1.2 空间向量基本定理——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时分层练（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.2 空间向量基本定理——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时分层练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 391.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-27 08:03:56 | ||
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文档简介
1.2 空间向量基本定理
——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）
选择性必修第一册课时分层练
【夯实基础】
知识点1 空间向量基本定理
1.如图，在平行六面体中，与的交点为M.设，，，则下列向量中与相等的是( ).
A. B. C. D.
2.在平行六面体中，，则的值为( ).
A. B.1 C. D.
3.在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，M，N分别为PC，PD上的点，，，若，则____________.
知识点2 基底和基向量
5.设向量是空间的一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一组基底的向量是( )
A.a B.b C.c D.a或b
6.设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
8.已知为空间的一组基底，若，，，且，则，，的值分别为( )
A.，， B.，1， C.，1， D.，1，
【提升能力】
9.设p：a，b，c是三个非零向量，q：是空间的一个基底，则p是q的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点中任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为( ).
A.-1 B.-2 C.-3 D.2
11.已知G是的重心，O是空间中的一点，满足，，则( ).
A. B. C. D.
12.如图所示，在平行六面体中，设，，，N是BC的中点，用a，b，c表示为( )
A. B. C. D.
13.（多选）设a，b，c是空间的一个基底，( ).
A.若，，则
B.则a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面
C.对空间任一向量p，总存在有序实数组，使
D.则，，一定能构成空间的一个基底
14.（多选）给出下列命题，其中正确的有( )
A.空间任意三个向量都可以作为一个基底
B.已知向量，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.A，B，M，N是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
D.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
15.若是空间的一个基底，，则___________.
16.如图，在三棱柱中，M为的重心，若，，，则___________.
【综合素养】
17.在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当AM，BN均最短时，( )
A. B. C. D.
18.如图，在长方体中，，，，且，，.
(1)用a，b，c表示，；
(2)求异面直线和所成角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：.
2.答案：C
解析：因为，所以，，，，.
3.答案：C
解析：根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，
由此可得A，B，D不正确，
选项C：，所以M，A，B，C四点共面，
故选：C.
4.答案：
解析：因为
，
所以.
5.答案：C
解析：因为是空间的一组基底，所以向量a，b，c不共面，而向量，与a或b共面.故排除选项A，B，D.故选C.
6.答案：C
解析：结合长方体，如图，可知向量a，b，x共面，x，y，z不共面，b，c，z不共面，x，y，也不共面，故选C.
7.答案：D
解析：只有与，不共面，故可以与，构成空间的一组基底.
8.答案：A
解析：由题意，知
.又，所以，解得.
9.答案：B
解析：空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若a，b，c是三个共面的非零向量，则不能作为空间的一个基底；但若为空间的一个基底，则a，b，c不共面，所以a，b，c是三个非零向量，所以p是q的必要不充分条件，故选B.
10.答案：B
解析：，由得.
11.答案：C
解析：，
，
所以.
12.答案：A
解析：是BC的中点，
.故选A.
13.答案：BCD
解析：在A中，若，，则a与c相交或平行，故A错误；
在B中，a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面，故B正确；
在C中，对空间任一向量p，总存在有序实数组，使，故C正确；
在D中，，，一定能构成空间的一个基底，故D正确.
14.答案：BCD
解析：选项A中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，故A错误.选项B中，根据基底的概念，知B正确.选项C中，由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面.又，，均过点B，所以A，B，M，N四点共面，故C正确.
选项D中，已知是空间的一个基底，则基向量a，b可以与向量构成空间的另一个基底，故D正确.故选BCD.
15.答案：0
解析：.
16.答案：
解析：
.
17.答案：A
解析：由共面向量定理和共线向量基本定理可知，平面BCD，直线AC，
当AM，BN均最短时，平面BCD， ，
此时M为的中心，N为AC的中点，连接MC，则.
平面BCD，平面BCD，，.又，.
故选A.
18.答案：(1)，
(2)
解析：(1)，
.
