1.4 充分条件与必要条件
考点预览
知识点讲解
知识点1：命题
定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句
形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论
知识点练习：
1．下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
知识点2：充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
一般地,“若,则”为真命题,【即表示为：由p可以推理出q】就说是的充分条件,是的必要条件.记作：
“若,则”是假命题，就说不是的充分条件，不是的必要条件
注意：
在逻辑推理中“”的几种说法
(1)“如果,那么”为真命题.
(2)是的充分条件.
(3)是的必要条件.
(4)的必要条件是.
(5)的充分条件是.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.
二、如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件．
知识点练习：
2．“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点3：集合与充分必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
知识点练习：
4．若非空集合，则“或”是“”的（ ）
A．必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
5．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点解析
考点1：充分、必要条件判断
1．已知p：“”，q：“”，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
2．已知a，b都是自然数，则“是偶数”是“a，b都是偶数”的（ ）条件
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不允分也不必要条件
5．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
考点2：充分、必要条件探究
1．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．使或}成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
4．的一个必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
考点3：充要条件的证明
1．下列三个结论中所有正确结论的序号是（ ）
①若全集为，集合，则；
②空集是任何一个集合的真子集；
③已知集合与，则是的充要条件．
A．① B．③ C．①② D．①③
2．求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0.
3．已知，是实数，求证：成立的充要条件是.
考点4：根据条件确定参数范围
1．已知集合，若“”是“”的必要条件，求实数的值.
2．已知，．
(1)若q是p的必要非充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若，且p，q至少有一个成立，求x的取值范围．
3．已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a．
(1)若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围；
(2)求证：a≥2是α β成立的充要条件．
4．已知，．
（1）当时，求中所对应的实数的取值范围；
（2）若是的充分必要条件，求，的值．
课后练习
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．“”是“方程无实数解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知a为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．不等式“在上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．下列命题中真命题有（ ）
①是一元二次方程；
②函数的图象与x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．以下选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A．p：，q：
B．p：，q：
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：，q：关于x的方程有唯一解
8．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
二、填空题
9．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的 条件.
三、解答题
10．集合，.
(1)当时，求；
(2)从下面条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m的取值范围
条件①：是的充分条件；
条件②：；
条件③：.
注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
11．已知全集，集合，.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
12．已知集合，
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围．
请从①且；②“”是“”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）1.4 充分条件与必要条件
考点预览
知识点讲解
知识点 1：命题
定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断
为假的语句
形式:“若 p ,则q”.其中 p 称为命题的条件﹐q称为命题的结论
知识点练习：
1．下列语句中：① 1 2；② x 1；③ x2 - 1= 0有一个根为 0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥
有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
{#{QQABKQQEogCAAAIAABgCQQXyCAKQkBAACKgOgBAEoAAASANABAA=}#}
知识点 2：充分条件与必要条件
一、充分条件与必要条件
一般地,“若 p ,则q”为真命题,【即表示为：由 p 可以推理出 q】就说 p 是q的充分条件,q是 p 的必要条
件.记作： p q
“若 p ,则q”是假命题，就说 p 不是q的充分条件，q不是 p 的必要条件
注意：
在逻辑推理中“ p q”的几种说法
(1)“如果 p ,那么q”为真命题.
(2) p 是q的充分条件.
(3)q是 p 的必要条件.
(4) p 的必要条件是q .
(5)q的充分条件是 p .
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.
二、如果“若 p ，则q”和它的逆命题“若q，则 p ”均是真命题，即既有 p q ，又有q p ，记作 p q.
