第一章 有理数 单元复习课件（60张PPT）

(共60张PPT)
第1章 有理数
单元小结
第一单元
01
03
04
02
05
举一反三
知识梳理
易错考点
高频考点
章节框图
4.用正、负数表示具有相反意义的量.
一、正数和负数
1.像1，2，3，1.8％这样大于0的数叫做正数.
2.像-3，-1，-2，-2.7％这样在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数.
3.0既不是正数，也不是负数.
5.具有相反意义的量应满足的条件：
①必须是同类量，而且是成对出现的；②只要求意义相反，不要求数量一定相等.
二、有理数的分类
注意： ①分类的标准不同，结果也不同；②分类的结果应无遗漏、无重复；③零是整数，但零既不是正数，也不是负数.
三、数轴
3.数轴的三要素
1.规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
2.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
数轴的画法：
1.画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0.
0
2.规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向.
3.选择适当的长度为单位长度.(单位长度要一致)

0
0
1
2
3
-1
-2
-3


三、数轴
(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；
(2)直线一般画水平的；
(3)正方向用箭头表示，一般取从左到右；
(4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.
画数轴注意事项：
三、数轴
位置特征：1.分居原点左右；2.到原点距离相等.
a的相反数是-a; 0的相反数是0
2
5
2
5
像2和-2,5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
一般地，设a是一个正数，数轴上与原点距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a和a. 我们说这两点关于原点对称.
四、相反数
五、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，用“|a|”表示.
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 即
(1)如果 a＞0，那么|a|=___；
(2)如果 a=0，那么|a|=___；
(3)如果 a＜0，那么|a|=___.
a
-a
0
|a|≥0
2.绝对值的性质及应用
六、有理数大小的比较
有理数大小的比较方法2---数的相对大小比较法
一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数;两个负数，绝对值大的反而小.
有理数大小的比较方法1---数轴比较法
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.
七、有理数的运算
有理数加法运算的基本解题思路：
1.先判断类型（同号、异号等）；2.再确定和的符号；3.最后进行绝对值的加减运算.
七、有理数的运算
(a+b)+c=a+(b+c)
a+b=b+a
1.加法交换律：在有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变.
2.加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
用字母表示为：
用字母表示为：
七、有理数的运算
有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的相反数，这样就可以用加法来解决减法问题.
七、有理数的运算
1.有理数乘法法则:
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.
2.几个不是零的数相乘，负因数的个数为
奇数时积为负数
偶数时积为正数
3.几个数相乘若有因数为零则积为零.
4.有理数乘法的求解步骤：
有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值.
5.乘积是1的两个数互为倒数.
七、有理数的运算
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
1.有理数除法法则:
2.有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算.
3.乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算）
七、有理数的运算
3.乘方的符号法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）零的正整数次幂都是零.
这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
2.组成要素
1.乘方的定义
七、有理数的运算
(1)看清运算，定运算顺序;
(2)根据特点，巧用运算律;
(3)选对法则，耐心计算.
2.有理数的加减乘除混合运算三步走:
【运算顺序】1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
1.有理数的混合运算
我们可以把大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数(即1≤a＜10)， n是正整数.这种记数方法叫做科学记数法.
1．用科学记数法表示较大的数应注意以下两点：
1≤＜10
当大数是大于10的整数时，n为整数位减去1.
2．灵活运用科学记数法，注意解题技巧，总结解题规律.
八、科学记数法
九、近似数
1.近似数：
(1)我们得不到与实际完全相符的数，而是通过测量、估算得到的数都是近似数.例如，姚明的身高是2.26米.
(2)有时我们为了叙述、书写方便，通过四舍五入得到的数也是近似数.例如，2022年全国高考报名人数1193万人.
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.
2.精确度：
高频考点一
有理数的有关概念与分类
例1.我国是最早使用负数的国家.在我国著名的数学专著《九章算术》中，明确提出了“正负术”.如果盈利20元记作“+20元”，那么亏损30元记作( )
A.-30元 B.30元 C.50元 D.-50元
解析:“盈利与亏损”是具有相反意义的量,依题意知“盈利”记作“+”,则“亏损”应记作“-”，故亏损30元记作“-30元”.
A
【1-1】如果+10%表示增加10%，那么-5%表示__________.
【1-2】规定上午10时记为0，10时以前记为负，10时以后记为正，如果上午11时记为+1，那么上午7时应记为______.
【1-3】在体育课的跳远比赛中，以2.00m为标准，若小东跳出了1.85m，记作-0.15m，那么小明跳了2.23m，可记作_______m；小红跳了2.00m，可记作_____m.
减少5%
-3
+0.23
0
例2.把下列各数分别填入相应的大括号里:
-6，0，1.32，25%，2000，-1，，- ，-.
