4.6 函数的应用(二)——2023-2024学年高一数学人教B版（2019）必修第二册课时分层练（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.6 函数的应用(二)——2023-2024学年高一数学人教B版（2019）必修第二册课时分层练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 293.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-27 11:48:44 | ||
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文档简介
4.6 函数的应用(二)——2023-2024学年高一数学人教B版（2019）必修第二册课时分层练
【夯实基础】
1.一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为(，，)，，该函数也可以简化为(，，)的形式.已知描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1m，经过一年，该果树的高为2.5m，则该果树的高度超过8m，至少需要( )
A.4年 B.3年 C.5年 D.2年
2.螃蟹素有“一盘蟹，顶桌菜”的民谚，它不但味美，且营养丰富，是一种高蛋白的补品，假设某池塘里的螃蟹繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为，假设该池塘第一年繁殖数量有200只，则第3年它们繁殖数量为( )
A.400 B.600 C.800 D.1600
3.2021年诺贝尔物理学奖揭晓，获奖科学家真锅淑郎(Syukuro Manabe)、克劳斯·哈塞尔曼(Klaus Hasselmann)的杰出贡献之一是建立了地球气候物理模型，该模型能够可靠地预测全球变暖情况.研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显的影响：当大气中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5℃.若到2050年，预测大气中二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约(参考数据：)( )
A.1℃ B.2℃ C.3℃ D.4℃
4.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为.新丸经过50天后，体积变为.若一个新丸体积变为，则需经过的天数为( )
A.75 B.100 C.125 D.150
5.体育运动是增强体质的最积极有效的方法，经常进行体育运动能增强身体机能，提高抗病能力.对于14~18岁的青少年，每天进行中等强度的运动有助于提高睡眠质量，使第二天精神充足，学习效率更高.是否达到中等强度运动，简单测量方法为，其中t为运动后心率(单位:次/分)与正常时心率的比值，a为每个个体的体质健康系数.若介于25~28之间，则达到了中等强度运动;若低于25，则运动不足;若高于28，则运动过量.已知某同学正常时心率为78，体质健康系数，他经过慢跑后心率(单位:次/分)满足，x为慢跑里程(单位:米).已知学校运动场每圈400米，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的慢跑圈数为( )(e为自然对数的底数，)
A.3 B.4 C.5 D.6
6.碳十四断代法(Carbon-14 dating)，又称“碳-14年代测定法”或“放射性碳定年法(Radiocarbon dating)”，是根据碳l4的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法，这一原理通常用来测定古生物化石的年代，碳14的半衰期(消耗一半所花费的时间)约为5730年.今有考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的剩余量约为初始的量的32%，以此推算出该文物距今约为(参考数据：，)( )
A.3287年 B.3187年 C.3087年 D.2987年
7.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%的新鲜度（已知，结果取整数）( )
A.23天 B.33天 C.43天 D.50天
【提升能力】
8. （多选）如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化的过程中某种有害物质的剩余量y与净化时间t（月）之间满足的函数关系：（，，）的图象.若有害物质的初始量为1，则以下说法中正确的是( )
A.第4个月时，剩余量就会低于
B.每月减少的有害物质的量都相等
C.有害物质每月的衰减率为
D.当剩余量为，，时，所经过的时间分别是，，，则
9. （多选）下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中错误的有( )
A.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越快
B.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢
C.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢
D.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快
10. （多选）已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年(按365天计算)是每73天翻一番，则下列说法正确的是( )
A.2006年底人类知识总量是2a B.2009年底人类知识总量是8a
C.2019年底人类知识总量是 D.2020年底人类知识总量是
11.土壤沙化危害严重，影响深远，因沙漠化每年给我国造成的直接经济损失达540亿元，而间接经济损失更是直接经济损失的2～3倍，甚至10倍以上，若某一块绿地，每经过一年，沙漠吞噬其绿地面积的，经过x年，该绿地被沙漠吞噬了原来面积的，则x为__________.
12.某种干细胞在培养过程中，每30分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种干细胞由1个培养成1024个需经过________小时.
13.某医用放射性物质原来的质量为a，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用的时间是10年.已知到今年为止，剩余的质量为原来的，则该放射物质已经衰减了__________年.
【核心素养】
14.某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系为（式中的e为自然对数的底数，为污染物的初始含量）.过滤1小时后检测，发现污染物的含量减少了.
（1）求函数关系式；
（2）要使污染物的含量不超过初始值的，至少需过滤几个小时？（参考数据：）
15.一片矿山原来的体积为a，计划每年开采一些矿石，且每年开矿体积的百分比相等，当开采到原体积的一半时所需要的时间是12年，为保护生态环境，造福下一代，矿山至少要保留原体积的，已知到今年为止，矿山剩余为原来的.
（1）求每年开采矿山的百分比.
（2）到今年为止，该矿山已开采了多少年？
（3）今后最多还能开采多少年？
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题可得则解得，，所以，由函数解析式可知，在上单调递增，且，，故该果树的高度超过8m，至少需要4年.故选A.