此时 p 既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说 p 是q的充分必要条件，简称为充要条件．
知识点练习：
1
2．“ x 1”是“ 1”的（ ）
x
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3．“ x2 x = 0”是“ x =1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
{#{QQABKQQEogCAAAIAABgCQQXyCAKQkBAACKgOgBAEoAAASANABAA=}#}
知识点 3：集合与充分必要条件
若 p 以集合 A的形式出现，q以集合B 的形式出现，即 p ： A ={x | p(x)}，q：B ={x | q(x)}，则
（1）若 A B ，则 p 是q的充分条件；
（2）若B A，则 p 是q的必要条件；
（3）若 A B ，则 p 是q的充分不必要条件；
（4）若B A，则 p 是q的必要不充分条件；
（5）若 A= B，则 p 是q的充要条件；
知识点练习：
4．若非空集合M N ，则“a M 或a N”是“a (M N )”的（ ）
A．必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
5．“ x Q”是“ x N”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分
也不必要条件
考点解析
考点 1：充分、必要条件判断
1．已知 p：“ x2 3x 4 = 0”，q：“ x= 1”，则 p是 q的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
{#{QQABKQQEogCAAAIAABgCQQXyCAKQkBAACKgOgBAEoAAASANABAA=}#}
2．已知 a，b都是自然数，则“a+b是偶数”是“a，b都是偶数”的（ ）条件
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪
山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家
乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
4．设a R，则“a3 27”是“ a 1 2”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不允分也不必要
条件
5．已知集合 A ={x}，B = x2 ，则“ x =1”是“ A= B”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要
条件
考点 2：充分、必要条件探究
1．若 x, y R ，则“ x y”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． x y B． x2 y2
x
C． 1 D．2x y 2
y
{#{QQABKQQEogCAAAIAABgCQQXyCAKQkBAACKgOgBAEoAAASANABAA=}#}
2．若不等式 a+1 x a+1的一个充分条件为0 x 1，则实数a 的取值范围是（ ）
A．a 0 B．a 0 C．a 1 D．a 1
3．使 x x | x 0 或 x 3}成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． x 0或 x 3 B． x 1或 x 3
C． x 0或 x 1 D． x 0
4．a 0,b 0的一个必要条件是（ ）
A．a+b 0 B．ab 2
C．a b 0 D．a2 b2 0
5．已知 p 是 r的充分不必要条件，q是 r的充分条件，s 是 r的必要条件，q是 s的必要条件，现有下列
命题：①s是 q的充要条件；② p 是 q的充分不必要条件；③r是 q的必要不充分条件；④r是 s的充分不
必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
考点 3：充要条件的证明
1．下列三个结论中所有正确结论的序号是（ ）
①若全集为U = x 3 x 5 ，集合 A = x 0 x 3 ，则 U A ={x | 3 x 5}；
②空集是任何一个集合的真子集；
③已知集合M 与N ，则M N 是M N =M 的充要条件．
A．① B．③ C．①② D．①③
{#{QQABKQQEogCAAAIAABgCQQXyCAKQkBAACKgOgBAEoAAASANABAA=}#}
2
2．求证：一元二次方程 x＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是 q＜0.
3．已知a ，b是实数，求证：a4 b4 2b2 =1成立的充要条件是a2 b2 =1.
考点 4：根据条件确定参数范围
2
1．已知集合 A = x x 3x+ 2 = 0 , B = x x2 +mx+ 2 = 0 ，若“ x A”是“ x B”的必要条件，求实数m
的值.
2．已知 p : x 1 1，q : 1 x a ．
(1)若 q是 p的必要非充分条件，求实数 a的取值范围；
(2)若a =1，且 p，q至少有一个成立，求 x的取值范围．
{#{QQABKQQEogCAAAIAABgCQQXyCAKQkBAACKgOgBAEoAAASANABAA=}#}
3．已知命题α：1≤x≤2，命题 β：1≤x≤a．
(1)若α是β必要非充分条件，求实数 a的取值范围；
(2)求证：a≥2是α β成立的充要条件．
4．已知 p : ax 3 1， q : x
2 (2b +1) x + b (b +1) 0．
（1）当a = 2时，求 p 中所对应的实数 x 的取值范围；
（2）若 p 是q的充分必要条件，求a ，b的值．
{#{QQABKQQEogCAAAIAABgCQQXyCAKQkBAACKgOgBAEoAAASANABAA=}#}
课后练习
1
1．已知a R，则“ 1”是“a 1”的（ ）
a
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．“ m 1”是“方程 x2 mx+1= 0无实数解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知 a为非零实数，则“ a 2”是“ a 1 1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．不等式“ x2 + 2x m 0在 x R上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．m 1 B．m 4 C．2 m 3 D． 1 m 2
5
5．设 x R，则“ 1”是“ x 5”的（ ）
x
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．下列命题中真命题有（ ）
①mx2 + 2x 1= 0是一元二次方程；
②函数 y = 2x 1的图象与 x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．以下选项中，p是 q的充要条件的是（ ）
A．p：3x+2 5，q： 2x 3 5
B．p：a 2,b 2，q： a b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：a 0，q：关于 x的方程ax =1有唯一解
{#{QQABKQQEogCAAAIAABgCQQXyCAKQkBAACKgOgBAEoAAASANABAA=}#}
1 1
8．已知不等式m 1 x m+1成立的充分条件是 x ，则实数m 的取值范围是（ ）
3 2
1 4 1 4
A． m∣m 或m B． m∣m 或m
2 3 2 3
1 4 1 4
C． m m D． m m
2 3 2 3
二、填空题
9．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分
条件，那么丁是甲的 条件.
