2022-2023学年辽宁省沈阳市联合体高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省沈阳市联合体高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知函数，若，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3. 如图，直线是函数的图象在点处的切线，则( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知随机变量，若，，则( )
A. B. C. D.
5. 已知函数满足性质：在定义域上有；，，恒有，则函数可能为( )
A. B. C. D.
6. 设等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，的值为( )
A. B. C. D.
7. 下列说法正确的是( )
A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件
B. 若不等式的解集为，则
C. 若，则
D. 函数的最小值是
8. 设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式其中为自然对数的底数的解集是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 已知，函数，若满足关于的方程，则下列命题为真命题的有( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11. 若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，若函数和之间存在“隔离直线”，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
12. 将个数排成行列的一个数阵，如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列其中已知，，记这个数的和为下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知某品种小麦的穗粒数服从正态分布，且，则该品种小凌的穗粒数超过粒的概率为______ ．
14. 方程的解集为______ ．
15. 某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中单位：是瓶子的半径，已知每出售的饮料，可获利分，且能制作的瓶子的最大半径为，当每瓶饮料的利润最大时，子的半径为______．
16. 已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列的前项和为，，且．
求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
18. 本小题分
玻璃杯整箱出售，共箱，每箱只假设各箱含有，，只残次品的概率分别为，和一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”求：
顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率；
在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率．
19. 本小题分
已知函数，其中为常数，函数是其导函数，且满足，．
求函数的解析式；
若函数在某点处的切线过点，求该切线的一般式方程．
20. 本小题分
已知等差数列的首项为，公差为数列满足．
求取得最小值时的值；
若，证明：．
21. 本小题分
旅游承载着人们对美好生活的向往随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代某旅游景区为吸引旅客，提供了，两条路线方案该景区为进一步了解旅客对这两条路线的选择情况和满意度评价“好”或“一般”，对名旅客的路线选择和评价进行了统计，如表：
路线 路线 合计
好 一般 好 一般
男
女
合计
根据以上数据，在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为对，两条路线的选择与性别有关吗？
某人计划到该景区旅游，预先在网上了解了对这两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价评价“好”或“一般”的可能性以前面统计的占比为参考，若评价为“好”的计分，评价为“一般”的计分，以期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条路线？请用计算说明理由．
附：，其中．
22. 本小题分
已知函数．
若，讨论函数的单调性和极值情况；
若，求证：当时，；
若，求证：当时，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
又集合，
所以．
故选：．
根据集合的补集的定义求解即可．
本题考查集合的补集的运算，考查学生计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：当时，，可得；
当时，由，可得得，
故或．
故选：．
由已知结合函数解析式对的范围进行分类讨论，结合已知等式可求．
本题主要考查了分段函数中，由函数值求解变量的值，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由图象可得：函数的图象在点处的切线是与轴交于，与轴交于，
则可知直线：，
，
．
故选：．
结合函数图象，可求出切线方程，根据点既在曲线上，也在切线上，即可求得，根据导数的几何意义，是切线的斜率，即可求出结果．
本题考查导数性质的基本应用，导数的几何意义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：随机变量，
，，
得，，
，，
．
故选：．
根据二项分布的期望和方差公式，结合二项分布的定义即可求解．
本题考查了二项分布与次独立重复试验的模型，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，得，
即函数是奇函数；
由，，恒有，
得，
即函数在上单调递增，
由此可得函数为奇函数，且在上单调递增，
选项：是正比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意；
选项：是奇函数．当时，，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，符合题意；
选项：是顶点在原点的二次函数，是偶函数，不符合题意；
选项：是反比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意．
故选：．
由可得函数为奇函数，且在上单调递增，再对照选项逐一判断即可．
本题考查了函数的单调性及奇偶性，也考查了初等函数的性质，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：等差数列的前项和为，
由题意可知，，则，即，
又，
所以，，
所以当时，取得最小值．
故选：．
根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：选项A，由得，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件，选项A错误；
选项B，由题意，关于的方程的根为和，
所以，选项B错误；
选项C，，，，，
所以，所以，选项C正确；
选项D，，
当且仅当时等号成立，此时无实数解，
所以无最小值，选项D错误．
故选：．
