十月，怀远石榴成熟．不同品种的石榴价格及某石榴销售点根据以往各种石榴日销量的统计如下表：
种类 软籽 硬籽
红玛瑙 白花玉石籽 红花玉石籽 红玛瑙 白花玉石籽 红花玉石籽
售价单位：元
日销量单位：
此销售点对去年同一时间的天，每天到该销售点要求订购石榴数量统计如下表：
重量范围 单位：
重量单位：
天数单位：天
根据以往的经验，该销售点只有销售额的三分之一作为销售点员工的工资和销售点的利润，其余的费用是其它各项消费．目前该销售点有员工人，每人每天销售石榴不超过，日工资元；该销售点正在考虑每日利润的数学期望决定是否将员工裁减人．
以上数据已做近似处理，要求：将频率视为概率；在计算每千克石榴的价格的平均值时，结果精确到元即精确到个位数则（　　）
A．该销售点销售每千克石榴的价格的平均值约为元
B．该销售点未来天内至少有天石榴销售重量在之间的概率为
C．该销售点在不裁减工作人员的情况下，每日利润的数学期望为元
D．该销售点在裁减工作人员人的情况下，每日利润的数学期望为元
【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】A、 该销售点销售每千克石榴的价格的平均值约为，A正确
B、由题意知石榴的销售量在101~600kg之间的天数有15天，将频率视为概率，石榴的销售量在 101~600kg之间的概率为，
石榴销售点未来4天内没有1天石榴销售重量在101~600kg之间的概率为，
销售点未来天内至少有天石榴销售重量在之间的概率为，B正确；
C、如果不裁员，销售点每天销量的上限为1500kg，此时销售点每日销售量情况如下：
重量范围(单位：kg) 0~100 101~300 301~600 610~900 901~1500
重量(单位：kg) 50 200 450 800 1250
天数(单位：天) 1 5 10 3 1
频率
销售点平均销售量的期望值为：千克，
销售点平均日利润的期望值为：元，C错误；
D、如果裁员1人，销售点每天销量的上限为1200kg，此时销售点每日销售量情况如下：
重量范围(单位：kg) 0~100 101~300 301~600 610~1200
重量(单位：kg) 50 200 450 800
天数(单位：天) 1 5 10 4
频率
销售点平均销售量的期望值为：千克，
销售点平均日利润的期望值为：元，D正确。
故答案为：ABD
【分析】A、根据表格数据直接计算销售点销售每千克石榴的价格的平均值；
B、首先浆出石榴的销售量在101~600kg之间的概率，再求出此石榴销售点未来4天内没有1天石
榴销售重量在101~600kg之间的概率，利用对立事件求石榴销售点未来4天内至少有1天石榴销售重量在101~600kg之间的概率；
C、先求出不裁员销售点每日的销售量情况，再求出日利润的期望值进行判断；
D、先求出裁员1人后销售点每日的销售量情况，再求出日利润的期望值进行判断。
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（2023高二下·定远期末）若函数，且是函数的导函数，则等于　 　．
【答案】24
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】 ，
.
故答案为：24
【分析】根据导数运算法则先求出 ，再求 。
14．（2022·临沂模拟）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，则其欧拉线方程为　 　．
【答案】x-y+2=0
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】设的重心为，垂心为
由重心坐标公式得，所以
由题，的边上的高线所在直线方程为，
直线，，所以的边上的高线所在直线方程为
所以
所以欧拉线的方程为，即.
故答案为：x-y+2=0
【分析】分别算出重心坐标和垂心坐标即可求得欧拉线方程.
15．（2022高二下·安徽期末）设，若，则　 　.
【答案】4
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令，得，①
令，得，②
①-②，得，得，所以，解得。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合赋值法和作差法，进而得出实数a的值。
16．（2023高二下·定远期末）某校高二学生一次数学诊断考试成绩单位：分服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率　 　.(结果用分数表示)
附参考数据：；；．
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由题意知事件为同学的成绩，，，
，
，
.