正数集合：{ }；
负整数集合：{ }；
正分数集合：{ }；
负有理数集合：{ }；
非负整数集合：{ }.
1.32，25%，2000，，…
1.32，25%，，…
-6，-1，…
-6，-1，-0.，-，…
0，2000，…
【2-1】下列说法中正确的有（ ）
①整数就是正整数和负整数;②0是整数,但不是自然数;③分数包括正分数、负分数;④正数和负数统称为有理数;⑤一个有理数，它不是整数就是分数.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
【2-2】把下列各数填在相应的大括号里:
99，1，-1，-2025，-7，0.5，，-，-0.75，0，20%.
整数集合：{ }；
正分数集合：{ }；
负有理数集合：{ }；
非负整数集合：{ }；
非正整数集合：{ }.
0.5，，，…
99，1，-1，-2025,0，…
-1，-2025，-7，-，-0.75，…
99，1，0，…
-1，-2025，0，…
【2-3】将下列各数填入它属于的集合的圈内:
201，-18%，-0.618，，-9，-，0，3.8，-72.
-9
0
-72
-18%
-0.618
-
3.8
高频考点二
数轴、相反数、绝对值与倒数
例3.(1)计算|-3|的结果是( )
A.3 B. C.-3 D.±3
(2)的倒数是( )
A. B. C.- D.
(3)下列各组数中，互为相反数的是( )
A.-32与-23 B.-(-5)与|-5| C.-24与(-2)4 D.-33与(-3)3
A
A
C
【3-1】-1的相反数是_____，倒数是_____，绝对值是_____.
【3-2】若m+1与-2互为相反数，则m的值为______.
【3-3】|a|=6，|b|=7，且ab＞0，则a-b的值为________;已知|m+3|+(2-n)2= 0，则mn的值为_______.
1
-
1
1
1或-1
9
高频考点三
有理数的大小比较
例4.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是( )
A.a＞b B.|a|＞|b| C.-a＞b D.a＞-b
【4-1】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A.a＞b B.|a|＜|b| C.a＞-b D.-a＞b
D
【4-2】a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，-a，b，-b按照从小到大的顺序排列为( )
A.-b＜-a＜a＜b B.-a＜-b＜a＜b
C.-b＜a＜-a＜b D.-b＜b＜-a＜a
C
【4-3】如果 ，试比较 的大小．
解：因为
所以
因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ．
0
a
b
-b
-a
例5.比较下列各对数的大小:
(1)3和|-2|； (2)-|-2.7|和-(-3.3)； (3)-和-； (4)-和-1.5.
解: (1)|-|=，因为＞，所以3＞|-2|.
(2)-=，=3.3，
因为-2.7＜3.3，所以-|-2.7|＜-(-3.3).
(3)|-|= = ，|-|= = ，
因为＞，即|-|＞|-|，所以-＜-.
例5.比较下列各对数的大小:
(1)3和|-2|； (2)-|-2.7|和-(-3.3)； (3)-和-； (4)-和-1.5.
解: (4)|-|= =，|-|=，
因为＜，即|-|＜|-|，所以-＞-.
例5.比较大小(填“＞”“＜”或“=”)
①1 ____ -7；
②-3.4 ____ -3.5；
③- ____ -；
④-|-7|____-(+5.3).
＞
＞
＞
＜
【5-1】下列各数中，比-2小的数是( )
A.0 B.-1 C.-3 D.3
【5-2】某年我国人均水资源相比，上年的增幅是-5.6%，后续三年各年相比上年的增幅分别是-4.0%，13.0%，-9.6%，这些增幅中最小的是( )
A.-5.6% B.-4.0% C.13.0% D.-9.6%
【5-3】比较大小(填“＞”“＜”或“=”)
①1 ____ -7； ②-3.4 ____ -3.5；
③- ____ -； ④-|-7|____-(+5.3).
C
D
＞
＞
＞
＜
高频考点四
有理数的运算
例6.计算:
(1)-43÷×(-)2-(1-32)×2; (2)-14-(2-1)××[5+(-2)3];
(3)-24÷[1-(-3)2]+(-)×(-15); (4)-32-|(-5)3|×(-)2-18+|-(-3)2|.
解:(1)原式=-64××+8×2
=-64+16
=-48;
(2)原式=-1-××(5-8)
=-1-××(-3)
=-1+
=-;
例6.计算:
(1)-43÷×(-)2-(1-32)×2; (2)-14-(2-1)××[5+(-2)3];
(3)-24÷[1-(-3)2]+(-)×(-15); (4)-32-|(-5)3|×(-)2-18+|-(-3)2|.
