1.1.1 空间向量及其运算——2023-2024学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册课时分层练（含解析）

1.1.1 空间向量及其运算——2023-2024学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册课时分层练
【夯实基础】
知识点1 空间向量的概念
1.给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量满足,则；
③若空间向量满足,则；
④空间中任意两个单位向量必相等；
⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列关于空间向量的命题中,真命题的个数是( )
①任一向量与它的相反向量不相等；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
③若,则；
④两个向量相等,则它们的起点与终点相同.
A.0 B.1 C.2 D.3
知识点2 空间向量的加法运算
3.空间中任意四个点,则( )
A. B. C. D.
4.平行六面体中,O为与的交点,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图,在长方体中,( )
A. B. C. D.
知识点3 空间向量的线性运算
6.如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，点N在BC上，且，，则( )
A. B. C. D.
7.在空间四边形ABCD中，连接AC,BD，若是正三角形，且E为其重心，则的化简结果是( )
A. B. C. D.
知识点4 空间向量的数量积
8.已知空间向量a，b，c和实数，则下列说法正确的是( )
A.若，则或 B.若，则或
C.若，则或 D.若，则
9.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，则下列向量的数量积等于的是( )
A. B. C. D.
10.已知正方体的棱长为a,且与相交于点O,则有( )
A. B. C. D.
【提升能力】
11.（多选）已知正方体,则下列各式运算结果是的为( )
A. B. C. D.
12. （多选）在四面体中,下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若为的重心,则
C.若,则
D.若四面体的各棱长都为2,分别为的中点,则
13.在正三棱柱中，M为的重心，若,,，则_______________.
【核心素养】
14.如图所示,已知空间四边形,连接分别是的中点,请化简以下式子,并在图中标出化简结果.
(1);
(2).
15.如图，在长方体中，，，，且，，.
(1)用a，b，c表示，；
(2)求异面直线和所成角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量与的方向不一定相同.③真命题.向量的相等具有传递性.④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1,但方向不一定相同,所以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的.
2.答案：B
解析：因为零向量与它的相反向量相等,所以①不是真命题；根据向量的定义,知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量,所以②是真命题；当时,也有,所以③不是真命题；只要模相等,方向相同,两个向量就是相等向量,与向量的起点与终点无关,所以④不是真命题.综上可知,只有②是真命题,故选B.
3.答案：C
解析：利用空间向量运算法则即可得出.
4.答案：A
解析：.故选A.
5.答案：D
解析：在长方体中,.故选D.
6.答案：A
解析：如图，连接MB，则
.
故选A.
7.答案：C
解析：如图所示，取BC的中点F，则，又E为正三角形BCD的重心，即DF上靠近F的三等分点,所以，则.
8.答案：B
解析：对于选项A，若，则或或，故A错误；
对于选项B，由，可得或，故B正确；
对于选项C，由，得，即向量, 的模相等，但方向不确定，故C错误；
对于选项D，由，得，则或或，故D错误.故选B.
9.答案：C
解析：由题意可知，,,.E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，且，且，，.故选C.
10.答案：B
解析：对于A，,故A错误；
对于B，,故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选B.
11.答案：ABC
解析：选项A中,；
选项B中,；
选项C中,；
选项D中,.故选ABC.
12.答案：ABC
解析：对于A,，
,
,，
,即，故A正确；
对于B,若Q为的重心,则,,,即,故B正确；
对于C,若,则,
,
,
,
,
,
,
,,故C正确；
对于D,,
.
，
,故D错误.故选ABC.
13.答案：
解析：如图，连接并延长，交于点D，
在正三棱柱中，M为的重心，，，，.
14.答案：(1),如图中向量.
(2),如图中向量.
解析：
15.答案：(1)，
(2)
解析：(1)，
.
(2)因为，
，，，
所以，
，，
，
所以异面直线和所成角的余弦值为.