人教A版高二数学选择性必修第一册1.4.2空间向量的应用二 同步精练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版高二数学选择性必修第一册1.4.2空间向量的应用二 同步精练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-27 08:54:17 | ||
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文档简介
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人教A版高二数学选择性必修第一册1.4.2空间向量的应用二同步精练(原卷版)
【题组一 空间向量求线线角】
1．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形，将平行四边形沿对角线折起，使平面平面，则直线与所成角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·湖北武汉。月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·绍兴鲁迅中学高二期中）如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
4．（2019·浙江湖州.高二期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·武汉外国语学校高一月考）如图，正三棱锥的侧棱长为3，底面边长为2，则与所成角的余弦值为______.
【题组二 空间向量求线面角】
1．（2020·江苏高二）如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3.
(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；
(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.
2．（2020·沙坪坝.重庆八中）如图，四棱台中，底面是菱形，底面，60°，，是棱的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成线面角的正弦值.
3．（2020·浙江金华.高二期末）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，且平面平面，，分别为线段、的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
4（2020·浙江瓯海.温州中学高二期末）如图，已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，，，点F为线段AP的中点．
（Ⅰ）证明：平面ABC；
（Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值．
5．（2020·甘肃城关.兰大附中）如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，∥，，，，，分别为线段，，的中点．
（1）证明：平面∥平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【题组三 空间向量求二面角】
1．（2020·全国）如图，在四棱锥中，底面为边长为3的正方形，，，平面平面，为的中点，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
2．（2020·全国）已知三棱柱中，侧面是矩形，是的菱形，且平面平面，，，分别是，，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
3．（2020·全国高三其他（理））如图1，平面四边形中，和均为边长为的等边三角形，现沿将折起，使，如图2.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
4．（2020·全国）如图1，等腰梯形中，，，为的中点，对角线平分，将沿折起到如图2中的位置.
（1）求证：.
（2）若二面角为直二面角，为线段上的点，且二面角与二面角大小相等，求出的值.
【题组四 空间向量求距离】
1．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A． B．
C． D．
2．（2020·全国高二课时练习）在直三棱柱中，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线到平面的距离.
3．（2020·全国高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.
（1）求证：B1D⊥平面ABD；
（2）求证：平面EGF∥平面ABD；
（3）求平面EGF与平面ABD的距离.
4．（2020·全国高二课时练习）在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，，分别为，的中点，如图所示.求点到平面的距离.
5．（2020·江苏常熟.高二期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且.
（1）求异面直线与所成角余弦的大小；
（2）求点到平面的距离.
6．（2020·安徽）如图，边长为的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，，为线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
7.（2020·福建）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E在PA线段上，PC平面BDE
（1）请确定点E的位置；并说明理由.
（2）若是等边三角形，， 平面PAD平面ABCD，四棱锥的体积为，求点E到平面PCD的距离.
人教A版高二数学选择性必修第一册1.4.2空间向量的应用二同步精练(解析版)【题组一 空间向量求线线角】
1．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形，将平行四边形沿对角线折起，使平面平面，则直线与所成角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由平面平面，
平面平面，平面
所以平面，又平面
所以，又
所以作轴//,建立空间直角坐标系
如图
设，所以
则
所以
所以
故选：C
2．（2020·湖北武汉。月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，
故选：D
3．（2019·绍兴鲁迅中学高二期中）如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】如图
所以
所以异面直线与所成角的余弦值
故选：A
4．（2019·浙江湖州.高二期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，
则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），
＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，﹣1），
设异面直线AC与B1D所成的角为θ，
则cosθ＝＝0，
∴θ＝.
∴异面直线AC与B1D所成的角为.
故选：D.
5．（2020·武汉外国语学校高一月考）如图，正三棱锥的侧棱长为3，底面边长为2，则与所成角的余弦值为______.
【答案】
【解析】设与的夹角为，则与的夹角也是
则与所成角的余弦值为
故答案为：
【题组二 空间向量求线面角】
1．（2020·江苏高二）如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3.
(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；
(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.
【答案】(1)；(2).
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，易知C(0，0，0)，
A(2，0，0)，D(1，1，0)，E(，，)，P(1，1，3)，
设直线CE与直线PA夹角为，则
整理得；
直线CE与直线PA夹角的余弦值；
(2)设直线PC与平面DEC夹角为，
设平面DEC的法向量为，
因为，
所以有
取，解得，，
即面DEC的一个法向量为，，
.