故答案为：
【分析】先计算出， ，再利用条件概率公式求解。
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高二下·定远期末）已知数列的前项之积为，且，．
（1）求的通项公式
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）由题意得，，．
所以，故是以为首项，为公差的等差数列，则
当时，由，得，则，此式对也成立，
故．
（2）由可知，，
所以，
即数列的前项和
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由 得即利用等差数列求出，再由求出 的通项公式 ；
（2）由得，利用裂项法求 。
18．（2023高二下·定远期末）随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝、微信等软件进行扫码支付也日渐流行开来某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如表：
年份
年份代码
使用扫码支付的人次单位：万人
（1）观察数据发现，使用扫码支付的人次与年份代码的关系满足经验关系式：，通过散点图可以发现与之间具有相关性设，利用与的相关性及表格中的数据求出与之间的回归方程，并估计年该商场使用扫码支付的人次；
（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：
方案一：使用现金支付，每满元可参加次抽奖活动，抽奖方法如下：
在抽奖箱里有个形状、大小完全相同的小球其中红球有个，黑球有个，顾客从抽奖箱中一次性摸出个球，若摸到个红球，则打折；若摸出个红球则打折，其他情况不打折．
方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受立减元优惠．
若小张在活动期间恰好购买了总价为元的商品．
(ⅰ)求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望；
(ⅱ)试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点，，，，的回归直线为，，，相关数据：，，，其中．
【答案】（1）由题意可得，，
所以，
则，
所以所求的回归方程为，
当时，万人次，
估计年该商场使用移动支付的有万人次．
（2）若选择方案一，设付款金额为元，则的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为：
故E元；
若选择方案二，记需支付的金额为元，
则的可能取值为，，，
则其对应的概率分别为，
所以元，
因为，
故从期望角度看，小张选择方案二付款优惠力度更大．
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）分别求出，，，得到所求的回归方程，代
，估计出年该商场使用移动支付的 人次；
（2） (ⅰ)易知的可能取值为，，，再求出， ，
列出分布列求期望；
(ⅱ)求出方案二的期望，与比较判断哪个方案付款优惠力度更大。
19．（2023高二下·定远期末）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当有最大值，且最大值小于时，求的取值范围．
【答案】（1）函数的定义域为，
当时，，则，则，，
所以，所求切线方程为，即．
（2）函数的定义域为，．
若，则，在上单调递增，无最大值；
若，则当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，函数在取得最大值，
最大值为，
因此，，可得，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，且，
由可得，所以，的取值范围是．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）代入 ，再求出，，利用点斜式写出在点处的切线方程；
（2）求导分和两种情况讨论在的最大值，进而求 的取值范围。
20．（2023高二下·定远期末）已知数列满足，。数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）由并根据题意可知，
则，
当且时，
由累乘法得，
又，则，
当时，也符合上式，
综上可知，．
（2），因为，所以，即，
当且时，由累加法得，
设，则，
所以，
又，则，
当时，上述不等式也成立，
因此，当时，对恒成立．
【知识点】数列的应用；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）由得到利用累乘法求的通项公式；
（2）利用基本不等式进行放缩，再利用累加法和错位相减法证明 ．
21．（2022高二下·安徽期末）已知椭圆的左，右焦点分别为为上一点且在第一象限.已知为等腰三角形，且.
（1）求的离心率；
（2）若的周长为10，求点的坐标.
【答案】（1）解：由题意可知，，所以，得，即的离心率为
（2）解：的周长为，即，
，所以得，所以，所以椭圆方程，
设，则在中，，
所以，得边的高为，
因为在第一象限，所以，得，
代入椭圆方程得，得，所以
【知识点】椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合焦距的定义和椭圆的定义，进而结合转化的方法和椭圆的离心率公式，进而得出椭圆的离心率的值。
（2）利用三角形 的周长结合已知条件得出a+c的值，再结合，进而得出a，c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出b的值，进而得出椭圆的标准方程，设，则在中结合焦距的定义得出的值，再利用椭圆的定义得出的值，再结合勾股定理得出边的高，再利用点在第一象限结合三角形的面积公式得出的值，再结合代入法得出
的值，进而得出点M的坐标。
22．（2022高二下·安徽期末）函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当，且.
①证明：有两个极值点；
②证明：对任意的.
【答案】（1）解：当时，，
解得
当单调递减；当单调递增，
当时，有极小值，，无极大值
（2）证明：①证明：
则，
所以
当时，单调递减；当单调递增；
所以，
由零点存在定理知，在上各有一个零点，
即存在，使得
所以在上，，单调递增，在，，单调递减
再在上，，单调递增
所以有两个极值点；
②证明：由①可知的最小值为0，
令，则，得到
即，令，则，
所以
【知识点】函数恒成立问题；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值。
（2） ①利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用零点存在性定理和导数求极值点的方法，进而证出函数有两个极值点。
②证明：由①可知的最小值为0，令，则，得到，令，则，再结合求和法和对数的运算法则，进而证出任意的成立。
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