河北省唐山市开滦第二高级中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（含解析）

开滦第二高级中学2022-2023学年高一下学期6月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1. 已知复数z满足，是虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
2. 某市环境保护局公布了该市A，B两个景区2014年至2020年各年全年空气质量优良天数的数据．现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是（ ）
A. 景区A这7年的空气质量优良天数的极差为100
B. 这7年A，B景区空气质量优良的天数在2016年相差的最多
C. 景区B这7年的空气质量优良天数的第60百分位数为273
D. 这7年景区A的空气质量优良天数的标准差比景区B的空气质量优良天数的标准差大
3. 已知的斜二测画法的直观图为，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，且向量在向量上的投影向量为，则的模为（ ）
A. 1 B. C. 3 D. 9
5. 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角的大小为（ ）
A. 60° B. 45° C. 30° D. 75
6. 由下列条件解，其中有两解的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在正方体中，是的中点，则异面直线是所成角的余弦值等于（ ）．
A. B. C. D.
8. 已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的虚部为－2
C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 的共轭复数为
10. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C 若，，，则 D. 若，，则
11. 在中，角，，所对的边分别为，，，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，则是钝角三角形
12. 如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.则以下结论正确的为（ ）
A. 三棱锥体积为定值
B. 异面直线成角
C. 直线与面所成角正弦值
D. 当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是___________人
14. 已知向量，若，则______________.
15. 如图所示，为竖直立于广场上的旗杆，在点、点处分别测得旗杆底端点位于北偏东方向和北偏西方向（点、、位于同一水平面内，且点在点的正东方向），从点处仰望旗杆顶端的仰角为，已知，则旗杆的高度为______．
16. 如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字产明、证明过程或演算步骤.
17. 已知非零向量满足，且．
（1）求与的夹角；
（2）若，求的值．
18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩 防护服 消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.
（1）求出直方图中的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01).
19. 在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，且上的中线长为，求斜三角形的面积．
20. 如图，直三棱柱中，是的中点，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，求四棱锥的体积．
21. 在中，所对的边分别为，向量，且.
（1）求角的大小；
（2）若外接圆的半径为2，求面积的取值范围.
22. 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD菱形，，．
（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求二面角P－AD－B的余弦值．
开滦第二高级中学2022-2023学年高一下学期6月月考
数学试卷 答案解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1. 已知复数z满足，是虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，代入题目条件，然后列方程求出，则可得复数z，进而可得.
【详解】设，
，
，
，解得，
.
故选：B.
2. 某市环境保护局公布了该市A，B两个景区2014年至2020年各年的全年空气质量优良天数的数据．现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是（ ）
A. 景区A这7年的空气质量优良天数的极差为100
B. 这7年A，B景区空气质量优良的天数在2016年相差的最多
C. 景区B这7年的空气质量优良天数的第60百分位数为273
D. 这7年景区A的空气质量优良天数的标准差比景区B的空气质量优良天数的标准差大
【答案】D
【解析】
【分析】根据折线图依次计算判断每个选项即可.
【详解】对A，景区A这7年的空气质量优良天数的极差为，故A错误；
对B，这7年A，B景区空气质量优良的天数在2018年相差的最多，故B错误；
对C，景区B这7年的空气质量优良天数数据从小到大为255，262，262，266，280，283，293，因为，所以景区B这7年的空气质量优良天数的第60百分位数为280，故C错误.
对D，由折线图可知这7年景区A的空气质量优良天数的数据波动比景区B的空气质量优良天数的数据波动大，所以景区A的空气质量优良天数的标准差比景区B的空气质量优良天数的标准差大，故D正确.
故选：D.
3. 已知的斜二测画法的直观图为，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解.
【详解】由条件可知，，
由,解得.
故选:C.
4. 已知，且向量在向量上的投影向量为，则的模为（ ）
A. 1 B. C. 3 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的公式计算即可
【详解】由题，设的夹角为，则，故，解得
故选：C
5. 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角的大小为（ ）
A. 60° B. 45° C. 30° D. 75
【答案】A
【解析】
【分析】由锥体的体积公式求出正四棱锥的高，再由二面角的定义即可求解.