直线PC与平面DEC夹角的正弦值为.
2．（2020·沙坪坝.重庆八中）如图，四棱台中，底面是菱形，底面，且60°，，是棱的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成线面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为底面，所以
因为底面是菱形，所以
又，所以平面
又由四棱台知，，，，四点共面
所以
（2）如图，设交于点，依题意，且，
，且，
又由已知底面，得底面．
以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图
设交于点，依题意，且，所以
则，，，，
由，得
因为是棱中点，所以
所以，，
设为平面的法向量
则，取，得
设直线与平面所成线面角为，则
所以直线与平面所成线面角的正弦值
3．（2020·浙江金华.高二期末）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，且平面平面，，分别为线段、的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）作于，连接，如图所示：
由平面平面，且平面平面，
得平面，所以.
因为，，，
所以，，
，.
在直角三角形中，可得.
又，为的中点，所以.
（2）以为坐标原点，，为轴，平行的直线为轴建系，
，，，，，
∴，，.
设是平面的一个法向量，
则，取，
设为直线与平面所成角，
所以.
4（2020·浙江瓯海.温州中学高二期末）如图，已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，，，点F为线段AP的中点．
（Ⅰ）证明：平面ABC；
（Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）证明：在中，，，
由余弦定理可得，
因为，
所以，
又，，
所以面ABC．
（Ⅱ）在平面ABC中，过点C作，以C为原点，
，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面PBC的法向量为，
则
取，则，，即，
所以sinα＝，
故直线BF与平面PBC所成角的正弦值．
5．（2020·甘肃城关.兰大附中）如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，∥，，，，，分别为线段，，的中点．
（1）证明：平面∥平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接，设与相交于点，如图，
因为∥，且，，
所以四边形为矩形，
所以为的中点，又因为为的中点，
所以为的中位线，即,
因为平面， 平面，
所以平面，
因为，分别为线段，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，，
所以平面∥平面.
（2）因为底面，平面，平面，
所以，因为，
所以、 、两两互相垂直，
以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
所以，
设平面的法向量为，则
，所以，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【题组三 空间向量求二面角】
1．（2020·全国）如图，在四棱锥中，底面为边长为3的正方形，，，平面平面，为的中点，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）证明：如图，取的中点，连，，
∵，，∴且．
∵，，∴且，
∴四边形为平行四边形，得．
∵平面，平面，∴平面．
（Ⅱ）如图，过点作，垂足为，
在中，，
可得，，
，．
∵，平面平面，平面平面，
∴平面．
如图，以点为原点，与向量同向方向为轴，向量方向为轴，向量方向为轴，建立空间直角坐标系．
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
设平面的法向量为，，，
，取，，，可得，
设平面的法向量为，，，
，取，，，可得，
有，，，，
故二面角的余弦值为．
2．（2020·全国）已知三棱柱中，侧面是矩形，是的菱形，且平面平面，，，分别是，，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）在三棱柱中连接，
因为，分别是，的中点，所以，所以平面，
因为是的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）由是矩形，得，因为平面平面，
平面平面，所以平面，
因为四边形是的菱形，所以，
以点为坐标原点，以过点与垂直的直线为轴，以所在直线为轴，以AD所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
可得，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，
又轴平面，所以平面的一个法向量为，
所以.
由图可知，所求二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
3．（2020·全国高三其他（理））如图1，平面四边形中，和均为边长为的等边三角形，现沿将折起，使，如图2.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）取的中点，连接，，
因为和均为边长为的等边三角形，
所以，且，
因为，所以，所以，
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，以，，为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则平面的一个法向量为，
依题意，平面的一个法向量，
所以，
由图可得为锐二面角，
故二面角的余弦值为.
4．（2020·全国）如图1，等腰梯形中，，，为的中点，对角线平分，将沿折起到如图2中的位置.
（1）求证：.
（2）若二面角为直二面角，为线段上的点，且二面角与二面角大小相等，求出的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：连接，，设与交于点，如图1所示.
∵四边形是等腰梯形，，
∴，，
又平分，
∴，∴，
结合为的中点，，易证得四边形为菱形，∴.
如图2，∵，，且，
∴平面，又平面，
∴.