(3)原式=-16+(1-9)+(-×15+×15) =-16÷(-8)+(-10+9)
=2-1
=1;
(4)原式=-9-125×-18÷9
=-9-20-2
=-31.
计算:(1)-(-2)2+22-(-1)9×(-)+-8; (2)1×[3×(-)2-1]-÷(-4)2;
(3)(-)×24+÷(-)3+|-22|; (4)|-|×(-)÷(-)2-()2;
(5)-23÷[2×(-1)2]×(-0.25)2; (6)|-1+|÷(-+)-32×(-)3.
解:(1)原式=-4+4+1×(-)-8
=-8;
(2)原式=×(3×-1)-÷16
=×-
=;
(3)原式=24-×24+×(-8)+22
=15-16-2+22
=19;
计算:(1)-(-2)2+22-(-1)9×(-)+-8; (2)1×[3×(-)2-1]-÷(-4)2;
(3)(-)×24+÷(-)3+|-22|; (4)|-|×(-)÷(-)2-()2;
(5)-23÷[2×(-1)2]×(-0.25)2; (6)|-1+|÷(-+)-32×(-)3.
(4)原式=÷-
=×-
=;
(5)原式=-8÷(×)×
=-8××
=-;
计算:(1)-(-2)2+22-(-1)9×(-)+-8; (2)1×[3×(-)2-1]-÷(-4)2;
(3)(-)×24+÷(-)3+|-22|; (4)|-|×(-)÷(-)2-()2;
(5)-23÷[2×(-1)2]×(-0.25)2; (6)|-1+|÷(-+)-32×(-)3.
(6)原式=-32×(-)
=-1+
=12.
高频考点五
有理数运算的实际应用
例7.刘某蛋糕店在某一时段的销售情况如下,请分别完成下列问题:
(1)该蛋糕店在某一周的销售中，盈亏情况如表(盈余为正,亏损为负，单位:元).
表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数，并说明星期五是盈还是亏 盈亏是多少
(2)该蛋糕店去年1~3月平均每月盈利2万元，4~6月平均每月亏损1万元，7~8月平均每月亏损2万元，9~12月平均每月盈利4万元，则该蛋糕店去年总的盈亏情况如何
(1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数，并说明星期五是盈还是亏 盈亏是多少
(2)该蛋糕店去年1~3月平均每月盈利2万元，4~6月平均每月亏损1万元，7~8月平均每月亏损2万元，9~12月平均每月盈利4万元，则该蛋糕店去年总的盈亏情况如何
解:(1)根据表格可得,
4580-(-228)-(-753)-420-(-120)-2000-1880=1381(元).
因为1381是正数，所以星期五是盈利，盈利1381元.
(2)记盈利为正，亏损为负，则
2×3+(-1)×3+(-2)×2+4×4=15(万元).
因为15是正数，所以该蛋糕店去年总共盈利15万元.
【7-1】某旅游景点在某天13:00的气温是5℃，此后气温持续下降，某时刻测得气温已经下降到-1℃.如果平均每4h气温下降3℃,那么此刻的时间是几点
解:气温从5℃下降到-1℃所用的时间为
[5-(-1)]÷=6×=8(h).
因为13+8=21，
所以气温下降到-1℃的时间是21:00.
【7-2】某超市去年由于受物价上涨的影响，第一季度平均每月亏损1.2万元，第二季度在全体员工的努力下，平均每月盈利2.5万元，第三季度平均每月盈利2.1万元，第四季度平均每月亏损0.9万元.试通过计算说明这个超市去年总的盈亏情况.
解:记盈利为正，亏损为负，依题意得
(-1.2)×3+2.5×3+2.1×3+(-0.9)×3
=(-1.2+2.5+2.1-0.9)×3
=7.5(万元).
答:这个超市去年盈利7.5万元.
【7-3】在某次抗险救灾中，消防官兵的冲锋舟沿东西方向的河流营救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下(单位:km):+15，-10，+9，-8，+14，-7，+11，-6.
(1)通过计算说明B地在A地的什么方向，与A地相距多远
(2)救灾过程中，最远处离出发点A_____km;
(3)若冲锋舟每千米耗油0.6L，油箱原有油量为40L，则途中还需补充多少升油
解:(1)15-10+9-8+14-7+11-6=18(km)，
即B地在A地的东边18km处.
(3)这一天航行的总路程为|+15|+|-10|+|+9|+|-8|+|+14|+|-7|+|+11|+|-6|
=80(km)，耗油量为80×0.6=48(L)，所以还需补充的油量为48-40=8(L).
答:途中还需补充8L油.