【详解】设正四棱锥的高为，底面边长为，
则，解得，
，解得，
设侧面与底面所成的二面角为，
则，即.
故选：A
6. 由下列条件解，其中有两解的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】只有是已知两边及一边的对角，且已知角为锐角才可能出现两解，此时先求另一边所对的角，再结合边角关系来判断解的个数
【详解】对于A，,由正弦定理可得,
由和可知和只有唯一解,
所以只有唯一解，所以A错误；
对于B，由余弦定理可知只有唯一解，
由余弦定理可得,又且在上单调递减，
所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解，
所以只有唯一解，所以B错误；
对于C，由正弦定理可得,所以,由可知，
因此满足的有两个，
所以有两解，所以C正确；
对于D.由余弦定理可知只有唯一解，
由余弦定理可得,又且在上单调递减,
所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解，
所以只有唯一解,所以D错误
故选：C
7. 如图，在正方体中，是的中点，则异面直线是所成角的余弦值等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两异面直线的方向向量，利用向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
由题意，可得，，，，
所以，，
因此，
所以异面直线是所成角的余弦值等于.
故选：C.
【点睛】方法点睛：
求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.
8. 已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别取、的中点、，连接、，由平面向量的线性运算可得，进而可得，即可得解.
【详解】分别取、的中点、，连接、，如图，
所以是的中位线，
因为，所以，
所以，所以、、三点共线，
所以，
所以即，所以即.
故选：A.
【点睛】本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的虚部为－2
C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 的共轭复数为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据复数的除法运算法则求出，再根据复数的模长公式、复数的概念、复数的几何表示以及共轭复数的概念可得答案.
【详解】，
，故A不正确；
的虚部为－2，故B正确；
在复平面内对应的点在第四象限，故C正确；
的共轭复数为，故D错误.
故选：BC
10. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据线面、面面关系的性质定理与判定定理一一判断即可；
【详解】解：对于A：若，，则或或或与相交不垂直，故A错误；
对于B：若，，根据面面平行的性质可得，故B正确；
对于C：若，，，则或或与相交或与异面，故C错误；
对于D：若，，根据面面垂直判定定理可得，故D正确；
故选：AC
11. 在中，角，，所对的边分别为，，，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，则是钝角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】A：由大角对大边，及正弦定理判定；利用正弦定理及二倍角公式判断B；根据正弦函数的性质及诱导公式判断C；根据余弦定理判断D；
【详解】解：对于A：在中，若，则，
则，则，故正确；
对于B：，，
，，或即，
为等腰或直角三角形，故不正确．
对于C：当为锐角三角形时，，，
，可得成立，故正确．
对于D：若，则，
即，即，即所以，
即为钝角，故是钝角三角形,故D正确；
故选：ACD.
12. 如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.则以下结论正确的为（ ）
A. 三棱锥体积为定值
B. 异面直线成角为
C. 直线与面所成角的正弦值
D. 当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】易证平面，故三棱锥体积为定值；易得，为等边三角形，故B错误；由向量法可判断C正确；转化顶点，易证平面，利用正、余弦定理求出的外接圆半径，将所求问题转化为圆柱外接球问题，进而判断D项.
【详解】因为，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，又为线段上动点，所以到平面距离为定值，故三棱锥体积为定值，当点与重合时，，故A正确；
因为，故与所成角等价于与所成角，为等边三角形，所以异面直线成角为，故B项错误；
以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，则，即，令，得，故，设直线与面所成角为，
则，故C项正确；
当点为中点时，，易得，平面，又平面，所以，，平面，所以平面，即平面，，，
所以，，的外接圆半径为，故所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积，设三棱锥的外接球半径为，则，故三棱锥的外接球表面积为，故D项正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是___________人
【答案】
【解析】
【分析】根据分层抽样等比例的性质求应抽取的女生人数.