（2）∵二面角为直二面角，，
∴平面，易知，
∴平面，∴二面角为直二面角，
又∵二面角与二面角大小相等，
∴二面角的平面角为，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图3所示的空间直角坐标系，
如图1，在菱形中，易知，∴，.
∴，，，，，，
设，∴，
∴，
易知平面的一个法向量为，
设为平面的法向量，
则，即，取，
则，，得，
∴，解得，满足题意，
故.
【题组四 空间向量求距离】
1．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．
∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.
故点A到直线BE的距离d＝||sinθ＝2×.
故答案为B
2．（2020·全国高二课时练习）在直三棱柱中，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：连接交于点，连接，则点为中点，
又是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为平面，所以到平面的距离就等于点到平面的距离.
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，.
设平面的法向量为，
所以，即，即
令，则.
所求距离为.
3．（2020·全国高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.
（1）求证：B1D⊥平面ABD；
（2）求证：平面EGF∥平面ABD；
（3）求平面EGF与平面ABD的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）证明：如图所示建立空间直角坐标系，
设AB=a，则A1(a，0，0)，B1(0，0，0)，C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，A(a，0，4)，B(0，0，4)，
D(0，2，2)，G.
所以=(0，2，2)，=(-a，0，0)，=(0，2，-2).
所以=0+0+0=0，=0+4-4=0.
所以，
所以B1D⊥AB，B1D⊥BD.
又AB∩BD=B，所以B1D⊥平面ABD.
（2）证明：由（1）可得=(-a，0，0)，=(0，2，-2)，=(0，1，-1)，所以=2=2，所以.
所以GF∥AB，EF∥BD.
又GF∩EF=F，AB∩BD=B，所以平面EGF∥平面ABD.
（3）解：由（1）（2）知，是平面EGF和平面ABD的法向量.
因为平面EGF∥平面ABD，所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离，设为d.
因为=(0，0，3)，=(0，2，2)，
所以d=.即两平面间的距离为.
4．（2020·全国高二课时练习）在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，，分别为，的中点，如图所示.求点到平面的距离.
【答案】
【解析】取的中点，连接，.
∵，，∴，.
∵平面平面，平面平面，
∴平面.
又平面，∴.
如图所示，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，则，，
，，.
∴，，.
设为平面的一个法向量，
则取，
则，，∴.
∴点到平面的距离.
5．（2020·江苏常熟.高二期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且.
（1）求异面直线与所成角余弦的大小；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）连交于，连，
平面，所以，
在中，，
又因为底面是矩形，所以为中点，
，所以，
因为是上一点，且，
所以为中点，，
所以（或补角）就为与所成的角，
因为
所以平面，
，
，
所以异面直线与所成角余弦值为；
（2）解1：过做于，平面，
所以，所以平面，
为点到平面的距离，
在中，，
又是中点，所以点到平面的距离为．
解2：因为，平面，所以，
在中，，所以，
设点到平面的距离为，则，
由，得，所以．
又是中点，所以点到平面的距离为．
解法二：分别以，，所在直线为轴，轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
（1）
则，，，
设，则，
所以，
由，知，
所以，为中点，
所以，，
．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
（2），，
设平面的法向量为，
由，得，
所以，取，得，
所以是平面的一个法向量．
所以点到平面的距离为．
6．（2020·安徽）如图，边长为的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，，为线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为四边形为菱形，所以.
又因为，所以，即为等边三角形.
因为，为线段的中点，所以.
因为，为线段的中点，所以.
又因为，所以平面.
又因为，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）因为平面平面，且，
所以平面.
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，令，则
所以点到平面的距离.
7.（2020·福建）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E在PA线段上，PC平面BDE
（1）请确定点E的位置；并说明理由.
（2）若是等边三角形，， 平面PAD平面ABCD，四棱锥的体积为，求点E到平面PCD的距离.
【答案】（1）点为的中点，理由见解析（2）
【解析】（1）连接AC交BD于M，如图，
当E为AP的中点时， 点M为AC的中点.
∴在中，，平面BDE，
平面BDE. ∴平面BDE.
