2022-2023学年湖南省长沙市开福区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市开福区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数：、、、、，其中无理数个数是( )
A. B. C. D.
2. 点在第二象限，且到轴的距离为，到轴的距离为点坐标是( )
A. B. C. D.
3. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为( )
A. B. C. 或者 D.
4. 以下调查中，适宜抽样调查的是( )
A. 调查本班同学的体重 B. 湖南卫视跨年演唱会的收视率
C. 长沙地铁号线对乘客的安检 D. 全国人口普查
5. 下列不等式变形不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6. 若，则( )
A. B. C. D.
7. 若一个多边形的内角和与外角和总共是，则此多边形是( )
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
8. 如图，已知，要得到结论，不能添加的条件是( )
A.
B.
C.
D.
9. 关于，的方程组的解满足，则的值为( )
A. B. C. D.
10. 如图，正方形的顶点，，规定把正方形“先沿轴翻折，再向左平移个单位”为一次变换，这样连续经过次变换后，正方形的顶点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. ______填“，或”．
12. 已知，则______．
13. 如图，已知和是的角平分线，，则 ______ ．
14. 如图，将长方形沿翻折，使得点落在边上的点处，点落在点处，若，则 ．
15. 已知不等式与不等式的解集相同，则______．
16. 如图，是线段上的一点，和都是等边三角形，交于，交于，交于，则；；；；是等边三角形其中，正确的有______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
解方程组：；
解不等式组：．
19. 本小题分
人教版初中数学教科书八年级上册第页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：．
求作：的平分线．
作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．
分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．
画射线，射线即为所求如图．
请你根据提供的材料完成下面问题．
这种作已知角的平分线的方法的依据是______填序号
请你证明为的平分线．
20. 本小题分
疫情期间，“线上教学”为我们提供了学习的渠道．某学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢线上教学”进行了问卷调查，调查选项为：非常喜欢，比较喜欢，一般，不喜欢，学校将调查结果统计后绘制成如下条形统计图和扇形统计图．
本次参与调查的学生有______人；
在扇形统计图中，扇形的圆心角度数为______度；
请补全条形统计图；
若该学校有人，根据调查结果，估计该校选择“比较喜欢”的人数．
21. 本小题分
如图，已知是上一点，是上的一点，、相交于点，，，．
的度数；
的度数．
22. 本小题分
一中双语举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生，已知购买个甲种文具，个乙种文具共需要花费元，购买个甲种文具，个乙种文具共需要花费元．
求购买一个甲种文具，一个乙种文具各需多少钱？
若学校计划购买这两种文具共个，投入资金不少于元，又不多于元，问有多少种购买方案？
23. 本小题分
如图，在中，，点是边上一点，，点在边上．
若，求证：
；
；
若，，求的度数．
24. 本小题分
对于不等式：且，当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题：
解关于的不等式：；
若关于的不等式：，其解集中无正整数解，求的取值范围；
若关于的不等式：，当且时，在上总存在的值使得其成立，求的取值范围．
25. 本小题分
如图，平面直角坐标系内，直线交轴于点，交轴于点，直线于点，交轴于点，交轴于点，，且，．
求证：≌．
求的面积．
点为线段上一动点，作，且交于点，当点运动时，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在、、、、中，其中无理数有、、，无理数个数是个．
故选：．
根据无理数的三种形式求解．
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数．
2.【答案】
【解析】解：点在第二象限，且到轴的距离为，到轴的距离为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
故选：．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：是腰长时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形，
是底边时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，
周长，
综上所述，该等腰三角形的周长为．
故选D．
分是腰长和底边两种情况讨论求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
4.【答案】
【解析】解：、调查本班同学的体重，人数不多，采用全面调查，故此选项不合题意；
B、湖南卫视跨年演唱会的收视率，范围广，意义不大，采用抽样调查，故此选项符合题意；
C、长沙地铁号线对乘客的安检，意义重大，应采用全面调查，故此选项不合题意；
D、全国人口普查，采用全面调查，故此选项不合题意；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
此题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质的运用；用到的知识点为：不等式的两边加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个不为的正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个不为的负数，不等号的方向改变．
根据不等式的个性质找到变形正确的选项即可．
【解答】
解：、由，得，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、由，得，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、由，得，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、由，得，原变形不正确，故此选项符合题意；
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
先把表示为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了代数式求值：利用整体代入的方法计算代数式的值．
7.【答案】
【解析】解：多边形的内角和与外角和的总共为，
多边形的外角和是，
多边形的内角和是，
多边形的边数是：
．
故选：．
本题需先根据已知条件，再根据多边形的外角和是，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．
本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出本题即可．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题要判定，已知，，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【解答】
