12.3角平分线的性质 课件（26张PPT）

(共26张PPT)
第12.3角平分线的性质
人教版数学八年级上册
1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.
2.探究并证明角平分线的性质.
3.会用角平分线的性质解决实际问题.
学习目标
如图，是一个角平分仪，其中 AB=AD，BC=DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗
证明：在△ACD和△ACB中，
AD=AB（已知），
DC=BC（已知） ，
CA=CA（公共边），
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）.
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）.
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）.
情境引入
从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
A
B
O
互动新授
A
B
O
M
N
C
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，交OA于点N，交OB于点M.
（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
你能证明OC是∠AOB的角平分线吗？
互动新授
证明：∵在 中
∴
∴∠MOC=∠NOC
即OC是∠AOB的角平分线
A
B
O
M
N
C
互动新授
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
经过测量发现，PD=PE，在OC上再取几个点，都能得到同样的结论.
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
互动新授
通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE.
互动新授
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO＝∠PEO＝ 90°.
在△PDO 和△PEO 中，
∠PDO＝∠PEO，
∠AOC＝∠BOC，
OP＝OP，
∴△PDO ≌ △PEO(AAS).
∴PD＝PE.
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE.
互动新授
符号语言表示：
角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等).
互动新授
由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
互动新授
S
思考
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）
互动新授
B
A
S
C
D
M
N
解：在Rt△ABC与Rt△ABD中：
∴ Rt△ABC ≌ Rt△ABD（HL）．
AB=AB
BC=BD
∴∠CAB=∠DAB
即点B在∠CAD的角平分线上
角的平分线的判定:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
你能得出什么结论呢？
互动新授
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD⊥AB交于点D，PE⊥BC交于点E，PF⊥AC交于点F.
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴ PD=PE（角平分线上的点到角两边的
距离相等）
同理：PE=PF
∴ PD=PE=PF
∴点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
A
B
C
P
D
E
F
M
N
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
典例精析
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
A
C
P
D
E
F
M
N
∵ PD⊥AB，PF⊥AC，PD=PF
∴ P在∠A的平分线上
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
典例精析
小试牛刀
1.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时,点P在∠AOB的平分线上.
2.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°,则∠PCA=______.
6
55°
1．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D， CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=________.
O
C
A
B
E
D
30°
课堂检测
2.判断正误，并说明理由：
（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB ，则PE=PF.( )
（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E，F分别在OA，OB上，则PE=PF.( )
（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3 cm，则P到OB的距离为3 cm.( )
A
O
B
P
E
F
图2
C
A
O
B
P
E
F
图1
C
图3
A
O
B
P
E
C
×
×
√
课堂检测
3.如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
课堂检测
1.直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( )
A. 一处 B. 两处
C. 三处 D. 四处
D
分析: 由于没有限制在何处选址，故要求的地址共有四处.
拓展训练
拓展训练
2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
D
B
C
E
A
D
F
3.如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上 BD=DF.求证：CF=EB.
证明：∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝ 90°（已知），
∴CD＝DE (角的平分线的性质).
在Rt △CDF 和 Rt△EDB 中，
CD=DE （已证），DF=DB（已知），
∴ Rt△CDF ≌ Rt△EDB(HL).
∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）.
拓展训练
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
三角形的角平分线
尺规作图
性质定理
判定定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
课堂小结
1.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
课后作业
证明：过点E作EF⊥AD于点F，
∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥EC，EB⊥AB.
∵DE平分∠ADC，
∴EC=EF.
∵E是BC的中点，
∴EC=EB.
∵EF⊥AD，EB⊥AB，
∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线.
2.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的平分线.
A
B
C
E
D
┌
┌
F
┌
课后作业
谢谢聆听