（2）是等边三角形，，平面平面ABCD，
以AD中点O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过点O作AB的平行线为y轴，
以OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设，四棱锥的体积为，
，解得．
0，，0，，0，，0，，6，．
0，，6，，0，，
设平面PCD的法向量，
则，取，得0，，
到平面PCD的距离．
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人教A版高二数学选择性必修第一册1.4.2空间向量的应用二同步精练(原卷版)
【题组一 空间向量求线线角】
1．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形，将平行四边形沿对角线折起，使平面平面，则直线与所成角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·湖北武汉。月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·绍兴鲁迅中学高二期中）如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
4．（2019·浙江湖州.高二期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·武汉外国语学校高一月考）如图，正三棱锥的侧棱长为3，底面边长为2，则与所成角的余弦值为______.
【题组二 空间向量求线面角】
1．（2020·江苏高二）如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3.
(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；
(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.
2．（2020·沙坪坝.重庆八中）如图，四棱台中，底面是菱形，底面，60°，，是棱的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成线面角的正弦值.
3．（2020·浙江金华.高二期末）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，且平面平面，，分别为线段、的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
4（2020·浙江瓯海.温州中学高二期末）如图，已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，，，点F为线段AP的中点．
（Ⅰ）证明：平面ABC；
（Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值．
5．（2020·甘肃城关.兰大附中）如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，∥，，，，，分别为线段，，的中点．
（1）证明：平面∥平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【题组三 空间向量求二面角】
1．（2020·全国）如图，在四棱锥中，底面为边长为3的正方形，，，平面平面，为的中点，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
2．（2020·全国）已知三棱柱中，侧面是矩形，是的菱形，且平面平面，，，分别是，，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
3．（2020·全国高三其他（理））如图1，平面四边形中，和均为边长为的等边三角形，现沿将折起，使，如图2.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
4．（2020·全国）如图1，等腰梯形中，，，为的中点，对角线平分，将沿折起到如图2中的位置.
（1）求证：.
（2）若二面角为直二面角，为线段上的点，且二面角与二面角大小相等，求出的值.
【题组四 空间向量求距离】
1．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A． B．
C． D．
2．（2020·全国高二课时练习）在直三棱柱中，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线到平面的距离.
3．（2020·全国高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.
（1）求证：B1D⊥平面ABD；
（2）求证：平面EGF∥平面ABD；
（3）求平面EGF与平面ABD的距离.
4．（2020·全国高二课时练习）在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，，分别为，的中点，如图所示.求点到平面的距离.
5．（2020·江苏常熟.高二期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且.
（1）求异面直线与所成角余弦的大小；
（2）求点到平面的距离.
6．（2020·安徽）如图，边长为的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，，为线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
7.（2020·福建）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E在PA线段上，PC平面BDE
（1）请确定点E的位置；并说明理由.
（2）若是等边三角形，， 平面PAD平面ABCD，四棱锥的体积为，求点E到平面PCD的距离.
人教A版高二数学选择性必修第一册1.4.2空间向量的应用二同步精练(解析版)【题组一 空间向量求线线角】
1．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形，将平行四边形沿对角线折起，使平面平面，则直线与所成角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由平面平面，
平面平面，平面
所以平面，又平面
所以，又
所以作轴//,建立空间直角坐标系
如图
设，所以
则
所以
所以
故选：C
2．（2020·湖北武汉。月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，
故选：D
3．（2019·绍兴鲁迅中学高二期中）如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】如图
所以
所以异面直线与所成角的余弦值
故选：A
4．（2019·浙江湖州.高二期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，
则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），
＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，﹣1），
设异面直线AC与B1D所成的角为θ，
则cosθ＝＝0，
∴θ＝.
∴异面直线AC与B1D所成的角为.
故选：D.
5．（2020·武汉外国语学校高一月考）如图，正三棱锥的侧棱长为3，底面边长为2，则与所成角的余弦值为______.
【答案】
【解析】设与的夹角为，则与的夹角也是
则与所成角的余弦值为
故答案为：
【题组二 空间向量求线面角】
1．（2020·江苏高二）如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3.
(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；
(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.
【答案】(1)；(2).
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，易知C(0，0，0)，
A(2，0，0)，D(1，1，0)，E(，，)，P(1，1，3)，
设直线CE与直线PA夹角为，则
整理得；
直线CE与直线PA夹角的余弦值；
(2)设直线PC与平面DEC夹角为，
设平面DEC的法向量为，
因为，
所以有
取，解得，，
即面DEC的一个法向量为，，
.