解：，，
A、添加，不能判定，故错误；符合题意；
B、添加，可根据判定，故不符合题意；
C、添加，可根据判定，故不符合题意；
D、添加，可根据判定，故不符合题意．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选C．
把方程组的两个方程相加，得到，结合，即可求出的值．
本题主要考查了二元一次方程组的解得知识点，解答本题的关键是把方程组的两个方程相加得到，与的一个关系式，此题基础题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了规律型点的坐标、坐标与图形变化平移，解决本题的关键是掌握对称性质和平移旋转．
根据正方形的顶点，，可得，，先求出前几次变换后点的坐标，发现次变换后的正方形在轴下方，进而可求出结果．
【解答】
解：正方形的顶点，，
，
，
一次变换后，点 的坐标为，
二次变换后，点的坐标为，
三次变换后，点的坐标为，
，
次变换后的正方形在轴下方，
点的纵坐标为，其横坐标为．
经过次变换后，正方形的顶点的坐标为．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：根据实数比较大小的方法，可得
．
故答案为：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
12.【答案】
【解析】解：，
且，
联立得：，
解得：，
则．
故答案为：．
根据题意利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到与的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：和是的角平分线，
，，
，
故答案为：．
根据角平分线的定义得出，，利用三角形内角和定理可得，再代入计算即可．
本题考查角平分线，三角形内角和定理，掌握角平分线的定义，三角形内角和是是正确解答的前提．
14.【答案】
【解析】解：由翻折的性质可知：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据折叠的性质和平行线的性质，可以求得的度数．
本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
根据题意知，
解得：，
故答案为：．
解两个关于的不等式，求出它们的解集，根据它们的解集相同列出关于的方程，解之可得．
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的能力和根据题意列出关于的方程．
16.【答案】
【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，，正确；
，
，
，错误；
在和中，
，
≌，
，正确；
，正确；
，
，
是等边三角形，正确；
故答案为：．
易证≌，可得正确；即可求得，可得错误；再证明≌，可得正确和，即可证明正确；即可解题．
本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证≌和≌是解题的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】利用二次根式的性质，绝对值，立方根，算术平方根的意义计算即可得出结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得，
方程组的解为；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为．
【解析】利用加减消元法求解即可；
先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解”求出不等式组的解集即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．
19.【答案】解：；
由基本作图方法可得：，，，
则在和中，
，
≌，
，
即为的平分线．
【解析】
【分析】
此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
直接利用角平分线的作法得出基本依据；
直接利用全等三角形的判定与性质得出答案．
20.【答案】
【解析】解：人，
即本次参与调查的学生有人，
故答案为：；
，
即在扇形统计图中，扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
如图所示，；
人，
答：若该学校有人，根据调查结果，估计该校选择“比较喜欢”的人数是人．
根据非常喜欢的认识是人，占总数的即可求出答案；
乘以不喜欢占的百分比，即可求出圆心角；
求出的人数，即可补全条形统计图；
根据题意列出算式，再求出即可．
本题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体等知识点，能根据扇形统计图和条形统计图得出正确信息是解此题的关键．
21.【答案】解：，，
；
由得，
，
，
．
【解析】根据三角形外角性质得出，再代入求出答案即可；
根据三角形内角和定理求出，求出，再根据对顶角相等求出答案即可．
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质和对顶角相等等知识点，能熟记三角形内角和等于是解此题的关键．
22.【答案】解：设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，
由题意得：，
解得，
答：购买一个甲种文具元，一个乙种文具元；
根据题意得：
，
解得，
是整数，
，，，，．
有种购买方案．
【解析】设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，根据“购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元；购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元”列方程组解答即可；
根据题意列不等式组解答即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，列出不等式组．
23.【答案】证明：在中，，
，
又，
且，
；
由得：，
在与中，
，
≌，
；
解：在与中，
，
≌，
，
又，
，
在中，，，
，
．
【解析】利用证明≌，即可解决问题；
由证明≌，可得，进而根据等腰三角形的性质即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌．
24.【答案】解：：，，
，
解得；
，
，
，
当时，则，此时任意的实数都满足条件，
又不等式解集中无正整数解，
此种情况不符合题意；
当时，则，
不等式解集中无正整数解，
，
；
当时，则，
又不等式解集中无正整数解，
此种情况不符合题意；
综上所述，；
当时，
，
，
，
在上总存在的值使得成立，
，
；
当时，
，
，
，
在上总存在的值使得成立，
，
；
综上所述，当时，；当时，．
【解析】根据题意可得，解不等式即可；
根据题意可得，则，然后讨论的符号，结合解集中无正整数解进行求解即可；
分当时，当时，两种情况求出对应的不等式解集，再根据在上总存在的值使得其成立进行求解即可．
本题主要考查了解一元一次不等式，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
25.【答案】解：，
，
，
在和中，
，
≌；
≌，
．
，
≌，
；
作，连接，
，
，
在和中，
，
≌，
．
又，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
≌，
，
，
．
【解析】根据垂直的定义、定理证明≌；
根据全等三角形的性质求出，求出的面积，根据全等三角形的面积相等解答；
作，分别证明≌、≌，根据全等三角形的性质计算即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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