3.1 函数的概念与性质——2023-2024学年高一数学人教B版（2019）必修第一册课时分层练（含解析）

3.1 函数的概念与性质——2023-2024学年高一数学人教B版（2019）必修第一册课时分层练
【夯实基础】
知识点1 函数及其表示方法
1.若，则( )
A.1 B. C.0 D.-1
2.若对于任意实数x都有，则( )
A.0 B.1 C. D.4
3.已知函数和的定义域为，其对应关系如表，则的值域为( )
x 1 2 3 4
4 3 2 1
1 1 3 3
A. B. C. D.以上情况都有可能
知识点2 函数的单调性
4.若在定义域R上为减函数，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.若函数在上单调递减，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.函数的一个单调递增区间是( )
A. B. C. D.
知识点3 函数的奇偶性
7.设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则( )
A. B. C. D.
8.设函数为奇函数，则实数( )
A.-1 B.1 C.0 D.-2
9.已知是定义在R上的偶函数，且在区间上为增函数，若，则满足不等式的x的取值范围为( )
A. B. C. D.
【提升能力】
10.若函数在区间上单调，则实数a的取值范围是________.
11.若函数为奇函数，则实数a的值为___________.
12.若是R上的奇函数，且，则的值为________.
13.若为奇函数，则_________________.
【核心素养】
14.已知偶函数，当时，.
（1）求，的值；
（2）若，求.
15.已知函数，且.
（1）判断并证明函数在其定义域上的奇偶性；
（2）证明函数在上是增函数；
（3）求函数在区间上的最值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，.故选A.
2.答案：C
解析：令，得①；
令，得②.
联立①②，解得.
3.答案：B
解析：因为，，，，故所求函数的值域为.
故选B.
4.答案：C
解析：因为在R上为减函数，
所以时，单调递减，即①；
时，单调递减，即②；
且③.联立①②③，得.
5.答案：C
解析：当时，符合要求；当时，由题意可得且，解得.
综上所述，a的取值范围为.
6.答案：C
解析：由，得，即.令，该函数在上单调递增，而外层函数为定义域内的增函数，所以函数的一个单调递增区间是.
7.答案：B
解析：因为为偶函数，所以关于对称，①
因为为奇函数，所以②
在②中，令，可得
因为关于对称，所以，
再在②中，令，得，故选B.
8.答案：A
解析：根据题意，函数为奇函数，则有，即，变形可得，则有.
9.答案：D
解析：本题考查函数的奇偶性，单调性，不等式的解法.据题，得，又因为函数在上为增函数，所以，从而有或，故选D项.
10.答案：
解析：①当时，，所以在上单调递增，满足题意；②当时，函数图象的对称轴为直线，若在上单调，则或，解得.综上所述，.
11.答案：1
解析：若，则，，.因为为奇函数，所以，即，令对应项系数相等，得，解得.
12.答案：-13
解析：因为是R上的奇函数，所以，且.
因为，所以，则.
13.答案：-4
解析：解法一 易知的定义域为.因为是奇函数，所以对任意的且恒成立，所以对任意的且恒成立，所以对任意的且恒成立，所以.
解法二 易知的定义域为.因为为奇函数，所以，又，所以，所以，解得.经检验，时，为奇函数，故.
14.答案：（1），
（2）
解析：（1），.
（2）当时，，则，
所以.
15.答案：（1）在定义域上为奇函数
（2）见解析
（3）在上的最小值和最大值分别为，
解析：（1）在其定义域上为奇函数.
证明如下：
，，
，，
，且函数的定义域关于原点对称，
在定义域上为奇函数.
（2）证明：任取，，且，
，
，，，
，，
，即，
在上为增函数.
（3）由（2）可知在上单调递增，
在上的最小值和最大值分别为，
.