直线PC与平面DEC夹角的正弦值为.
2．（2020·沙坪坝.重庆八中）如图，四棱台中，底面是菱形，底面，且60°，，是棱的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成线面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为底面，所以
因为底面是菱形，所以
又，所以平面
又由四棱台知，，，，四点共面
所以
（2）如图，设交于点，依题意，且，
，且，
又由已知底面，得底面．
以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图
设交于点，依题意，且，所以
则，，，，
由，得
因为是棱中点，所以
所以，，
设为平面的法向量
则，取，得
设直线与平面所成线面角为，则
所以直线与平面所成线面角的正弦值
3．（2020·浙江金华.高二期末）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，且平面平面，，分别为线段、的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）作于，连接，如图所示：
由平面平面，且平面平面，
得平面，所以.
因为，，，
所以，，
，.
在直角三角形中，可得.
又，为的中点，所以.
（2）以为坐标原点，，为轴，平行的直线为轴建系，
，，，，，
∴，，.
设是平面的一个法向量，
则，取，
设为直线与平面所成角，
所以.
4（2020·浙江瓯海.温州中学高二期末）如图，已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，，，点F为线段AP的中点．
（Ⅰ）证明：平面ABC；
（Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）证明：在中，，，
由余弦定理可得，
因为，
所以，
又，，
所以面ABC．
（Ⅱ）在平面ABC中，过点C作，以C为原点，
，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面PBC的法向量为，
则
取，则，，即，
所以sinα＝，
故直线BF与平面PBC所成角的正弦值．
5．（2020·甘肃城关.兰大附中）如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，∥，，，，，分别为线段，，的中点．
（1）证明：平面∥平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接，设与相交于点，如图，
因为∥，且，，
所以四边形为矩形，
所以为的中点，又因为为的中点，
所以为的中位线，即,
因为平面， 平面，
所以平面，
因为，分别为线段，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，，
所以平面∥平面.
（2）因为底面，平面，平面，
所以，因为，
所以、 、两两互相垂直，
以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
所以，
设平面的法向量为，则
，所以，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【题组三 空间向量求二面角】
1．（2020·全国）如图，在四棱锥中，底面为边长为3的正方形，，，平面平面，为的中点，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）证明：如图，取的中点，连，，
∵，，∴且．
∵，，∴且，
∴四边形为平行四边形，得．
∵平面，平面，∴平面．
（Ⅱ）如图，过点作，垂足为，
在中，，
可得，，
，．
∵，平面平面，平面平面，
∴平面．
如图，以点为原点，与向量同向方向为轴，向量方向为轴，向量方向为轴，建立空间直角坐标系．
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
设平面的法向量为，，，
，取，，，可得，
设平面的法向量为，，，
，取，，，可得，
有，，，，
故二面角的余弦值为．
2．（2020·全国）已知三棱柱中，侧面是矩形，是的菱形，且平面平面，，，分别是，，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）在三棱柱中连接，
因为，分别是，的中点，所以，所以平面，
因为是的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）由是矩形，得，因为平面平面，
平面平面，所以平面，
因为四边形是的菱形，所以，
以点为坐标原点，以过点与垂直的直线为轴，以所在直线为轴，以AD所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
可得，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，
又轴平面，所以平面的一个法向量为，
所以.
由图可知，所求二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
3．（2020·全国高三其他（理））如图1，平面四边形中，和均为边长为的等边三角形，现沿将折起，使，如图2.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）取的中点，连接，，
因为和均为边长为的等边三角形，
所以，且，
因为，所以，所以，
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，以，，为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则平面的一个法向量为，
依题意，平面的一个法向量，
所以，
由图可得为锐二面角，
故二面角的余弦值为.
4．（2020·全国）如图1，等腰梯形中，，，为的中点，对角线平分，将沿折起到如图2中的位置.
（1）求证：.
（2）若二面角为直二面角，为线段上的点，且二面角与二面角大小相等，求出的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：连接，，设与交于点，如图1所示.
∵四边形是等腰梯形，，
∴，，
又平分，
∴，∴，
结合为的中点，，易证得四边形为菱形，∴.
如图2，∵，，且，
∴平面，又平面，
∴.
