4.3 指数函数与对数函数的关系——2023-2024学年高一数学人教B版（2019）必修第二册课时分层练（含解析）

4.3 指数函数与对数函数的关系——2023-2024学年高一数学人教B版（2019）必修第二册课时分层练
【夯实基础】
1.设，函数，使的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.函数与的图象( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线对称
3.已知函数,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.设函数若，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
【提升能力】
8.（多选）若，，则( )
A. B. C. D.
9. （多选）若定义域为的函数同时满足以下三个条件：
（i）对任意的，总有；
（ii）；
（iii）若，，，则有，
就称为“A函数”.下列定义在上的函数中，是“A函数”的有( )
A. B.
C. D.
10. （多选）已知函数,下列说法正确的是( )
A.函数为偶函数
B.若,其中,则
C.函数在上单调递增
D.若,则
11.若函数为偶函数，则实数__________.
12.已知函数,则___________________.
13.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量.则当燕子静止时的耗氧量是________个单位.
【核心素养】
14.已知集合，集合.若，求实数a的取值范围.
15.已知函数.
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)求证：；
(3)已知，且，，求，的值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：.
，，即.
又，，
因此，
由得.故选C.
2.答案：C
解析：令，则.
与的图象关于原点对称，
与的图象关于原点对称.
故选C.
3.答案：C
解析：由题意知,函数,其定义域为,且,所以为奇函数.因为和都是增函数,所以是增函数.由,得,所以,所以.故选C.
4.答案：B
解析：，所以，所以.
5.答案：C
解析：当时，由得；当时，由得，即.所以0或，故选C.
6.答案：D
解析：当时，，解得，所以此时a的取值范围为；当时，，解得，所以此时a的取值范围为.综上，实数a的取值范围是.故选D.
7.答案：A
解析：因为，所以.
设，
因为函数和分别是定义域上的增函数与减函数，
所以在R上为增函数.
由得，
所以，所以，故选A.
8.答案：AC
解析：选项A中，因为，所以为单调递减函数，由得，故A正确；
选项B中，因为，所以为单调递减函数，由，得，故B错误；
选项C中，因为，，所以，所以，故C正确；
选项D中，取，，则，故D错误.故选AC.
9.答案：CD
解析：选项A中，，故不是“A函数”.选项B中，若，，，则，不满足（iii），故不是“A函数”.选项C中，显然满足（i）（ii），又，所以是“A函数”.选项D中，显然满足（i）（ii），因为，，所以，又，，所以，，从而，因此，是“A函数”.故选CD.
10.答案：ABD
解析：对于A,,所以函数为偶函数,故A正确;
对于B,若,其中,则,即,得,故B正确;
对于C,函数,由,解得,所以函数的定义域为,因此在上不具有单调性,故C错误;
对于D,因为,所以,所以,故,故D正确.故选ABD.
11.答案：-2
解析：因为函数为偶函数，
所以，即，
整理得，即，解得.
12.答案：
解析：设,因为,所以为奇函数.因为,所以,所以.
13.答案：10
解析：若燕子静止，则，所以.
14.答案：
解析：据题，，得，解得，所以.
由得，
令，解得，.
①当，即时，，
此时条件，结合，得，即，
再结合，；
②当，即时，此时，满足条件；
③当，即时，，
此时条件，结合，得，即，
再结合，.
综上所述.
15.答案：(1)是奇函数.理由见解析
(2)见解析
(3)，
解析：(1)是奇函数.证明如下：
易知的定义域为，关于原点对称.
，
，
，是奇函数.
(2)，
，
.
(3)，
，，
.
，，
解得，.