1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 自学案（含答案）

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系自学案
学习目标
能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量于平面的法向量；
能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直于平行关系；
能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。
掌握用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”。
了解向量法、综合法与坐标法的特点，能够根据具体问题的特点选择合适的方法。
体会几何直观与代数运算之间的融合，通过数与形的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解，发展直观想象、数学运算的核心素养。
梳理概念
空间中点、直线和平面的向量表示
①空间中点P的向量表示：首先选取______点O，则向量______为点P的位置向量。
②空间中直线的向量表示：就是利用直线____上的一_____点_____和直线_____的__________表示直线_____上的_________点。如图，是直线的方向向量，在直线上取，设P是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线上的充要条件是存在实数t，使得_____________，即_________。取定空间中的任意一点O，则点P在直线上的充要条件是存在实数t，使_________或___________，这两个式子都称为_______________。简记为：空间任意直线由_____________及____________唯一确定。
③空间中平面的向量表示：就是利用平面内两条相交直线的_____点和它们的________向量表示平面内_________点。如图，设两条直线相交于点A，它们的方向向量分别为，P为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得____________。取定空间中任意一点O，则点P在平面内的充要条件是存在实数，使________________或____________，这两个式子都称为_____________________。简记为：空间中任意平面由________及__________________唯一确定。
④法向量：特别地，给定空间一点A和一条直线，则过点A且_______直线的平面是唯一确定的。如图，直线，取直线的方向向量，我们称向量_____为平面的__________。此时平面的集合表示法为___________.
问：（1） 直线的方向向量和平面的法向量是否唯一？
如何求平面的法向量？
空间中直线、平面的平行和垂直
（1）平行：
①线线平行：设分别为直线的方向向量，则
；
②线面平行：设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则
；
③面面平行：设分别为平面的法向量，则
（2）垂直
线线垂直：设分别为直线的方向向量，则
线面垂直：设是直线的方向向量，是平面的法向量，则
；
面面垂直：设分别为平面的法向量，则
问：（1）点A,B在平面上，且，能否判定直线CD与平面平行？
（2）直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量都垂直，那么与垂直吗？
若为平面的法向量所在的直线，且的方向向量分别为，则与有什么关系？
自我检测
（多选题）下列利用方向向量、法向量判断线与面位置关系的结论中正确的是（ ）
两条不重合的直线的方向向量分别是，则
两个不同的平面的法向量分别为，则
若直线的方向向量为，平面的法向量为则
若直线的方向向量为，平面的法向量为则
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E,F分别为A1C1和BC的中点，求证：（1）平面ABE⊥平面B1BCC1;（2）C1F//平面ABC.
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=AB=BC=2.（1）求证：BC1⊥平面A1B1C.（2）点M在线段B1C上，且，在线段A1B上是否存在一点N，满足MN//平面A1ACC1 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
自我检测答案
AB
由题意知两两互相垂直，以B为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示
设，则B(0,0,0),A(0,b,0),C1(a,0,c),
,
，设平面ABE的法向量为，则，得，令，则，
易知平面平面B1BCC1的一个法向量为，
，所以平面ABE⊥平面B1BCC1
，由（1）知平面ABE的法向量为，，且平面ABC，所以C1F//平面ABC.
（1）证明：由题意得BC1⊥B1C，BB1⊥A1B1，A1B1⊥B1C1，
因为BB1,B1C1平面BCC1B1，BB1B1C1=B1,所以A1B1⊥平面BCC1B1,
因为BC1平面BCC1B1，A1B1⊥BC1，
因为A1B1，B1C平面A1B1C，A1B1BC1=B1，所以BC1⊥平面A1B1C.
（2）存在，以B为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示，则A(0,2,0),C(2,0,0),C1(2,0,2),B(0,0,0)
,A1(0,2,2),,所以
设平面A1ACC1的法向量为，则，取x=1，则y=1,z=0所以，设，，则，即，所以，所以，所以.
因为MN//平面A1ACC1，所以，解得，所以存在线段A1B上一点N，满足MN//平面A1ACC1，且。