河北省唐山市开滦第二高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题（含解析）

开滦第二高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考
数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一.单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）
1. 如图所示，从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是
A. 9 B. 24 C. 3 D. 1
2. （1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
3. 设A，B为两个事件，且，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为，第二台出现废品的概率为，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A B. C. D.
6. 在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（ ）
A. B. C. D.
7. 同时抛两枚均匀的硬币次,设两枚硬币出现不同面的次数为,则（ ）
A. B. C. D.
8. 在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A. －1 B. 0 C. D. 1
二.多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求.）
9. 下列关于(a－b)10的说法，正确的是（ ）
A. 展开式中的二项式系数之和是1 024
B. 展开式的第6项的二项式系数最大
C. 展开式的第5项或第7项的二项式系数最大
D. 展开式中第6项的系数最小
10. 从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数应为( )
A. B.
C. D.
11. 设离散型随机变量的分布列如下表：
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3
若离散型随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
12. 为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
选物理 不选物理
数学成绩优异 20 7
数学成绩一般 10 13
由以上数据，计算得到，根据临界值表，以下说法正确的是（ ）
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 有95%把握认为是否选择物理与数学成绩有关
B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关
C. 95%的数学成绩优异的同学选择物理
D. 若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，结论不会发生变化
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 设随机变量的分布列如下表：
1 2 3 4
则等于______．
14. 6名同学到甲 乙 丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有___________.
15. 某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布，且.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为________.
16. 蟋蟀鸣叫的频率x（次/分）与气温y（）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表所示的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程，则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为______．
x（次/分） 20 30 40 50 60
y（） 25 27.5 29 32.5 36
四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.
(1)若每个盒子放一个球,则共有多少种不同的放法
(2)恰有一个空盒的放法共有多少种
18. 已知的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大.
（1）求展开式中第三项系数；
（2）求出展开式中所有有理项(即x指数为整数的项).
19. 甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，求：
（1）乙投篮次数不超过1的概率；
（2）记甲、乙两人投篮次数总和为ξ，求ξ的分布列.
20. 某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立.设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列及数学期望.
21. 某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广告费支出x（单位：万元）和销售量y（单位：万台）的数据如下：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19
销售量y 1.9 3.2 40 4.4 5.2 5.3 5.4
（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程；
（2）若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请用说明选择哪个回归模型更好.
附：
22. 《江苏省高考改革试点方案》规定：从2018年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2021年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．
（1）求物理原始成绩在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．（附：若随机变量，则，，）
开滦第二高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考
数学试卷 答案解析
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一.单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）
1. 如图所示，从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是
A. 9 B. 24 C. 3 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据分步计数原理，直接求解即可.
【详解】根据分步计数原理得，从A地到B地不同走法得种数是种.
故选：B
【点睛】本题考查分步计数原理，属于基础题.
2. （1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】由题意得x3的系数为，故选A．
【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
3. 设A，B为两个事件，且，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用条件概率公式，代入即可求解．
【详解】由题意， ，
根据条件概率的计算公式，可得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，属于基础题.
4. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为，第二台出现废品的概率为，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全概率公式直接计算可得结果.
【详解】设“任意取出一个零件是第台机床生产的”，；“任意取出一个零件是合格品”，
.
故选：C.
5. 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点分布得，与条件联立解得结果.
【详解】因为的分布列服从两点分布，所以，
因为，所以
故选：C
【点睛】本题考查两点分布，考查基本分析求解能力，属基础题.
6. 在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得、的值，可得的值．
【详解】解：因为，是偶数，所以展开式共有7项，其中中间一项的二项式系数最大，
其二项式系数为，含项的系数为，
则，
故选：D．
7. 同时抛两枚均匀的硬币次,设两枚硬币出现不同面的次数为,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析出出现不同面次数符合二项分布，直接套公式即可求解.
【详解】抛一次出现不同面概率为，出现同面概率为，则出现不同面次数符合二项分布.
所以
故选：C
8. 在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A. －1 B. 0 C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1.
【详解】由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线上，
∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.
根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.
二.多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求.）
9. 下列关于(a－b)10的说法，正确的是（ ）
A. 展开式中的二项式系数之和是1 024
B. 展开式的第6项的二项式系数最大
C. 展开式的第5项或第7项的二项式系数最大
D. 展开式中第6项的系数最小
【答案】ABD
【解析】
【分析】由二项式系数的性质可判断ABC，由展开式的通项可判断D.
【详解】对于选项A，由二项式系数的性质知，二项式系数之和为024，故A正确；
对于选项BC，当为偶数时，二项式系数最大项是中间一项，故B正确，C错误；
对于选项D，由展开式的通项，可知第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的，故D正确.
故选：ABD.
10. 从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数应为( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】可以用两种方法求解：①分三类：3男1女，2男2女，1男3女；②用任选4人的方法数减去全部为男生或全部为女生的方法种数.据此几何判断求解.
