人教A版高二数学选择性必修第一册1.1 空间向量及其运算 同步精练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版高二数学选择性必修第一册1.1 空间向量及其运算 同步精练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-27 08:52:03 | ||
图片预览
文档简介
本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854 专注收集同步资源期待你的加入与分享
人教A版高二数学选择性必修第一册1.1 空间向量及其运算同步精练(原卷版)
【题组一 概念的辨析】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）在下列结论中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2（2019·全国高二）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则，的长度相等，方向相同或相反
B．若向量是向量的相反向量，则
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形中，一定有
3．（2020·陕西新城.西安中学高二期末（理））给出下列命题：
①若空间向量满足，则；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，由，则；
④在向量的数量积运算中.
其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2019·长宁.上海市延安中学高二期中）给出以下结论：
①空间任意两个共起点的向量是共面的；
②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；
③空间向量的加法满足结合律：；
④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.
请将正确的说法题号填在横线上：__________.
【题组二 空间向量的线性运算】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）如图，在正方体中，点分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若=a,=b,=c,则=（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·全国高二）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3（2020·山东章丘四中高二月考）如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·山东德州.高二期末）如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列选项中与向量相等的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·陕西王益.高二期末（理））如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（ ）
A． B． C． D．
（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为( )
A． B． C． D．
7．（2020·湖北黄石.高二期末）如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是对边的中点，点在线段上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋1；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.其中运算的结果为的有___个.
9．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则______.
（2020·全国高二课时练习）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为( )
A．，－ B．－，－ C．－， D．，
【题组三 空间向量的共面问题】
1．（2020·涟水县第一中学高二月考）是空间四点，有以下条件：
①； ②；
③； ④，
能使四点一定共面的条件是______
2．（2019·江苏海安高级中学高二期中（理））设空间任意一点和不共线三点，且点满足向量关系，若四点共面，则______．
3．（2020·全国高二课时练习）对于空间任意一点和不共线的三点，，，有如下关系：，则（ ）
A．四点，，，必共面 B．四点，，，必共面
C．四点，，，必共面 D．五点，，，，必共面
4．（2020·宁阳县第四中学高二期末）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则（ ）
A．四点O，A，B，C必共面 B．四点P，A，B，C必共面
C．四点O，P，B，C必共面 D．五点O，P，A，B，C必共面
（2020·四川阆中中学高二月考（理））为空间任意一点,三点不共线,若=,则四点（ ）
A．一定不共面 B．不一定共面 C．一定共面 D．无法判断
（2019·建瓯市第二中学高二月考）已知、、三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点、、一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·西夏.宁夏育才中学高二期末（理））已知为空间任意一点，若，则四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
【题组四 空间向量的数量积】
1．（2020·山东新泰市第一中学高一期中）如图，平行六面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·四川遂宁.高三三模（理））如图，平行六面体中，，，，，，则的长为_____．
3．（2020·全国高二课时练习）如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点．（1）用向量 ，，表示和．（2）若四面体的所有棱长都等于1，求的值．
4.．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
5．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________
6.如图，已知线段AB⊥平面α，BC α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
人教A版高二数学选择性必修第一册1.1 空间向量及其运算同步精练(解析版)
【题组一 概念的辨析】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）在下列结论中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．
两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，
三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，需不共面，故④错．综上，选A．
2（2019·全国高二）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则，的长度相等，方向相同或相反
B．若向量是向量的相反向量，则
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形中，一定有
【答案】B
【解析】对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向相同或相反,所以A错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等,所以B正确.
对于C,减法结合律指的是,因而由运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C错误.对于D满足的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D错误.
综上可知,正确的为B，故选:B
3．（2020·陕西新城.西安中学高二期末（理））给出下列命题：
①若空间向量满足，则；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，由，则；
④在向量的数量积运算中.
其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】对于①，空间向量的方向不一定相同，即不一定成立，故①错误；
对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；
对于③，取，，，满足，且，但是，故③错误；对于④，因为和都是常数，所以和表示两个向量，若和方向不同
则和不相等，故④错误.故选：D.
4．（2019·长宁.上海市延安中学高二期中）给出以下结论：
①空间任意两个共起点的向量是共面的；
②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；
③空间向量的加法满足结合律：；
④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.
