4.1 条件概率与事件的独立性——2023-2024学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册课时分层练（含解析）

4.1 条件概率与事件的独立性——2023-2024学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册课时分层练
【夯实基础】
知识点1 条件概率
1.如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、、正常工作的概率依次是、、，已知在系统正常工作的前提下，求只有K和正常工作的概率是( )
A. B. C. D.
2.设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4、0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7、0.9，则甲正点到达目的地的概率为( )
A.0.78 B.0.8 C.0.82 D.0.84
3.盒子里有1个红球与n个白球，随机取球，每次取1个球，取后放回，共取2次.若至少有一次取到红球的条件下，两次取到的都是红球的概率为，则( )
A.3 B.4 C.6 D.8
知识点2 乘法公式与全概率公式
4.设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为( )
A. B. C. D.
5.某地区居民的肝癌发病率为0.1%，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的.已知患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果0.1%呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是( )
A.0.999 B.0.9 C.0.5 D.0.1
6.已知，，，则( )
A. B. C.0.33 D.0.1
知识点3 独立性与条件概率的关系
7.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A. B. C. D.
8.掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为( )
A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等
9.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且.记该棋手连胜两盘的概率为p，则( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【提升能力】
10.（多选）将甲 乙 丙 丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则( )
A.事件A与B相互独立 B.事件A与C不相互独立
C. D.
11. （多选）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示从甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列说法正确的是( )
A. B. 事件B与事件相互独立
C.事件B与事件相互独立 D.，互斥
12.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队贏得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是____________.
13.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为__________.
【核心素养】
14.甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求:
(1)两个人都译出密码的概率.
(2)两个人都译不出密码的概率.
(3)恰有1个人译出密码的概率.
15.甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率.
(2)2人中恰有1人射中目标的概率.
(3)2人至少有1人射中目标的概率.
(4)2人至多有1人射中目标的概率.
答案以及解析
1.答案：C
解析：设事件A为系统正常工作，事件B为只有K和正常工作，
因为并联元件、能正常工作的概率为，
所以，
又因为，
所以，故选C.
2.答案：C
解析：设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘动车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，
由题意知，，，.
由全概率公式得
.
故选：C.
3.答案：B
解析：设事件A为至少有一次取到红球，事件B为两次都取到红球，由每次取后放回知
，
两次都取到白球的概率为，
故，
，故.
故选：B.
4.答案：B
解析：设，分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
甲厂生产该芯片的次品率为p，
则，，，，
则由全概率公式得：，解得，
故选：B.
5.答案：C
解析：记事件A：某人患肝癌，事件B：化验结果呈阳性，
由题意可知，，，
所以，，
现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是
.
故选：C.
6.答案：A
解析：由全概率公式可得：，
可得，解得：.
故选：A.
7.答案：D
解析：根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没获得或甲没获得乙获得，则所求概率是，故选D
8.答案：C
解析：因为A，B中有相同的样本点，如，故选项A、B错误；因为A中含有B中没有的样本点，如，故选项D错误；
因为，，，所以，故选项C.正确.
9.答案：D
解析：A选项，已知棋，手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等所以P受比赛次序影响，故A错误；设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为棋手在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为，，
同理可得，，，，，最大，即棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率最大.故选：D.
10.答案：BD
解析：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，
事件A含有的基本事件数为，则，同理，
事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则，
对于A，，即事件A与B相互不独立，A不正确；
对于B，，即事件A与C相互不独立，B正确；
对于C，，C不正确；
对于D，，D正确.
故选：BD.
11.答案：AD
解析：根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：
因此，，，故A正确；
又，，故B错误；同理，C错误；
显然，不可能同时发生，故，互斥，故D正确.故选AD.
12.答案：0.18
解析：记事件M为甲队以4：1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以.
13.答案：
解析：设此队员每次罚球的命中率为p，则，所以.
14.答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，
A，B为相互独立事件，且.
2个人都译出密码的概率为.
(2)两个人都译不出密码的概率为.
(3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为
.
15.答案：(1)概率为0.72
(2)概率为0.26
(3)概率为0.98
(4)概率为0.28
解析：(1)设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，
则A与B，与B，A与，与为相互独立事件.
2人都射中目标的概率为.
(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲射中、乙未射中
(事件发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件发生).
根据题意，事件与互斥，
根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，
所求的概率为.
(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，
其概率为.
(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，
故所求概率为
.