【详解】(1)分三类：3男1女，2男2女，1男3女，
∴男、女生至少各有1人参加的选法种数为．
(2)任选4人的方法种数为，其中全部为男生或全部为女生的方法种数为，
所以男、女生至少各有1人参加的选法种数为．
故选：BC．
11. 设离散型随机变量的分布列如下表：
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3
若离散型随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先由可得，再由概率和为1得，从而可求出值，再利用期望和方差公式求， 即可，从而可得答案
【详解】由得，又由得，从而得，，故A选项错误，B选项正确；
，故C选项正确；
因为，所以，故D选项错误，
故选：BC．
12. 为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
选物理 不选物理
数学成绩优异 20 7
数学成绩一般 10 13
由以上数据，计算得到，根据临界值表，以下说法正确的是（ ）
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 有95%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关
B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关
C. 95%的数学成绩优异的同学选择物理
D. 若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，结论不会发生变化
【答案】AB
【解析】
【分析】利用题意中和临界值表比较大小，结合卡方的表示意义即可得出结论.
【详解】因为，由临界值表知，，
所以有的把握认为是否选择物理与数学成绩有关；
在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关；
若表中的数据都扩大为原来的10倍，，
又，故结论发生变化.
故选：AB
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 设随机变量的分布列如下表：
1 2 3 4
则等于______．
【答案】
【解析】
分析】结合分布列性质得，进而根据求解.
【详解】解：由所有概率和为1，可得，
所以．
故答案为：
14. 6名同学到甲 乙 丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有___________.
【答案】
【解析】
【分析】由分步乘法计数原理可求出.
【详解】先从6人中选1人去甲场馆，有种，
再从剩下的5人中选2人去乙场馆，有种，
再将剩下的三人安排去丙场馆，有种，
则由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有种.
故答案为：60.
15. 某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布，且.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为________.
【答案】80
【解析】
【分析】根据正态分布对称性进行转化求解即可.
【详解】因为成绩X近似服从正态分布，
所以，
所以，
所以该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为.
故答案为：80
16. 蟋蟀鸣叫的频率x（次/分）与气温y（）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表所示的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程，则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为______．
x（次/分） 20 30 40 50 60
y（） 25 27.5 29 32.5 36
【答案】
【解析】
【分析】计算，，代入回归方程得到，再代入数据计算得到答案.
【详解】，，
故，解得，故，当时，.
故答案为：
四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.
(1)若每个盒子放一个球,则共有多少种不同的放法
(2)恰有一个空盒放法共有多少种
【答案】(1)24;(2)144.
【解析】
【详解】分析：（1）直接把4个球全排列即得共有多少种不同的放法.(2)利用乘法分步原理解答.
详解：(1)每个盒子放一个球,共有=24种不同的放法.
(2)先选后排,分三步完成:
第一步:四个盒子中选一只为空盒,有4种选法;
第二步:选两球为一个元素,有种选法;
第三步:三个元素放入三个盒中,有种放法.
故共有4×6×6=144种放法.
点睛：（1）本题主要考查计数原理和排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用解法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.
18. 已知的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大.
（1）求展开式中第三项系数；
（2）求出展开式中所有有理项(即x的指数为整数的项).
【答案】（1）240；
（2），，.
【解析】
【分析】（1）根据二项式系数的性质可知n＝6，求出展开式通项，令r＝2可求第三项系数；
（2）根据展开式通项，当r＝0，3，6时为有理项，代入计算即可.
【小问1详解】
由题可知，，
则二项展开式通项为，
展开式中第三项系数为：；
【小问2详解】
展开式中有理项为时，
即，
，
.
19. 甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，求：
（1）乙投篮次数不超过1的概率；
（2）记甲、乙两人投篮次数总和为ξ，求ξ的分布列.
【答案】（1）
（2）分布列见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意将事件分为三类情况，根据概率乘法公式进行计算即可.
（2）根据题意得到投篮次数总和ξ的值为1，2，3，4，根据题意算出各个概率的值进而列出分布列.
【小问1详解】
记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B.
“乙投篮次数不超过1”包括三种情况：
第一种是甲第1次投篮投中，
第二种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，
第三种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中.
故所求的概率
.
所以乙投篮次数不超过1的概率为
【小问2详解】
甲、乙投篮次数总和ξ的值为1，2，3，4，
，
，
，
.
所以甲、乙投篮次数总和ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
20. 某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立.设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】X的分布列见解析，数学期望为人
【解析】
【分析】根据已知条件转化为二项分布，结合相关知识求分布列和期望即可.
【详解】由已知得，每位参加保险人员选择A社区的概率为，
4名人员选择A社区即4次独立重复试验，
即，X的可能取值为0,1,2,3,4，
所以，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
（人），
即X数学期望为人
21. 某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广告费支出x（单位：万元）和销售量y（单位：万台）的数据如下：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19
销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4
（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程；
（2）若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请用说明选择哪个回归模型更好.
附：
【答案】（1）
（2）更好
【解析】
【分析】（1）根据线性回归方程相关基本量直接计算即可；
（2）根据反映的残差平方和与拟合效果关系进行判断.
【小问1详解】
由题意得，，
，
，
，
所以，
所以，
所以y关于x的线性回归方程为
【小问2详解】
因为，且越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，
所以选用更好.
22. 《江苏省高考改革试点方案》规定：从2018年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2021年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．
（1）求物理原始成绩在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．（附：若随机变量，则，，）
【答案】（1）人；（2）分布列见解析，数学期望为．
【解析】
【分析】（1）利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，注意结合正态曲线的对称性．
（2）判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．
【详解】（1）∵物理原始成绩，
∴．
∴物理原始成绩在(47,86)的人数为（人）．
（2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．
∴随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，
∴ ；；；．
则的分布列为
0 1 2 3
数学期望．