请将正确的说法题号填在横线上：__________.
【答案】①③④
【解析】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有个点，则点共面，可知两向量共面，①正确；
②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误；
③中，空间向量加法满足结合律，③正确；
④中，由向量加法的三角形法则可知④正确.
故答案为：①③④
【题组二 空间向量的线性运算】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）如图，在正方体中，点分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若=a,=b,=c,则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据向量的线性运算
所以选D
2．（2020·全国高二）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B
3（2020·山东章丘四中高二月考）如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由向量的加法和减法运算：.
故选：B
4．（2020·山东德州.高二期末）如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列选项中与向量相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，，
，，，，，
，
故选：．
5．（2020·陕西王益.高二期末（理））如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】是边的中点，；；
故选：．
6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
,.故选:C.
7．（2020·湖北黄石.高二期末）如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是对边的中点，点在线段上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
，，故选：
8．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋1；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.其中运算的结果为的有___个.
【答案】4
【解析】根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：
①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝.
所以4个式子的运算结果都是.
故答案为：4.
9．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则______.
【答案】
【解析】在四面体中，、分别是、的中点，
则
.故答案为：.
10．（2020·全国高二课时练习）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为( )
A．，－ B．－，－ C．－， D．，
【答案】A
【解析】由于，所以.故选：A
【题组三 空间向量的共面问题】
1．（2020·涟水县第一中学高二月考）是空间四点，有以下条件：
①； ②；
③； ④，
能使四点一定共面的条件是______
【答案】④
【解析】对于④，，由空间向量共面定理可知四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件.故答案为：④
2．（2019·江苏海安高级中学高二期中（理））设空间任意一点和不共线三点，且点满足向量关系，若四点共面，则______．
【答案】
【解析】因为四点共面，三点不共线，
所以
因为，
因为是任意一点，故可不共面，所以，
故.故答案为：1
3．（2020·全国高二课时练习）对于空间任意一点和不共线的三点，，，有如下关系：，则（ ）
A．四点，，，必共面 B．四点，，，必共面
C．四点，，，必共面 D．五点，，，，必共面
【答案】B
【解析】因为，所以，
即，根据共面向量基本定理，可得，，共面，
所以，，，，四点共面．故选：B．
4．（2020·宁阳县第四中学高二期末）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则（ ）
A．四点O，A，B，C必共面 B．四点P，A，B，C必共面
C．四点O，P，B，C必共面 D．五点O，P，A，B，C必共面
【答案】B
【解析】由已知得，而，四点、、、共面．
故选：．
5．（2020·四川阆中中学高二月考（理））为空间任意一点,三点不共线,若=,则四点（ ）
A．一定不共面 B．不一定共面
C．一定共面 D．无法判断
【答案】C
【解析】因为=，且，所以四点共面.
6．（2019·建瓯市第二中学高二月考）已知、、三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点、、一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若，
故可得
即，
则，
故
整理得
又因为共面，
故可得共面，而其它选项不符合，
即可得四点共面.
故选：B.
7．（2020·西夏.宁夏育才中学高二期末（理））已知为空间任意一点，若，则四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
【答案】B
【解析】由若 ，当且仅当 时， 四点共面．
，
而 故 四点共面，故选B
【题组四 空间向量的数量积】
1．（2020·山东新泰市第一中学高一期中）如图，平行六面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
,.故选：D
2．（2020·四川遂宁.高三三模（理））如图，平行六面体中，，，，，，则的长为_____．
【答案】
【解析】平行六面体中，
，，，，，
，
．
．故答案为：．
3．（2020·全国高二课时练习）如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点．
（1）用向量 ，，表示和．
（2）若四面体的所有棱长都等于1，求的值．
【答案】（1）,（2）.
【解析】（1），
∴
（2）四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形, ，，
4.．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
解：（1），
又，
同理可得，
则．
（2）因为，
所以，
因为，
所以．
则异面直线与所成角的余弦值为．
5．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________
【答案】
【解析】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，设棱长为1，
则，，
.
又，，
所以
而，
，
所以.
故答案为：.
6.如图3 1 22所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．
图3 1 22
【答案】
【解析】＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝－＋＋，
所以＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2.
