人教A版高二数学选择性必修第一册1.3 空间向量及其坐标的运算 同步精练（含解析）

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人教A版高二数学选择性必修第一册1.3 空间向量及其坐标的运算同步精练(原卷版)
【题组一 空间向量的坐标运算】
1．（2020·全国高二）已知点，向量，则点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·浙江高二学业考试）设点．若，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·绵竹市南轩中学高二月考（理））若，，，则的值为（ ）
A． B．5 C．7 D．36
4．（2019·包头市第四中学高二期中（理））若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2020·南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则为单位向量
6（2020·江苏连云港 高二期末）已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(﹣2，1，4)，＝(1，﹣2，1)，＝(4，2，0)，则（ ）
A．AP⊥AB B．AP⊥ BP C．BC＝ D．AP// BC
7（2020·全国高二课时练习）已知向量.
（1）计算和.
（2）求.
8．（2020·吴起高级中学高二月考（理））已知空间三点，设.
（1）的夹角的余弦值；
（2）若向量互相垂直，求实数的值；
（3）若向量共线，求实数的值.
【题组二 坐标运算在几何中的运用】
1．（2020·全国高二课时练习）棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
（1）求证：EF⊥CF；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求CE的长.
2．（2019·全国高二）棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点．
（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求的长．
3．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则____，EF=____.
4．（2020·全国高二课时练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___.
【题组三 最值问题】
1．（2019·全国高一课时练习）在平面内的直线上求一点，使点到点的距离最小，并求出此最小值．
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为______________.
人教A版高二数学选择性必修第一册1.3 空间向量及其坐标的运算同步精练(解析版)
【题组一 空间向量的坐标运算】
1．（2020·全国高二）已知点，向量，则点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点，则向量，
所以，所以点.故选：D
2．（2019·浙江高二学业考试）设点．若，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点B的坐标为，则，
∵，∴，解得，故选：C．
3．（2020·绵竹市南轩中学高二月考（理））若，，，则的值为（ ）
A． B．5 C．7 D．36
【答案】B
【解析】，.
故选：B
4．（2019·包头市第四中学高二期中（理））若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】A中，所以排除A；B中，所以排除B；
C中，所以排除C；D中，所以，能使.
故选D
5．（2020·南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则为单位向量
【答案】BD
【解析】对于A选项，因为，则，A选项正确；
对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；
对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.
故选：BD.
6（2020·江苏连云港 高二期末）已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(﹣2，1，4)，＝(1，﹣2，1)，＝(4，2，0)，则（ ）
A．AP⊥AB B．AP⊥ BP C．BC＝ D．AP// BC
【答案】AC
【解析】因为，故A正确；，，故B不正确；，，故C正确；，，各个对应分量的比例不同，故D不正确。故选:AC。
7（2020·全国高二课时练习）已知向量.
（1）计算和.
（2）求.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）因为向量
所以，
所以
（2）因为，所以
8．（2020·吴起高级中学高二月考（理））已知空间三点，设.
（1）的夹角的余弦值；
（2）若向量互相垂直，求实数的值；
（3）若向量共线，求实数的值.
【答案】（1）；（2）或；（3）或.
【解析】（1）已知空间三点，
（2）若向量互相垂直，
又，则
解得：或
（3）向量共线，又
当时，
当时，，成立，
当时，，不成立，
故：或
【题组二 坐标运算在几何中的运用】
1．（2020·全国高二课时练习）棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
（1）求证：EF⊥CF；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求CE的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz
则
所以
（1）证明：因为，所以，即EF⊥CF.
（2）因为
.
（3）
2．（2019·全国高二）棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点．
（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系
则,,,,.
所以,
,,.
（1）证明：因为
所以
即
（2）因为
由向量夹角的求法可得
∴
（3）根据空间中两点的距离公式可得
.
3．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则____，EF=____.
【答案】
【解析】以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系
设正方体棱长为1，则
.
故答案为：；
4．（2020·全国高二课时练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___.
【答案】
【解析】因为，所以向量的坐标为.
因为，
所以向量的坐标为.
因为，所以向量的坐标为.
故答案为：；；
【题组三 最值问题】
1．（2019·全国高一课时练习）在平面内的直线上求一点，使点到点的距离最小，并求出此最小值．
【答案】点的坐标为时，
【解析】设，
则．
所以当，即点的坐标为时，．
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为______________.
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),E(0,2,1),G(1,0,2),设F(x,0,0),D(0,y,0)，
则,，
由于GD⊥EF，所以，
所以，
故，
所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为．
故答案为：
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