【详解】由题意，应抽取的女生人数是人.
故答案为：
14. 已知向量，若，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平行关系得到，利用平面向量坐标运算法则求出答案.
【详解】由可得，解得，
则，所以.
故答案为：
15. 如图所示，为竖直立于广场上的旗杆，在点、点处分别测得旗杆底端点位于北偏东方向和北偏西方向（点、、位于同一水平面内，且点在点的正东方向），从点处仰望旗杆顶端的仰角为，已知，则旗杆的高度为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理可求得，然后在可求得，即可得解.
【详解】由已知，在中，，，，
由正弦定理可得，
在中，，，，
所以，.
故答案为：.
16. 如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，画出圆锥的展开图，由小虫爬行的最短距离，求出圆锥底面圆半径，推出圆锥的高，进而可求出结果.
【详解】画出该圆锥的展开图，如图所示，
则该小虫爬行的最短路程为，即，
又圆锥母线长为，
所以，因此，
则弧的长为，
设圆锥底面圆半径为，圆锥的高为，
则，解得，
所以，
因此该圆锥的体积为：.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字产明、证明过程或演算步骤.
17. 已知非零向量满足，且．
（1）求与的夹角；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）1．
【解析】
【分析】（1）由向量垂直转化为数量积为0求得，再由数量积的定义求得夹角；
（2）把已知等式平方，模平方转化为向量的平方，即向量的数量积运算可得．
【详解】（1），
与的夹角为，
（2），即，
，又由（1）知
18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩 防护服 消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.
（1）求出直方图中的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01).
【答案】（1）；（2）平均数为71，中位数为73.33.
【解析】
【分析】
（1）利用频率之和等于1进行求解即可
（2）利用平均数和中位数的计算公式进行求解即可
【详解】（1）由，得.
（2）平均数为，
设中位数为，则，得.
故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.
19. 在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角大小；
（2）若，且上的中线长为，求斜三角形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，再利用余弦定理即可求出角的大小；
（2）根据为为上的中线得，结合余弦定理求出，进而求出面积.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理可得：，
即，
所以，
又，所以，
所以.
【小问2详解】
因为为上的中线，所以，
即，
所以，
即，
所以 ①，
由余弦定理可得：，
所以 ②
①-②得：，
所以.
20. 如图，直三棱柱中，是中点，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，根据四边形为平行四边形，可得，根据直线与平面平行的判定定理可证平面；
（2）现根据长度可得底面时等腰直角三角形，其斜边上的高为四棱锥的高，再根据棱锥的体积公式可得结果.
【详解】（1）取的中点，连接，，如图：
则，，∴，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面．
（2）因为，，所以，所以，
所以斜边上的高为，即四棱锥的高为，
∴．
【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了棱锥的体积公式，属于基础题.
21. 在中，所对的边分别为，向量，且.
（1）求角的大小；
（2）若外接圆的半径为2，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）依题意得，由正弦定理可得结果；
（2）由正弦定理结合面积公式及三角恒等变换得的面积，由可得结果.
【详解】（1）依题意得，由正弦定理得，
即，又，所以，，故.
（2）由正弦定理得，，所以的面积
由得，则，所以，
故.
22. 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，，．
（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求二面角P－AD－B的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作图，取AB的中点E，连接PE，DE，分析图中的几何关系，即可证明；
（2）根据第1问的结果，过点E作，垂足为F，则∠PFE即为二面角P—AD—B的平面角.
【小问1详解】
取AB的中点E，连接PE，DE，则，
由已知可得，∴，
平面ABCD， 平面ABCD，∵∴PE⊥平面ABCD，
∵PE平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD；
【小问2详解】
过点E作，垂足为F，连接PF，则AD⊥平面PEF，
∴ ，∴∠PFE即为二面角P—AD—B的平面角，
在 中，EF是AD边上的高，运用等面积法得：，
，∴，
∴二面角P－AD－B的余弦值为；
综上，二面角P－AD－B的余弦值为.