三、解答题
10．集合 A = x | 1 x m ， B = x |1 x 4 .
(1)当m = 2时，求 A B；
(2)从下面条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数 m的取值范围
条件①： x B是 x A的充分条件；
条件②： A B = A；
条件③： ∩ = .
注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
{#{QQABKQQEogCAAAIAABgCQQXyCAKQkBAACKgOgBAEoAAASANABAA=}#}
11．已知全集U =R ，集合 A = x | m 1 x m +1 ，B = x | x 4 .
(1)当m = 4时，求 A B和 ∩ ( )；
(2)若“ x A”是“ x B”成立的充分不必要条件，求实数 m的取值范围.
12．已知集合 A = x 1 x 2 ，B = x m 2 x 2m
(1)当m = 2时，求 A B；
(2)若______，求实数m 的取值范围．
请从① x A且 x B；②“ x B”是“ x A”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线
处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
{#{QQABKQQEogCAAAIAABgCQQXyCAKQkBAACKgOgBAEoAAASANABAA=}#}1.4 充分条件与必要条件
考点预览
知识点讲解
知识点1：命题
定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句
形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论
知识点练习：
1．下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
【答案】D
【分析】根据命题的定义即可求解.
【详解】命题是能判断真假的陈述句，
由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，
②④无法判断真假，故不是命题，
①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，
故选：D
知识点2：充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
一般地,“若,则”为真命题,【即表示为：由p可以推理出q】就说是的充分条件,是的必要条件.记作：
“若,则”是假命题，就说不是的充分条件，不是的必要条件
注意：
在逻辑推理中“”的几种说法
(1)“如果,那么”为真命题.
(2)是的充分条件.
(3)是的必要条件.
(4)的必要条件是.
(5)的充分条件是.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.
二、如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件．
知识点练习：
2．“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】根据分数不等式求解答范围，即可根据集合间的关系求解.
【详解】由可得，解得或，故是或的真子集，故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据方程的解结合充分条件与必要条件的定义得出答案.
【详解】解得或，
则可推出或，
可推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
知识点3：集合与充分必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
知识点练习：
4．若非空集合，则“或”是“”的（ ）
A．必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】依题意，非空集合，
所以，
“或”即，
所以“或”是“”的必要条件.
故选：A
5．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】解：因为不能推出，且可以推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：A
考点解析
考点1：充分、必要条件判断
1．已知p：“”，q：“”，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】解出，即可得出答案.
【详解】解可得，或.
显然，若成立，推不出成立；若成立，则成立.
所以，p是q的必要不充分条件.
故选：D.
2．已知a，b都是自然数，则“是偶数”是“a，b都是偶数”的（ ）条件
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】举出特例，即可说明充分条件不成立，必要条件显然成立，即可得到答案.
【详解】令，，则是偶数，而都是奇数；
若a，b都是偶数，显然是偶数.
所以，“是偶数”是“a，b都是偶数”的必要而不充分条件.
故选：B.
3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断
【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；
即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件
故选：A
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不允分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别求解与，再根据充分性与必要性判断即可.