∴||＝，即E，F间的距离为.
7.如图，已知线段AB⊥平面α，BC α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
【答案】2
【解析】∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，
∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.
联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸
人教A版高二数学选择性必修第一册1.1 空间向量及其运算同步精练(原卷版)
【题组一 概念的辨析】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）在下列结论中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2（2019·全国高二）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则，的长度相等，方向相同或相反
B．若向量是向量的相反向量，则
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形中，一定有
3．（2020·陕西新城.西安中学高二期末（理））给出下列命题：
①若空间向量满足，则；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，由，则；
④在向量的数量积运算中.
其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2019·长宁.上海市延安中学高二期中）给出以下结论：
①空间任意两个共起点的向量是共面的；
②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；
③空间向量的加法满足结合律：；
④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.
请将正确的说法题号填在横线上：__________.
【题组二 空间向量的线性运算】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）如图，在正方体中，点分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若=a,=b,=c,则=（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·全国高二）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3（2020·山东章丘四中高二月考）如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·山东德州.高二期末）如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列选项中与向量相等的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·陕西王益.高二期末（理））如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（ ）
A． B． C． D．
（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为( )
A． B． C． D．
7．（2020·湖北黄石.高二期末）如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是对边的中点，点在线段上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋1；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.其中运算的结果为的有___个.
9．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则______.
（2020·全国高二课时练习）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为( )
A．，－ B．－，－ C．－， D．，
【题组三 空间向量的共面问题】
1．（2020·涟水县第一中学高二月考）是空间四点，有以下条件：
①； ②；
③； ④，
能使四点一定共面的条件是______
2．（2019·江苏海安高级中学高二期中（理））设空间任意一点和不共线三点，且点满足向量关系，若四点共面，则______．
3．（2020·全国高二课时练习）对于空间任意一点和不共线的三点，，，有如下关系：，则（ ）
A．四点，，，必共面 B．四点，，，必共面
C．四点，，，必共面 D．五点，，，，必共面
4．（2020·宁阳县第四中学高二期末）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则（ ）
A．四点O，A，B，C必共面 B．四点P，A，B，C必共面
C．四点O，P，B，C必共面 D．五点O，P，A，B，C必共面
（2020·四川阆中中学高二月考（理））为空间任意一点,三点不共线,若=,则四点（ ）
A．一定不共面 B．不一定共面 C．一定共面 D．无法判断
（2019·建瓯市第二中学高二月考）已知、、三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点、、一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·西夏.宁夏育才中学高二期末（理））已知为空间任意一点，若，则四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
【题组四 空间向量的数量积】
1．（2020·山东新泰市第一中学高一期中）如图，平行六面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·四川遂宁.高三三模（理））如图，平行六面体中，，，，，，则的长为_____．
3．（2020·全国高二课时练习）如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点．（1）用向量 ，，表示和．（2）若四面体的所有棱长都等于1，求的值．
4.．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
5．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________
6.如图，已知线段AB⊥平面α，BC α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
人教A版高二数学选择性必修第一册1.1 空间向量及其运算同步精练(解析版)
【题组一 概念的辨析】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）在下列结论中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．
两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，
三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，需不共面，故④错．综上，选A．
2（2019·全国高二）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则，的长度相等，方向相同或相反
B．若向量是向量的相反向量，则
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形中，一定有
【答案】B
【解析】对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向相同或相反,所以A错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等,所以B正确.
对于C,减法结合律指的是,因而由运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C错误.对于D满足的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D错误.
综上可知,正确的为B，故选:B
3．（2020·陕西新城.西安中学高二期末（理））给出下列命题：
①若空间向量满足，则；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，由，则；
④在向量的数量积运算中.
其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】对于①，空间向量的方向不一定相同，即不一定成立，故①错误；
对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；
对于③，取，，，满足，且，但是，故③错误；对于④，因为和都是常数，所以和表示两个向量，若和方向不同
则和不相等，故④错误.故选：D.
4．（2019·长宁.上海市延安中学高二期中）给出以下结论：
①空间任意两个共起点的向量是共面的；
②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；
③空间向量的加法满足结合律：；
④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.
请将正确的说法题号填在横线上：__________.
