4.2 等差数列——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册课时分层练（含解析）

4.2 等差数列
——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）
选择性必修第二册课时分层练
【夯实基础】
知识点1 等差数列
1.已知在数列中，，，若数列为等差数列，则等于( ).
A.0 B. C. D.-1
2.数列为等差数列，，，则通项公式是( ).
A. B. C. D.
3.在等差数列中，，，则( ).
A.12 B.22 C.24 D.34
4.在数列中，已知，，若为等差数列，则____________.
知识点2 等差数列的前n项和
5.设等差数列的前n项和为，且，则( ).
A.45 B.50 C.60 D.80
6.已知等差数列，其前n项的和为，，则( ).
A.24 B.36 C.48 D.64
7.已知等差数列的前n项和为，，，则( )
A.55 B.60 C.65 D.75
8.记为等差数列的前n项和.若，则公差_______.
【提升能力】
9.若是等差数列，则，，，…，构成的数列( ).
A.一定不是等差数列 B.一定是递增数列
C.一定是等差数列 D.一定是递减数列
10.已知等差数列，是其前n项和，若，则( ).
A.15 B.18 C.9 D.12
11.在等差数列中，若公差，，则等于( ).
A.62 B.64 C.84 D.100
12.若是公差不为0的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于( ).
A.-10 B.-5 C.0 D.5
13.（多选）记是等差数列的前n项和，公差为d，若，，则下列结论中正确的是( ).
A. B. C. D.
14.（多选）设数列是等差数列，公差为d，是其前n项和，且，则( ).
A. B.
C.或为的最大值 D.
15.在等差数列中，若，，则__________.
16.已知是等差数列的前n项和，，，则使成立的n的最小值为_________.
【综合素养】
17.记为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求m.
18.在数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，是否存在正整数k，使得对任意，恒成立 若存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，所以，又，所以.
2.答案：C
解析：因为数列为等差数列，，，则公差为，因此通项公式为.
故选C.
3.答案：B
解析：设数列的公差为d，则，故.故选B.
4.答案：
解析：由已知得，是等差数列的第3项和第7项，其公差，由此可得，解得.
5.答案：C
解析：因为是等差数列，，所以，即，则.故选C.
6.答案：B
解析：由等差数列的性质可得，则，故.故选B.
7.答案：C
解析：设等差数列的公差为d.
，
，
解得，则，故选C.
8.答案：2
解析：因为，所以，化简得，得.
9.答案：C
解析：所求数列为等差数列，公差为9d，d为的公差.
10.答案：D
解析：因为，所以，得，故.
11.答案：C
解析：因为，得，所以.
12.答案：C
解析：由题意，得，
从而，
即.
又因为，所以，
则该数列的前10项和.
13.答案：AC
解析：由题意知解得
14.答案：BC
解析：B：由得，即，又，则，即，所以B正确.
A，C：由得，又，则，所以数列是单调递减的等差数列，故则或为的最大值，所以A错误，C正确.
D：因为，所以，所以D错误.故选BC.
15.答案：17
解析：，则.
16.答案：5
解析：设等差数列的公差为，由题知
解得，，，由，解得，.
17.（1）答案：
解析：设等差数列的公差为d，
则解得，，
则.
（2）答案：
解析：由（1）得，
整理得，又，解得.
18.答案：(1)证明见解析
(2)存在，1
解析：(1)因为，所以.
因为，所以，故数列是首项为1、公差为2的等差数列.
(2)由(1)得，则.
因为，所以，
则
，
即，得数列是递减数列.
故要使恒成立，只需，
因为，所以，解得，
故存在最小正整数，使得对任意，恒成立.