2.答案：C
解析：本题考查指数函数模型的应用.由题意得，，，则第3年数量.
3.答案：C
解析：设目前大气中二氧化碳的含量为a.由题意，知当二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升0.5℃，当二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升℃……
当大气中二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升℃.
令，即，方程两边同时取常用对数，则，所以到2050年，地球平均4温度将上升约(℃).
故选C.
4.答案：A
解析：由题意，得，解得.令，即，则，即需经过的天数为75.
5.答案：B
解析：本题考查对新定义的函数解析式的理解和运算，指数、对数运算.由题意设跑了圈，则,,则,则,故选B.
6.答案：B
解析：设该文物距今x年，剩余量占初始量的比重为y，
则，由题知，而，
，，
以此推算出该文物距今约为3187年，故选B.
7.答案：B
解析：本题考查指数型函数模型的实际应用.由题意可得故，故，令，则，即，故，故选B.
8.答案：ACD
解析：根据图象过点，可知，，
解得或（舍去），
函数关系是.
令，得，故A正确；
当时，，减少了，当时，，减少了，每月减少的有害物质的量不相等，故B不正确；
因为，所以有害物质每月的衰减率为，故C正确；
分别令，，，解得，，，则，故D正确.
故选ACD.
9.答案：ABD
解析：在平面直角坐标系中画出与图象如下图所示，由图象可判断出衰减情况为衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢.
10.答案：BCD
解析：2006年底人类知识总量为，故A错误；2009年底人类知识总量为，故B正确；2019年底人类知识总量为，故C正确；2020年底人类知识总量为，故D正确.故选BCD.
11.答案：3
解析：本题考查指数函数在生活中的应用.先求绿地剩余面积y随时间x（年）变化的函数关系式，设绿地最初的面积为1，则经过1年，，经过2年，，…，那么经过x年，则.依题意得，解得.
12.答案：5
解析：本题考查指数函数的应用.干细胞分裂一次时有2个细胞，分裂2次时变为个细胞，分裂n次时变为个细胞，，所以分裂10次，每小时分裂2次，所以需要5小时.
13.答案：5
解析：设衰减的百分比为x，，由题意知，，解得，设经过m年剩余的质量为原来的，则，即，解得.
14.答案：（1）根据题意，得，
，.
（2）由，得，两边取对数并整理得，.
因此，至少需过滤30个小时.
15.答案：（1）
（2）到今年为止，已开采了6年
（3）今后最多还能开采18年
解析：（1）设每年开采体积的百分比为x()，则，解得.
（2）设经过m年剩余体积为原来的，
则，即，解得，
故到今年为止，已开采了6年.
（3）设从今年开始，再开采n年，则n年后剩余体积为.
令，即，，解得，
故今后最多还能开采18年.
【夯实基础】
1.一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为(，，)，，该函数也可以简化为(，，)的形式.已知描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1m，经过一年，该果树的高为2.5m，则该果树的高度超过8m，至少需要( )
A.4年 B.3年 C.5年 D.2年
2.螃蟹素有“一盘蟹，顶桌菜”的民谚，它不但味美，且营养丰富，是一种高蛋白的补品，假设某池塘里的螃蟹繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为，假设该池塘第一年繁殖数量有200只，则第3年它们繁殖数量为( )
A.400 B.600 C.800 D.1600
3.2021年诺贝尔物理学奖揭晓，获奖科学家真锅淑郎(Syukuro Manabe)、克劳斯·哈塞尔曼(Klaus Hasselmann)的杰出贡献之一是建立了地球气候物理模型，该模型能够可靠地预测全球变暖情况.研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显的影响：当大气中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5℃.若到2050年，预测大气中二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约(参考数据：)( )
A.1℃ B.2℃ C.3℃ D.4℃
4.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为.新丸经过50天后，体积变为.若一个新丸体积变为，则需经过的天数为( )
A.75 B.100 C.125 D.150
5.体育运动是增强体质的最积极有效的方法，经常进行体育运动能增强身体机能，提高抗病能力.对于14~18岁的青少年，每天进行中等强度的运动有助于提高睡眠质量，使第二天精神充足，学习效率更高.是否达到中等强度运动，简单测量方法为，其中t为运动后心率(单位:次/分)与正常时心率的比值，a为每个个体的体质健康系数.若介于25~28之间，则达到了中等强度运动;若低于25，则运动不足;若高于28，则运动过量.已知某同学正常时心率为78，体质健康系数，他经过慢跑后心率(单位:次/分)满足，x为慢跑里程(单位:米).已知学校运动场每圈400米，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的慢跑圈数为( )(e为自然对数的底数，)
A.3 B.4 C.5 D.6
6.碳十四断代法(Carbon-14 dating)，又称“碳-14年代测定法”或“放射性碳定年法(Radiocarbon dating)”，是根据碳l4的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法，这一原理通常用来测定古生物化石的年代，碳14的半衰期(消耗一半所花费的时间)约为5730年.今有考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的剩余量约为初始的量的32%，以此推算出该文物距今约为(参考数据：，)( )
A.3287年 B.3187年 C.3087年 D.2987年
7.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%的新鲜度（已知，结果取整数）( )
A.23天 B.33天 C.43天 D.50天
【提升能力】
8. （多选）如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化的过程中某种有害物质的剩余量y与净化时间t（月）之间满足的函数关系：（，，）的图象.若有害物质的初始量为1，则以下说法中正确的是( )
A.第4个月时，剩余量就会低于
B.每月减少的有害物质的量都相等
C.有害物质每月的衰减率为
D.当剩余量为，，时，所经过的时间分别是，，，则
9. （多选）下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中错误的有( )
A.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越快
B.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢
C.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢
D.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快
10. （多选）已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年(按365天计算)是每73天翻一番，则下列说法正确的是( )
A.2006年底人类知识总量是2a B.2009年底人类知识总量是8a
C.2019年底人类知识总量是 D.2020年底人类知识总量是
11.土壤沙化危害严重，影响深远，因沙漠化每年给我国造成的直接经济损失达540亿元，而间接经济损失更是直接经济损失的2～3倍，甚至10倍以上，若某一块绿地，每经过一年，沙漠吞噬其绿地面积的，经过x年，该绿地被沙漠吞噬了原来面积的，则x为__________.
