4.2 对数与对数函数——2023-2024学年高一数学人教B版（2019）必修第二册课时分层练（含解析）

4.2 对数与对数函数——2023-2024学年高一数学人教B版（2019）必修第二册课时分层练
【夯实基础】
知识点1 对数运算
1.设，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，.设，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则等于( ).
A.2 B.1 C. D.
知识点2 对数运算法则
4.若，则的值为( )
A.15 B.20 C.25 D.30
5.已知.设,则( )
A. B. C. D.
6.，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
知识点3 对数函数的性质与图像
7.若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
9.已知，，且，若，则与在同一坐标系内的图像可能是( )
A. B.
C. D.
【提升能力】
10.（多选）已知实数a，b，c满足，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
11.（多选）在同一直角坐标系下，函数与的大致图像如图所示，则实数a的可能值为( )
A. B. C. D.
12.若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______.
13.若函数在区间的最大值与最小值之和为1，则___________.
【核心素养】
14.已知函数(，).
（1）当时，求函数的定义域；
（2）当时，求关于x的不等式的解集；
（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围.
15.已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若，判断函数的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解关于x的不等式.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由对数的运算性质，得，，所以，故.因为，所以，于是.故选C.
2.答案：A
解析：由，
而，，
即；，，，，
，，，，
综上，.
故选：A.
3.答案：A
解析：由题意可知，，即，，则，，所以.故选A.
4.答案：D
解析：，，.
5.答案：A
解析：因为,所以,所以,即.因为,所以,所以,即.又,所以,所以,所以,所以,而,所以,所以,所以,所以.
6.答案：B
解析：由题意得，，.
，
，
，，，故选B.
7.答案：B
解析：由题意可得，要使函数的定义域为R，则对任意的实数x都有，故有解得或，即实数a的取值范围为.故选B.
8.答案：B
解析：，，，函数的值域是，故选B.
9.答案：C
解析：由指数函数和对数函数的单调性知，函数与，且在上的单调性相同，可排除B，D.再由关系式可排除A，故选C.
10.答案：BCD
解析：由题，当，时，，故A错误；因为，，所以，则，所以，故B正确；因为，所以，因为函数为减函数，所以结合可得，故C正确；原不等式等价于，即，因为，，所以，故D正确.
11.答案：BC
解析：由图像可知且.
，故A错误.
，故B正确.
，故C正确.
，故D错误.
综上，选BC.
12.答案：
解析：函数在区间上是增函数，函数在区间上为正值，且是增函数，，且Error! Digit expected.，解得 ，故答案为：.
13.答案：
解析：本题考查对数函数的单调性.因为，所以为递减函数，最大值为，最小值为，由题意得，解得.
14、（1）答案：
解析：当时，，
故：，解得：，
故函数的定义域为；
（2）答案：
解析：由题意知，()，定义域为，
用定义法易知为上的增函数，
由，知：，.
（3）答案：
解析：设，，
设，，
故，，
故：，
又对任意实数恒成立，
故：.
15.答案：（1）由题意知，解得，
则函数的定义域为.
（2），，，
，函数在上单调递增.证明如下：
任取，，且，
则.
，，，
，，即，在上单调递增.
（3），即，即.
当时，解得；
当时，解得.
综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.