由必要不充分条件的定义判断选项A；由一元二次不等式的性质以及韦达定理判断选项B；由不等式的性质以及作差法判断选项C；由基本不等式判断选项D．
本题考查命题真假的判断，考查不等式的应用，考查简易逻辑，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，
，即，
，
在上单调递减，又，
不等式，
即，，
原不等式的解集为．
故选：．
设，由已知结合导数可得函数的单调性，由可得，则答案可求．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，构造函数是关键，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D正确．
故选：．
根据已知条件，结合导数的运算法则，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为满足关于的方程，所以，
因为的对称轴，
故函数在处取得最小值，
由选项，得在处取得最大值，选项为假命题；
由选项，得在处取得最小值，选项为真命题；
选项，当时，，选项为真命题；
选项，因为在处取得最小值，所以，是真命题．
故选：．
由已知结合二次函数取得最值的条件检验各选项即可判断．
本题主要考查了二次函数性质的综合应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：若函数和之间存在隔离直线，
则对任意的，，即，
所以，解得；
对任意的，，则，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以，
所以实数的取值为，
故选：．
由题意可得，结合选项，即可得答案．
本题属于新概念题，考查了一元二次函数的性质、基本不等式的应用及转化思想，属于中档题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了归纳推理，考查了等差数列和等比数列的通项公式和前项和公式，是中档题．
根据等差数列和等比数列的通项公式可求出的值，再结合题目条件可以算出，再利用分组求和法求出．
【解答】
解：，，，解得或舍去，
，
，
故选：．

13.【答案】
【解析】解：某品种小麦的穗粒数服从正态分布，且，
故该品种小麦的穗粒数超过粒的概率．
故答案为：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
由可得或或，
故方程的解集为．
故答案为：．
先对已知方程变形，然后结合二次方程的求法即可求解．
本题主要考查了二次方程根的求解，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设每瓶饮料获得的利润为，则，
，
令得，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，取得最大值，
故答案为：．
写出利润关于的函数，利用导函数求出利润的最大值，以及此时的值．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，
又因为为偶函数，所以，即有，
所以，等价于，
由可得，在中用替换，得，则得，
则，，
在中令，可得，所以，
在中令，得，
又，所以，
再由，知，
所以．
故答案为：．
由抽象函数变形为和，再利用奇数项和偶数项的关系求和．
本题考查了抽象函数的奇偶性、对称性，难点是由已知条件得出和，属于中档题．
17.【答案】解：由题意，当时，，解得，
当时，由两边同时减去，
可得，
，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，
，．
由可得，
，
则
．
【解析】先根据题干已知条件并结合计算出的值，当时，由两边同时减去，进一步推导即可发现数列是首项为，公比为的等比数列，通过计算数列的通项公式即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再根据等差数列的求和公式即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，等比数列的通项公式的运用，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：由题意，事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”，
则，，，
且，，，
，
即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为；
，
在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是．
【解析】根据条件概率公式以及概率的乘法公式计算即可；
根据条件概率公式以及概率的乘法公式计算即可．
本题考查条件概率公式以及概率的乘法公式，考查组合数的计算，属于中档题．
19.【答案】解：由，得，
又，，，解得，
函数的解析式为；
，
点不在函数的图象上，即其不是切点，设切点为
由，得，即切线的斜率为．
又该切线过点，
，解得或．
当时，，此时切线方程为；
当时，，此时切线方程为，即．
综上所述，所求切线的一般式方程为或．
【解析】求出原函数的导函数，由已知列关于的方程组，求解的值，即可得到函数的解析式；
设切点为，由导数的几何意义及两点求斜率公式列关于的方程，求得的值，则切线方程可求．
本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：由，得，，，，
累加可得：，
所以，
由二次函数的性质可得，取最小值时，的值为；
证明：由可知，若，则，
所以
，
显然时，，
可得．
【解析】利用累加法结合等差数列的求和公式即得；
利用裂项求和法结合条件即得．
本题主要考查了累加法求数列的通项公式，考查了裂项相消法求和，属于中档题．
21.【答案】解：根据列联表数据计算，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为对，两条路线的选择与性别有关．
路线的好评率为，一般评率为．
路线的好评率为，一般评率为．
设路线和路线累计分数分别为，，
则，的可能取值都为，，，，
则，
，
，
，
所以．
，
，
，
，
所以．
因为，所以这个人会选择路线．
【解析】利用独立性检验求解即可；
、的可能取值为，，，，分别求出概率，求出期望即可．
本题考查了独立性检验以及离散型随机变量的期望在决策中的应用，属于中档题．
22.【答案】解：已知，函数定义域为，
若，此时函数，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值；
证明：当时，函数，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在定义域上单调递增，
即在上单调递增，
又，
所以函数在定义域上单调递增，
则；
证明：由知，当时，在上单调递增，且，
当时，，
所以在单调递增，
此时；
当时，．
又，
所以存在，使得，
整理得，
又在单调递增，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则．
所以，
因为，
不妨设，函数定义域为，
可得，单调递增，
因为，
所以，
此时，
即，
可得当时，，
故当时，．
【解析】由题意，得到函数的解析式，对函数进行求导，利用导数即可得到函数的单调性和极值情况；
将代入函数解析式中，对函数进行求导，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，反推出函数的单调性，进而即可求解；
由知，当时，在上单调递增，且，对和这两种情况进行分类讨论，结合导数的几何意义进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
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