华师大版数学八年级上册 13.5.2 线段垂直平分线 教案

13.5.2　线段垂直平分线
1．通过尺规作图，理解线段垂直平分线的概念，探究线段垂直平分线的性质和判定；
2．线段垂直平分线的性质和判定的运用；
3．培养学生运用简练、准确的语言表达作图方法与书写解答或证明过程的能力．
探究线段垂直平分线的性质．
线段垂直平分线的性质和判定的联系与区别．
一、情景导入　感受新知
如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称．则点B关于直线MN的对称点是点E.我们连结BE，与直线MN相交于点H，量一量∠MHB的大小以及线段BH、EH的长度．你发现线段BE与直线MN有什么关系？直线MN垂直于线段BE，且平分线段BE，我们说直线MN垂直平分线段BE，或者说直线MN是线段BE的垂直平分线．下面我们就一起来研究线段的垂直平分线．
二、自学互研　生成新知
【自主探究】
阅读教材P94～P95，完成下面的内容：
由情景导入得出：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线．
探究：如图①：直线l是线段AB的垂直平分线，点D是直线l上任意一点，那么DA＝DB吗？
归纳：(1)线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离__相等__；
(2)线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的__垂直平分线上__．
【合作探究】
问题1：“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．”
线段垂直平分线的这条性质你是怎样得到的呢？你用了哪些合情推理的方法？
问题2：“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．”
这一命题的题设和结论是什么？请你把语言文字转化为几何语言写出已知和求证．并用逻辑推理的方法加以证明．
问题3：请你把线段垂直平分线的性质定理的文字叙述转化为符号语言：
问题4：写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题，说出这一命题的题设和结论，并把它们转化为几何语言写出已知和求证．用逻辑推理的方法加以证明．
问题5：请你把线段垂直平分线性质定理的逆定理的文字叙述转化为符号语言．
【师生活动】①明了学情：关注学生对线段垂直平分线性质和判定的理解和掌握情况．
②差异指导：对学生在探究过程中产生的疑惑及时引导与点拨．
③生生互助：学生在小组内交流、讨论，相互释疑，达成共识．
三、典例剖析　运用新知
【合作探究】
例1：如图，在△ABC中，已知BC比AC长3cm，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，△ACD的周长是15cm，求BC和AC的长．
解：设BC＝xcm，AC＝ycm
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∵c△ACD＝AC＋CD＋AD＝15，
∴AC＋BD＋CD＝AC＋BC＝15.
由得
∴BC的长为9cm，AC的长为6cm.
例2：已知：如图，在△ABC中，OM是AB的垂直平分线，OA＝OC，求证：点O在BC的垂直平分线上．
证明：连结OB.
∵OM是AB的垂直平分线(已知)，
∴OA＝OB(线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等)．
∵OA＝OC(已知)，
∴OB＝OC(等量代换)．
∴点O在BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)．
四、课堂小结　回顾新知
通过本节课学习，你有了哪些新的收获？还有哪些疑惑？请谈一谈你的想法和同学们一起分享．
五、检查反馈　落实新知
1．如图，△ABC中，D在BC上，BC＝12，BD＋AD＝12，则点D在__AC__的垂直平分线上．
,(第1题图))　　,(第2题图))
2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，若AC＝8，CB＝6，则△BDC的周长是__14__．
3．若一个三角形的两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是__直角三角形__．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，连接AE，∠CAE∶∠DAE＝1∶2，求∠B的度数．
解：∵DE是AB的垂直平分线(已知)，
∴EB＝EA(线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等)，
∴∠B＝∠EAD(等边对等角)．
又∵∠CAE＝∠DAE＝1∶2，
∴设∠CAE＝x，则∠DAE＝∠B＝2x，
x＋2x＋x＝90°，
解得：x＝18°.
∴∠B＝2x＝39°.
5．如图，△ABC中，AC＝16cm，DE为AB的垂直平分线， △BCE的周长为26cm，求BC的长．
解：∵DE为AB的垂直平分线(已知)，
∴AE＝BE(线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等)．
又∵AC＝AE＋EC＝16cm，
C△BCE＝BE＋EC＋BC
＝AE＋EC＋BC＝26cm，
∴BC＝10cm.
六、课后作业　巩固新知
见学生用书．