12.某种干细胞在培养过程中，每30分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种干细胞由1个培养成1024个需经过________小时.
13.某医用放射性物质原来的质量为a，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用的时间是10年.已知到今年为止，剩余的质量为原来的，则该放射物质已经衰减了__________年.
【核心素养】
14.某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系为（式中的e为自然对数的底数，为污染物的初始含量）.过滤1小时后检测，发现污染物的含量减少了.
（1）求函数关系式；
（2）要使污染物的含量不超过初始值的，至少需过滤几个小时？（参考数据：）
15.一片矿山原来的体积为a，计划每年开采一些矿石，且每年开矿体积的百分比相等，当开采到原体积的一半时所需要的时间是12年，为保护生态环境，造福下一代，矿山至少要保留原体积的，已知到今年为止，矿山剩余为原来的.
（1）求每年开采矿山的百分比.
（2）到今年为止，该矿山已开采了多少年？
（3）今后最多还能开采多少年？
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题可得则解得，，所以，由函数解析式可知，在上单调递增，且，，故该果树的高度超过8m，至少需要4年.故选A.
2.答案：C
解析：本题考查指数函数模型的应用.由题意得，，，则第3年数量.
3.答案：C
解析：设目前大气中二氧化碳的含量为a.由题意，知当二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升0.5℃，当二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升℃……
当大气中二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升℃.
令，即，方程两边同时取常用对数，则，所以到2050年，地球平均4温度将上升约(℃).
故选C.
4.答案：A
解析：由题意，得，解得.令，即，则，即需经过的天数为75.
5.答案：B
解析：本题考查对新定义的函数解析式的理解和运算，指数、对数运算.由题意设跑了圈，则,,则,则,故选B.
6.答案：B
解析：设该文物距今x年，剩余量占初始量的比重为y，
则，由题知，而，
，，
以此推算出该文物距今约为3187年，故选B.
7.答案：B
解析：本题考查指数型函数模型的实际应用.由题意可得故，故，令，则，即，故，故选B.
8.答案：ACD
解析：根据图象过点，可知，，
解得或（舍去），
函数关系是.
令，得，故A正确；
当时，，减少了，当时，，减少了，每月减少的有害物质的量不相等，故B不正确；
因为，所以有害物质每月的衰减率为，故C正确；
分别令，，，解得，，，则，故D正确.
故选ACD.
9.答案：ABD
解析：在平面直角坐标系中画出与图象如下图所示，由图象可判断出衰减情况为衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢.
10.答案：BCD
解析：2006年底人类知识总量为，故A错误；2009年底人类知识总量为，故B正确；2019年底人类知识总量为，故C正确；2020年底人类知识总量为，故D正确.故选BCD.
11.答案：3
解析：本题考查指数函数在生活中的应用.先求绿地剩余面积y随时间x（年）变化的函数关系式，设绿地最初的面积为1，则经过1年，，经过2年，，…，那么经过x年，则.依题意得，解得.
12.答案：5
解析：本题考查指数函数的应用.干细胞分裂一次时有2个细胞，分裂2次时变为个细胞，分裂n次时变为个细胞，，所以分裂10次，每小时分裂2次，所以需要5小时.
13.答案：5
解析：设衰减的百分比为x，，由题意知，，解得，设经过m年剩余的质量为原来的，则，即，解得.
14.答案：（1）根据题意，得，
，.
（2）由，得，两边取对数并整理得，.
因此，至少需过滤30个小时.
15.答案：（1）
（2）到今年为止，已开采了6年
（3）今后最多还能开采18年
解析：（1）设每年开采体积的百分比为x()，则，解得.
（2）设经过m年剩余体积为原来的，
则，即，解得，
故到今年为止，已开采了6年.
（3）设从今年开始，再开采n年，则n年后剩余体积为.
令，即，，解得，
故今后最多还能开采18年.