1.2.1 空间中的点、直线与空间向量——2023-2024学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册课时分层练（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量——2023-2024学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册课时分层练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 572.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-27 08:51:17 | ||
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文档简介
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量——2023-2024学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册课时分层练
【夯实基础】
知识点1 空间中的点与空间向量
1.在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图,在平行六面体中,与向量的模一定相等的向量有( )
A.0个 B.3个 C.7个 D.9个
知识点2 空间中的直线与空间向量
3.已知直线l经过点和点，则直线l的单位方向向量为( )
A. B. C. D.
4.已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则的值是( )
A.-6 B.6 C.14 D.-14
5.已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量与平面平行，则实数z等于( )
A.3 B.6 C.-9 D.9
知识点3 空间中两条直线所成的角
6.如图, 在直三棱柱中, ,,Q为的中点, E 为AQ的中点, F为 的中点, 则异面直线BE与AF所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
知识点4 异面直线与空间向量
8.如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
9.如图，在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，E，F分别为MA，MC的中点，则异面直线BE与AF所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
10.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【提升能力】
11. （多选）已知四棱柱为正方体,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.向量与向量的夹角是120°
D.正方体的体积为
12.如图，已知四边形ABCD是矩形，，，平面ABCD，且，的中点为E，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为__________.
13.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，且，则的值为_________.
【核心素养】
14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，求的最大值.
15.如图，已知平面ABCD，点O在AD上，且，四边形ABCD为直角梯形，，，，.求：
(1)异面直线BE与DP所成角的余弦值；
(2)异面直线DE与CP所成角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，，易证四边形EFGH为平行四边形，故，故选B.
2.答案：C
解析：向量的模相等即长度相等，根据平行六面体的性质可知，与向量的模一定相等的向量有,,,,,,，共7个.故选C.
3.答案：D
解析：由题意得，直线l的一个方向向量为，
则，
因此直线l的单位方向向量为，故选D.
4.答案：A
解析：,,故选A.
5.答案：C
解析：由题意可得，则，解得.故选C.
6.答案：B
解析：由题可知, 在直三棱柱 中, AB,AC,两两垂直. 以A 为坐标原 点, AB,AC,所在直线分别为x轴y轴, z轴建立空间直角坐标系, 如图所示.
可得,,,,,
,,
,
故选 B.
7.答案：B
解析：如图，设BC的中点为D，连接、AD、，
易知即为异面直线AB与所成的角(或其补角)
设三棱柱的侧棱与底面边长均为1，
则，，，
由余弦定理，得
故选：B.
8.答案：C
解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，
则根据题意可得，，，，
所以，，
设异面直线AB与CM所成角为，
则.
故选：C.
9.答案：B
解析：解法一：设H为MF的中点，连接EH，BH，
如图，E是MA的中点，，
是异面直线BE与AF所成的角或其补角，
平面ABC，
，，
，
，
又，，
，
异面直线BE与AF所成角的余弦值为，故选B.
解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知，
则，
则，
异面直线BE与AF所成角的余弦值为，故选B.
10.答案：D
解析：设的中点为,连接,则由题意知平面,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设侧棱长为,则,则.
所以.
11.答案：ABC
解析：不妨设正方体的棱长为1,以为一组正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则.
因为,所以,,故A正确.因为,所以,故B正确.因为,所以,所以,所以向量与向量的夹角是120°.故C正确.因为,所以,所以,故D错误.故选ABC.
12.答案：
解析：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.
13.答案：
解析：由可得，由可得，解得，所以.
14.答案：
解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方形的边长为2，则，，.
设，其中，
，，
，令，
则
，
所以当，即点M在点Q处时，取到最大值.
15.答案：(1)
(2)
解析：因为平面，，所以平面ABCD，如图1，
以AB，AD，AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则.
在梯形ABCD中，，，，如图2，
易得，，，.
因为点P在底面ABCD内的投影为O且，故.
(1)因为，，
所以，
所以异面直线BE与DP所成角的余弦值为.