【详解】由“”解得，由“”解得，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】由求得或，然后即可得出答案.
【详解】由可得，解得或.
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
考点2：充分、必要条件探究
1．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】由，推不出，排除AB；
由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要条件，排除C；
，反之不成立，D正确；
故选：D．
2．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可．
【详解】若不等式的一个充分条件为，
则，所以，解得.
则实数的取值范围是.
故选：D.
3．使或}成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】B
【分析】根据充分不必要条件的定义和集合间的包含关系判断可得答案.
【详解】对于A，因为或或，故错误；
对于B，因为或 或，故正确；
对于C，因为或 或，故错误；
对于D，因为不是或的真子集，故错误.
故选：B.
4．的一个必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接由进行推导，能推出的即为应选项
【详解】因为，所以，所以是的一个必要条件，
若 不能得到，，
故选：A
5．已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.
【详解】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，
因为是的的充分条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，
因为，，，所以，
推不出，故是的充分不必要条件，②正确；
因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；
因为，，所以，又，
所以是的充要条件，命题④错误；
故选：B.
考点3：充要条件的证明
1．下列三个结论中所有正确结论的序号是（ ）
①若全集为，集合，则；
②空集是任何一个集合的真子集；
③已知集合与，则是的充要条件．
A．① B．③ C．①② D．①③
【答案】B
【分析】根据集合的运算、真子集的定义，充要条件的定义判断．
【详解】①或，①错；
②空集是它本身的子集，不是真子集，②错；
③，反之也有，③正确．
故选：B．
2．求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0.
【答案】证明见解析
【分析】充分性：根据q＜0，得出Δ＝p2－4q＞0，即充分性满足；必要性：利用两根之积即可证明.
【详解】证明 ①充分性：
因为q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0的Δ＝p2－4q＞0，
故方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根．
设方程的两根为x1，x2.
因为x1·x2＝q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根．
②必要性：
因为方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根，
设两根为x1，x2，所以x1·x2＜0.
因为x1·x2＝q，所以q＜0.
由①②，命题得证．
3．已知，是实数，求证：成立的充要条件是.
【答案】证明见解析
【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论．
【详解】解：先证明充分性：
若，则成立．
所以“”是“”成立的充分条件；
再证明必要性：
若，则，
即，
，
，
，
，
即成立．
所以“”是“”成立的必要条件.
综上：成立的充要条件是．
考点4：根据条件确定参数范围
1．已知集合，若“”是“”的必要条件，求实数的值.
【答案】或
【分析】解得，根据条件得到，讨论，，三种情况计算得到答案.
【详解】
“”是“”的必要条件，故
当时：；
当时：根据韦达定理：不成立；
当时：根据韦达定理：不成立.
当时，成立，，即.
综上所述：或
【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.
2．已知，．
(1)若q是p的必要非充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若，且p，q至少有一个成立，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解出集合A，由p，q的推断关系得集合A，B的关系，得a的取值范围.
（2）求出p，q都不成立时a的取值范围，其补集即为所求.
【详解】（1）设，，
因为q是p的必要非充分条件，所以A是B的真子集，则，
所以实数a的取值范围为．
（2）当时，，，
当p，q都不成立时，
或，且或同时成立，
解得或，
故p，q至少有一个成立时，x的取值范围为．
3．已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a．
(1)若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围；
(2)求证：a≥2是α β成立的充要条件．
【答案】(1){a|a＜2}
(2)证明见解析
【分析】（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，由α是β必要非充分条件，得到B是A的真子集，分类讨论，求出实数a的取值范围；
（2）分别证明充分性和必要性即可．
【详解】（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，
若α是β必要非充分条件，则B是A的真子集，
当B＝ 时，a＜1，此时满足B是A的真子集，符合题意，
当B≠ 时，若B是A的真子集，则，解得1≤a＜2，
综上所述实数a的取值范围为{a|a＜2}，
（2）证明：充分性（若a≥2，则α β）．
若a≥2，则{x|1≤x≤2} {x|1≤x≤a}，
所以命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，故充分性成立，
必要性（若α β，则a≥2）．
若命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，
则{x|1≤x≤2} {x|1≤x≤a}，所以a≥2，故必要性成立，
综上所述：a≥2是α β成立的充要条件．
4．已知，．
（1）当时，求中所对应的实数的取值范围；
（2）若是的充分必要条件，求，的值．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）将代入绝对值不等式，直接根据绝对值不等式的意义，进行求解；
（2）若是的充分必要条件，则则中不等式的解集相同，先解中的不等式，再对中不等式中参数进行分类讨论求解，从而得到关于的方程组，解方程即可得到答案.
