4.1 数列的概念——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册课时分层练（含解析）

4.1 数列的概念
——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）
选择性必修第二册课时分层练
【夯实基础】
知识点1 数列的概念及表示
1.已知数列的通项公式为，那么是这个数列的( ).
A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
2.数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为( ).
A. B. C. D.
知识点2 数列的通项公式
3.已知数列，，若此数列是递增数列，则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
4.已知数列是一个递增数列，满足，，，则( ).
A.4 B.6 C.7 D.8
知识点3 数列的递推公式
5.在数列中，，，则( ).
A. B. C. D.
6.已知数列对于任意，都有，若，则__________.
知识点4 数列的前n项和公式
7.已知数列满足(，)，，是的前n项和，则( ).
A. B. C.6 D.10
8.已知数列的前n项和，且，则___________.
【提升能力】
9.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A.-1，-2，-3，-4，… B.-1，，，，…
C.-1，-2，-4，-8， … D.1，，，，…，
10.数列的通项公式为.若数列单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
11.已知数列，，，3，，，则是这个数列的( )
A.第12项 B.第13项 C.第24项 D.第25项
12.在数列中，，，则的值为( ).
A. B.5 C. D.以上都不对
13.（多选）下列命题中正确的是( ).
A.数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列
B.数列1，2，4，7，…的一个通项公式是
C.数列0，1，0，1，…没有通项公式
D.设数列，，其中a，b，c均为正数，则此数列为递增数列
14.（多选）已知数列1，0，1，0，1，0，…，则这个数列的通项公式可能是( ).
A. B.
C. D.
15.用火柴棒按下图的方法搭三角形.
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒根数与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是___________.
16.已知数列的通项公式为，且为严格单调递增数列，则实数的取值范围是________________.
【综合素养】
17.数列中，已知，，若，则数列的前6项和为___________.
18.已知数列的前n项和为.
（1）当取最小值时，求n的值；
（2）求出的通项公式.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由，解得.
2.答案：C
解析：原数列可变形为，，，，…，即，，，，…，故通项公式为.故选C.
3.答案：A
解析：由对称轴为，解得.或对任意成立，得.
4.答案：B
解析：用特殊值法，显然.
若，则又有，矛盾；
若，则，，，
因为是一个递增数列，所以；
若，则，矛盾.
综上，.
5.答案：A
解析：令，则为常数数列，，所以.
6.答案：4
解析：令，则，所以，故.
7.答案：A
解析：因为，所以，故.
8.答案：
解析：因为，所以，则.
当时，，不符合上式，所以
9.答案：B
解析：对于A，数列-1，-2，-3，-4，…是递减数列，故A不符合题意；对于B，数列-1，，，，…是递增数列，也是无穷数列，故B符合题意；对于C，数列-1，-2，-4，-8，…是递减数列，故C不符合题意；对于D，此数列不是无穷数列，故D不符合题意.故选B.
10.答案：C
解析：由数列单调递增，可得，即，整理得，即恒成立.因为在时的最小值为2，所以.故选C.
11.答案：D
解析：根据题意，由，得，故是这个数列的第25项.
故选：D.
12.答案：A
解析：在数列中，，，则，，，故数列是周期为3的周期数列.因为，所以.故选A.
13.答案：BD
解析：A，C显然错误，B显然正确.对于D，由题意知，正确.
14.答案：BC
解析：对于A，，取前六项得0，1，0，1，0，1，不满足条件；
对于B，，取前六项得1，0，1，0，1，0，满足条件；
对于C，，取前六项得1，0，1，0，1，0，满足条件；
对于D，，取前三项得1，0，-1，不满足条件.故选BC.
15.答案：
解析：由，，可得.
16.答案：
解析：由数列是严格单调递增数列，
得，
即，
即恒成立，
又数列是单调递增数列，
所以当时，取得最小值，最小值为3，所以.
17.答案：32
解析：因为数列中，，，，所以，，，，，，解得，则数列的前6项和为.
18、（1）答案：或
解析：，
因为，所以当或时，取最小值.
（2）答案：
解析：当时，.
当时，.
验证得当时，满足上式，所以.