(2)因为，，
所以，
所以异面直线DE与CP所成角的余弦值为.
【夯实基础】
知识点1 空间中的点与空间向量
1.在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图,在平行六面体中,与向量的模一定相等的向量有( )
A.0个 B.3个 C.7个 D.9个
知识点2 空间中的直线与空间向量
3.已知直线l经过点和点，则直线l的单位方向向量为( )
A. B. C. D.
4.已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则的值是( )
A.-6 B.6 C.14 D.-14
5.已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量与平面平行，则实数z等于( )
A.3 B.6 C.-9 D.9
知识点3 空间中两条直线所成的角
6.如图, 在直三棱柱中, ,,Q为的中点, E 为AQ的中点, F为 的中点, 则异面直线BE与AF所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
知识点4 异面直线与空间向量
8.如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
9.如图，在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，E，F分别为MA，MC的中点，则异面直线BE与AF所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
10.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【提升能力】
11. （多选）已知四棱柱为正方体,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.向量与向量的夹角是120°
D.正方体的体积为
12.如图，已知四边形ABCD是矩形，，，平面ABCD，且，的中点为E，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为__________.
13.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，且，则的值为_________.
【核心素养】
14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，求的最大值.
15.如图，已知平面ABCD，点O在AD上，且，四边形ABCD为直角梯形，，，，.求：
(1)异面直线BE与DP所成角的余弦值；
(2)异面直线DE与CP所成角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，，易证四边形EFGH为平行四边形，故，故选B.
2.答案：C
解析：向量的模相等即长度相等，根据平行六面体的性质可知，与向量的模一定相等的向量有,,,,,,，共7个.故选C.
3.答案：D
解析：由题意得，直线l的一个方向向量为，
则，
因此直线l的单位方向向量为，故选D.
4.答案：A
解析：,,故选A.
5.答案：C
解析：由题意可得，则，解得.故选C.
6.答案：B
解析：由题可知, 在直三棱柱 中, AB,AC,两两垂直. 以A 为坐标原 点, AB,AC,所在直线分别为x轴y轴, z轴建立空间直角坐标系, 如图所示.
可得,,,,,
,,
,
故选 B.
7.答案：B
解析：如图，设BC的中点为D，连接、AD、，
易知即为异面直线AB与所成的角(或其补角)
设三棱柱的侧棱与底面边长均为1，
则，，，
由余弦定理，得
故选：B.
8.答案：C
解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，
则根据题意可得，，，，
所以，，
设异面直线AB与CM所成角为，
则.
故选：C.
9.答案：B
解析：解法一：设H为MF的中点，连接EH，BH，
如图，E是MA的中点，，
是异面直线BE与AF所成的角或其补角，
平面ABC，
，，
，
，
又，，
，
异面直线BE与AF所成角的余弦值为，故选B.
解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知，
则，
则，
异面直线BE与AF所成角的余弦值为，故选B.
10.答案：D
解析：设的中点为,连接,则由题意知平面,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设侧棱长为,则,则.
所以.
11.答案：ABC
解析：不妨设正方体的棱长为1,以为一组正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则.
因为,所以,,故A正确.因为,所以,故B正确.因为,所以,所以,所以向量与向量的夹角是120°.故C正确.因为,所以,所以,故D错误.故选ABC.
12.答案：
解析：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.
13.答案：
解析：由可得，由可得，解得，所以.
14.答案：
解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方形的边长为2，则，，.
设，其中，
，，
，令，
则
，
所以当，即点M在点Q处时，取到最大值.
15.答案：(1)
(2)
解析：因为平面，，所以平面ABCD，如图1，
以AB，AD，AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则.
在梯形ABCD中，，，，如图2，
易得，，，.
因为点P在底面ABCD内的投影为O且，故.
(1)因为，，
所以，
所以异面直线BE与DP所成角的余弦值为.
(2)因为，，
所以，
所以异面直线DE与CP所成角的余弦值为.