【详解】（1）当时，，
所以实数的取值范围为.
（2），
若是的充分必要条件，则中不等式的解集相同.
因为，（1）
当时，不等式（1）无解，所以不成立；
当时，不等式（1），所以
当时，不等式（1），所以
综上所述：或
【点睛】本题考查绝对值不等式、一元二次不等式、充要条件的综合运用，考查分类讨论思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
课后练习
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】利用分式不等式的解法，结合必要非充分条件定义即可进行判断．
【详解】，由可得，
解得：或，
所以“”不能推出“”；
当时，可得：，
所以“”可以推出“”
“”是“”的必要非充分条件．
故选：B．
2．“”是“方程无实数解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的情况，由判别式即可得，由集合间的关系即可求解.
【详解】方程无实数解,则需满足，解得，
，由于，所以“”是“方程无实数解”的充分不必要条件，
故选：A
3．已知a为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先解绝对值不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，即或，解得或，
所以由“” 可以推出“”，故充分性成立，
由“”不能推出“”，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．不等式“在上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以等价于二次方程的判别式，即.
所以A选项, 是充分不必要条件，A正确；
B选项中，不可推导出，B不正确；
C选项中，不可推导出，故C不正确；
D选项中，不可推导出，故D不正确.
故选：A.
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先解分式不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，得或；由，得，
则“”是“”的必要不充分条件．
故选：C
6．下列命题中真命题有（ ）
①是一元二次方程；
②函数的图象与x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】对于①，举反例即可判断；对于②，令，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断.
【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误；
②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确；
③中，互相包含的两个集合相等，③正确；
④中，空集不是本身的真子集，④错误．
故选：B
7．以下选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A．p：，q：
B．p：，q：
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：，q：关于x的方程有唯一解
【答案】D
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】对于A，，，所以p推不出q，q推不出p，
所以p是q既不充分也不必要条件；
对于B，；当时，满足，但q推不出p，
故p是q的充分不必要条件；
对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；
反之，若“四边形是正方形”成立推出“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要不充分条件；
对于D，若，则关于x的方程有唯一解；若关于x的方程有唯一解，则，
所以，故p是q的充分必要条件.
故选：D.
8．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可.
【详解】由题意得，
所以，且等号不能同时成立，解得.
故选：D.
二、填空题
9．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的 条件.
【答案】必要不充分
【分析】利用充分条件，必要条件的概念即可得解.
【详解】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲乙，乙推不出甲；
因为丙是乙的充要条件，即乙 丙；
因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙丁，丁推不出丙.
故甲丁，丁推不出甲，即丁是甲的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
三、解答题
10．集合，.
(1)当时，求；
(2)从下面条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m的取值范围
条件①：是的充分条件；
条件②：；
条件③：.
注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据并集的定义求解；
（2）根据相关的定义求解.
【详解】（1）当时， ，
则；
（2）若选①，则有，即；
若选②，则有；
若选③，则有.
11．已知全集，集合，.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；
（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可
【详解】（1）当时，集合，
因为，所以.
所以，
（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，因此.
12．已知集合，
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围．
请从①且；②“”是“”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求两个集合，再求交集；
（2）若选择①，则，再分集合和，两种情况，列式求解；
若选择②，则，列式求的取值范围.
【详解】（1）当时，， 所以
（2）若选择条件①，由且得：，
当时，，即；
当时，，即
或，即或， 所以或，
综上所述：的取值范围为：或．
若选择条件②，由“”是“”的必要条件得：，
即，所以．