(2)因为，
，，，
所以，
，，
，
所以异面直线和所成角的余弦值为.
——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）
选择性必修第一册课时分层练
【夯实基础】
知识点1 空间向量基本定理
1.如图，在平行六面体中，与的交点为M.设，，，则下列向量中与相等的是( ).
A. B. C. D.
2.在平行六面体中，，则的值为( ).
A. B.1 C. D.
3.在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，M，N分别为PC，PD上的点，，，若，则____________.
知识点2 基底和基向量
5.设向量是空间的一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一组基底的向量是( )
A.a B.b C.c D.a或b
6.设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
8.已知为空间的一组基底，若，，，且，则，，的值分别为( )
A.，， B.，1， C.，1， D.，1，
【提升能力】
9.设p：a，b，c是三个非零向量，q：是空间的一个基底，则p是q的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点中任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为( ).
A.-1 B.-2 C.-3 D.2
11.已知G是的重心，O是空间中的一点，满足，，则( ).
A. B. C. D.
12.如图所示，在平行六面体中，设，，，N是BC的中点，用a，b，c表示为( )
A. B. C. D.
13.（多选）设a，b，c是空间的一个基底，( ).
A.若，，则
B.则a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面
C.对空间任一向量p，总存在有序实数组，使
D.则，，一定能构成空间的一个基底
14.（多选）给出下列命题，其中正确的有( )
A.空间任意三个向量都可以作为一个基底
B.已知向量，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.A，B，M，N是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
D.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
15.若是空间的一个基底，，则___________.
16.如图，在三棱柱中，M为的重心，若，，，则___________.
【综合素养】
17.在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当AM，BN均最短时，( )
A. B. C. D.
18.如图，在长方体中，，，，且，，.
(1)用a，b，c表示，；
(2)求异面直线和所成角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：.
2.答案：C
解析：因为，所以，，，，.
3.答案：C
解析：根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，
由此可得A，B，D不正确，
选项C：，所以M，A，B，C四点共面，
故选：C.
4.答案：
解析：因为
，
所以.
5.答案：C
解析：因为是空间的一组基底，所以向量a，b，c不共面，而向量，与a或b共面.故排除选项A，B，D.故选C.
6.答案：C
解析：结合长方体，如图，可知向量a，b，x共面，x，y，z不共面，b，c，z不共面，x，y，也不共面，故选C.
7.答案：D
解析：只有与，不共面，故可以与，构成空间的一组基底.
8.答案：A
解析：由题意，知
.又，所以，解得.
9.答案：B
解析：空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若a，b，c是三个共面的非零向量，则不能作为空间的一个基底；但若为空间的一个基底，则a，b，c不共面，所以a，b，c是三个非零向量，所以p是q的必要不充分条件，故选B.
10.答案：B
解析：，由得.
11.答案：C
解析：，
，
所以.
12.答案：A
解析：是BC的中点，
.故选A.
13.答案：BCD
解析：在A中，若，，则a与c相交或平行，故A错误；
在B中，a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面，故B正确；
在C中，对空间任一向量p，总存在有序实数组，使，故C正确；
在D中，，，一定能构成空间的一个基底，故D正确.
14.答案：BCD
解析：选项A中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，故A错误.选项B中，根据基底的概念，知B正确.选项C中，由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面.又，，均过点B，所以A，B，M，N四点共面，故C正确.
选项D中，已知是空间的一个基底，则基向量a，b可以与向量构成空间的另一个基底，故D正确.故选BCD.
15.答案：0
解析：.
16.答案：
解析：
.
17.答案：A
解析：由共面向量定理和共线向量基本定理可知，平面BCD，直线AC，
当AM，BN均最短时，平面BCD， ，
此时M为的中心，N为AC的中点，连接MC，则.
平面BCD，平面BCD，，.又，.
故选A.
18.答案：(1)，
(2)
解析：(1)，
.
(2)因为，
，，，
所以，
，，
，
所以异面直线和所成角的余弦值为.