（2）∵二面角为直二面角，，
∴平面，易知，
∴平面，∴二面角为直二面角，
又∵二面角与二面角大小相等，
∴二面角的平面角为，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图3所示的空间直角坐标系，
如图1，在菱形中，易知，∴，.
∴，，，，，，
设，∴，
∴，
易知平面的一个法向量为，
设为平面的法向量，
则，即，取，
则，，得，
∴，解得，满足题意，
故.
【题组四 空间向量求距离】
1．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．
∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.
故点A到直线BE的距离d＝||sinθ＝2×.
故答案为B
2．（2020·全国高二课时练习）在直三棱柱中，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：连接交于点，连接，则点为中点，
又是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为平面，所以到平面的距离就等于点到平面的距离.
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，.
设平面的法向量为，
所以，即，即
令，则.
所求距离为.
3．（2020·全国高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.
（1）求证：B1D⊥平面ABD；
（2）求证：平面EGF∥平面ABD；
（3）求平面EGF与平面ABD的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）证明：如图所示建立空间直角坐标系，
设AB=a，则A1(a，0，0)，B1(0，0，0)，C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，A(a，0，4)，B(0，0，4)，
D(0，2，2)，G.
所以=(0，2，2)，=(-a，0，0)，=(0，2，-2).
所以=0+0+0=0，=0+4-4=0.
所以，
所以B1D⊥AB，B1D⊥BD.
又AB∩BD=B，所以B1D⊥平面ABD.
（2）证明：由（1）可得=(-a，0，0)，=(0，2，-2)，=(0，1，-1)，所以=2=2，所以.
所以GF∥AB，EF∥BD.
又GF∩EF=F，AB∩BD=B，所以平面EGF∥平面ABD.
（3）解：由（1）（2）知，是平面EGF和平面ABD的法向量.
因为平面EGF∥平面ABD，所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离，设为d.
因为=(0，0，3)，=(0，2，2)，
所以d=.即两平面间的距离为.
4．（2020·全国高二课时练习）在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，，分别为，的中点，如图所示.求点到平面的距离.
【答案】
【解析】取的中点，连接，.
∵，，∴，.
∵平面平面，平面平面，
∴平面.
又平面，∴.
如图所示，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，则，，
，，.
∴，，.
设为平面的一个法向量，
则取，
则，，∴.
∴点到平面的距离.
5．（2020·江苏常熟.高二期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且.
（1）求异面直线与所成角余弦的大小；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）连交于，连，
平面，所以，
在中，，
又因为底面是矩形，所以为中点，
，所以，
因为是上一点，且，
所以为中点，，
所以（或补角）就为与所成的角，
因为
所以平面，
，
，
所以异面直线与所成角余弦值为；
（2）解1：过做于，平面，
所以，所以平面，
为点到平面的距离，
在中，，
又是中点，所以点到平面的距离为．
解2：因为，平面，所以，
在中，，所以，
设点到平面的距离为，则，
由，得，所以．
又是中点，所以点到平面的距离为．
解法二：分别以，，所在直线为轴，轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
（1）
则，，，
设，则，
所以，
由，知，
所以，为中点，
所以，，
．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
（2），，
设平面的法向量为，
由，得，
所以，取，得，
所以是平面的一个法向量．
所以点到平面的距离为．
6．（2020·安徽）如图，边长为的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，，为线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为四边形为菱形，所以.
又因为，所以，即为等边三角形.
因为，为线段的中点，所以.
因为，为线段的中点，所以.
又因为，所以平面.
又因为，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）因为平面平面，且，
所以平面.
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，令，则
所以点到平面的距离.
7.（2020·福建）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E在PA线段上，PC平面BDE
（1）请确定点E的位置；并说明理由.
（2）若是等边三角形，， 平面PAD平面ABCD，四棱锥的体积为，求点E到平面PCD的距离.
【答案】（1）点为的中点，理由见解析（2）
【解析】（1）连接AC交BD于M，如图，
当E为AP的中点时， 点M为AC的中点.
∴在中，，平面BDE，
平面BDE. ∴平面BDE.
（2）是等边三角形，，平面平面ABCD，
以AD中点O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过点O作AB的平行线为y轴，
以OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设，四棱锥的体积为，
，解得．
0，，0，，0，，0，，6，．
0，，6，，0，，
设平面PCD的法向量，
则，取，得0，，
到平面PCD的距离．
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