(1)通过计算说明B地在A地的什么方向，与A地相距多远
(2)救灾过程中，最远处离出发点A_____km;
(3)若冲锋舟每千米耗油0.6L，油箱原有油量为40L，则途中还需补充多少升油
24
高频考点六
有理数的有关概念与分类
例8.据相关研究，经过40min完全黑暗后，人眼对光的敏感性达到最高点，比黑暗前增加25000倍，将数据25000用科学记数法表示为( )
A.25×103 B.2.5×104
C.0.25×105 D.0.25×106
B
【8-1】原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1s.数据1700000用科学记数法表示为______________.
【8-2】据统计，地球上的海洋面积约为361000000km2,该数用科学记数法表示为3.61×10n，则n的值为_____.
【8-3】根据国家统计局开展的“带动三亿人参与冰雪运动”调查报告数据显示，全国冰雪运动参与人数达到3.46亿人，成功实现了“三亿人参与冰雪运动”的宏伟目标.数3.46亿用科学记数法表示为_____________.
1.7×106
8
3.46×108
例9.(1)用四舍五入法将3.14159精确到千分位的结果是( )
A.3.1 B.3.14 C.3.142 D.3.141
(2)近似数3.70所表示的准确数a的取值范围是_________________.
C
3.695≤a＜3.705
【9-1】用四舍五入法对0.06045取近似值,错误的是( )
A.0.1(精确到0.1) B.0.06(精确到百分位)
C.0.061(精确到千分位) D.0.0605(精确到0.0001)
【9-2】已知a≈3.50是由四舍五入法得到的近似数,则a的取值范围是( )
A.3.45≤a＜3.55 B.3.495≤a＜3.505
C.3.495≤a≤3.505 D.3.495＜a＜3.505
【9-3】某种鲸鱼的质量约为1.36×105kg,关于这个近似数，下列说法正确的是( )
A.它精确到百位 B.它精确到0.01
C.它精确到千分位 D.它精确到千位
D
B
C
易错点一
对有理数的相关概念理解有误而出错
例1.下列说法正确的是( )
A.正数和负数统称为有理数
B.符号不同的两个数互为相反数
C.绝对值等于本身的数只有正数
D.互为倒数的两个数的乘积等于1
D
易错点二
有理数的运算中常见的错误
类型1：运算顺序不正确而出错
例2.计算:(-9)÷(-)×3-3.
正解:
原式=(-9)×(-3)×3-3
=81-3
=78.
易错点二
有理数的运算中常见的错误
类型2：运用分配律时漏乘某项出错
例3.计算:(--+1)×(-12).
正解:
原式=×(-12)+(-)×(-12)+(-)×(-12)+1×(-12)
=-4+2+1-12
=-13.
易错点二
有理数的运算中常见的错误
类型3：拆项造成的符号错误
例4.计算:-19×5.
正解:
原式=(-20+)×5
=-100+
=-99.
易错点二
有理数的运算中常见的错误
类型4：乘方中对不同位置的负号的含义理解错误
例5.计算:-14-×[2-(-3)2].
正解:
原式=-1-×(2-9)
=-1-×(-7)
=.
易错点三
常见的漏解错误
类型1：数的正负性不确定而漏解
例6.已知|a|=12，|b|=7，则a+b=_______________.
正解:
因为|a|=12，所以a=12或a=-12.
因为|b|=7，所以b=7或b=-7.
当a=12，b=7时,a+b=19；当a=-12，b=-7时，a+b=-19；
当a=12，b=-7时，a+b=5；当a=-12，b=7时，a+b=-5.
故答案为19或-19或5或-5.
19或-19或5或-5
易错点三
常见的漏解错误
类型2：数轴上点的位置不确定而漏解
例7.在数轴上与表示-3的点相距10个单位长度的点表示的数是________.
正解:
当该点在表示-3的点的右侧时，-3+10=7；
当该点在表示-3的点的左侧时，-3-10=-13.
故答案为7或-13.
7或-13
易错点四
建立有理数运算模型解决实际问题时理解题意出错
例8.股民王先生上周五买进某公司股票1000股，每股18元，本周内每个交易日结束时该股票的涨跌情况如表(正数表示价格上涨，负数表示价格下跌，单位:元) :
(1)周三结束时，该股票每股多少元
(2)对比本周内每个交易日结束时的每股股价，其中最高价和最低价分别是多少元
解:(1)根据题意得18+3+2.5-4=19.5(元).
故周三结束时,该股票每股19.5元.
(2)根据表格得周一每股价格为18+3=21(元)，
周二每股价格为21+2.5=23.5(元)，
周三每股价格为23.5-4=19.5(元)，
周四每股价格为19.5+2=21.5(元)，
周五每股价格为21.5-1.5=20(元).
则其中的最高价是每股23.5元,最低价是每股19.5元.