【答案】①③④
【解析】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有个点，则点共面，可知两向量共面，①正确；
②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误；
③中，空间向量加法满足结合律，③正确；
④中，由向量加法的三角形法则可知④正确.
故答案为：①③④
【题组二 空间向量的线性运算】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）如图，在正方体中，点分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若=a,=b,=c,则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据向量的线性运算
所以选D
2．（2020·全国高二）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B
3（2020·山东章丘四中高二月考）如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由向量的加法和减法运算：.
故选：B
4．（2020·山东德州.高二期末）如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列选项中与向量相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，，
，，，，，
，
故选：．
5．（2020·陕西王益.高二期末（理））如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】是边的中点，；；
故选：．
6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
,.故选:C.
7．（2020·湖北黄石.高二期末）如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是对边的中点，点在线段上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
，，故选：
8．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋1；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.其中运算的结果为的有___个.
【答案】4
【解析】根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：
①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝.
所以4个式子的运算结果都是.
故答案为：4.
9．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则______.
【答案】
【解析】在四面体中，、分别是、的中点，
则
.故答案为：.
10．（2020·全国高二课时练习）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为( )
A．，－ B．－，－ C．－， D．，
【答案】A
【解析】由于，所以.故选：A
【题组三 空间向量的共面问题】
1．（2020·涟水县第一中学高二月考）是空间四点，有以下条件：
①； ②；
③； ④，
能使四点一定共面的条件是______
【答案】④
【解析】对于④，，由空间向量共面定理可知四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件.故答案为：④
2．（2019·江苏海安高级中学高二期中（理））设空间任意一点和不共线三点，且点满足向量关系，若四点共面，则______．
【答案】
【解析】因为四点共面，三点不共线，
所以
因为，
因为是任意一点，故可不共面，所以，
故.故答案为：1
3．（2020·全国高二课时练习）对于空间任意一点和不共线的三点，，，有如下关系：，则（ ）
A．四点，，，必共面 B．四点，，，必共面
C．四点，，，必共面 D．五点，，，，必共面
【答案】B
【解析】因为，所以，
即，根据共面向量基本定理，可得，，共面，
所以，，，，四点共面．故选：B．
4．（2020·宁阳县第四中学高二期末）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则（ ）
A．四点O，A，B，C必共面 B．四点P，A，B，C必共面
C．四点O，P，B，C必共面 D．五点O，P，A，B，C必共面
【答案】B
【解析】由已知得，而，四点、、、共面．
故选：．
5．（2020·四川阆中中学高二月考（理））为空间任意一点,三点不共线,若=,则四点（ ）
A．一定不共面 B．不一定共面
C．一定共面 D．无法判断
【答案】C
【解析】因为=，且，所以四点共面.
6．（2019·建瓯市第二中学高二月考）已知、、三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点、、一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若，
故可得
即，
则，
故
整理得
又因为共面，
故可得共面，而其它选项不符合，
即可得四点共面.
故选：B.
7．（2020·西夏.宁夏育才中学高二期末（理））已知为空间任意一点，若，则四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
【答案】B
【解析】由若 ，当且仅当 时， 四点共面．
，
而 故 四点共面，故选B
【题组四 空间向量的数量积】
1．（2020·山东新泰市第一中学高一期中）如图，平行六面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
,.故选：D
2．（2020·四川遂宁.高三三模（理））如图，平行六面体中，，，，，，则的长为_____．
【答案】
【解析】平行六面体中，
，，，，，
，
．
．故答案为：．
3．（2020·全国高二课时练习）如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点．
（1）用向量 ，，表示和．
（2）若四面体的所有棱长都等于1，求的值．
【答案】（1）,（2）.
【解析】（1），
∴
（2）四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形, ，，
4.．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
解：（1），
又，
同理可得，
则．
（2）因为，
所以，
因为，
所以．
则异面直线与所成角的余弦值为．
5．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________
【答案】
【解析】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，设棱长为1，
则，，
.
又，，
所以
而，
，
所以.
故答案为：.
6.如图3 1 22所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．
图3 1 22
【答案】
【解析】＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝－＋＋，
所以＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2.
∴||＝，即E，F间的距离为.
7.如图，已知线段AB⊥平面α，BC α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
【答案】2
【解析】∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，
∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.
联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