山西省忻州市2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 山西省忻州市2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 622.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-27 11:57:25 | ||
图片预览
文档简介
忻州市2022-2023学年高二下学期期中联考
数 学
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册占30%，选择性必修第三册第六、七章占70%.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 甲工厂有80名工人，乙工厂有60名工人，丙工厂有70名工人，现从中选取1人参加技术培训，则不同的选法有（ ）
A. 180种 B. 210种 C. 240种 D. 270种
2. 已知等比数列满足，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
3. 已知，且，则（ ）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.8
4. 某同学求得的一个离散型随机变量的分布列为（ ）
X 1 2 3
P 0.2 m n
若，则（ ）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
5. 某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A. 1080种 B. 720种 C. 660种 D. 600种
6. 已知直线与函数，的图象分别交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 甲、乙两艘潜艇同时对军舰进行射击，两艘潜艇击中军舰的概率分别为0.6，0.7.军舰被一艘潜艇击中就被击沉的概率为0.3，被两艘潜艇击中就被击沉的概率为0.5，则军舰被击沉的概率为（ ）
A. 0.517 B. 0.42 C. 0.46 D. 0.348
8. “杨辉三角”是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一.如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第12条斜线上，最大的数是（ ）
A. 35 B. 36 C. 56 D. 70
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在某次数学测试中，学生的成绩，则（ ）
A. B. 若越大，则越大
C. D.
10. 由数字0，1，2，3组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是（ ）
A. 可以组成18个不同的数 B. 可以组成8个奇数
C. 可以组成12个偶数 D. 若数字1和2相邻，则可以组成8个不同的数
11. 甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则（ ）
A. B.
C. D.
12. “十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图2所示的空间直角坐标系，则（ ）
A. B. 点C的坐标为
C. O，E，F，A四点共面 D. 直线CE与直线DG所成角的余弦值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 抛物线上的点到焦点的距离为10，则______.
14. 已知展开式的二项式系数和为512，则______；展开式中的系数为______.（本题第一空2分，第二空3分）
15. 2023年2月6日，土耳其发生7.8级地震，我国在第一时间派出救援队进行救援.已知某救援队共有8人，根据救灾安排，该救援队需要安排到三个地区实施救援，每个地区至少2人，每人只去一个地区，则共有______种安排方案.
16. 已知函数有两个极值点，（），且，，则______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
设等差数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
18.（12分）
A，B，C，D，E这5个家庭的子女人数如下表所示：
A B C D E
男孩 0 1 0 1 1
女孩 0 0 1 1 2
（1）若从这些子女中随机选一人，已知选到的是女孩，求该女孩来自E家庭的概率；
（2）若从这5个家庭中任选3个家庭，记女孩比男孩多的家庭数为X，求X的分布列及期望.
19.（12分）
从1，2，3，4，5，6中任取5个数字，随机填人如图所示的5个空格中.
A B C D E
（1）若填入的5个数字中有1和2，且1和2不能相邻，试问不同的填入方法有多少种？
（2）若填入的5个数字中有1和3，且区域A，B，C中有奇数，试问不同的填入方法有多少种？
20.（12分）
为贯彻落实《健康中国行动（2019—2030年）》《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，确保2030年学生体质达到规定要求，各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查，现从该校抽取200名学生测量他们的体重，得到如下样本数据的频率分布直方图.
（1）求这200名学生体重的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）.
（2）由频率分布直方图可知，该校学生的体重Z服从正态分布，其中近似为平均数，近似为方差.
①利用该正态分布，求；
②若从该校随机抽取50名学生，记X表示这50名学生的体重位于区间内的人数，利用①的结果，求.
参考数据：.若，则，，.
21.（12分）
某单位组织员工进行排球娱乐比赛，比赛规则如下：比赛实行五局三胜制，当任何一方率先赢下三局比赛时比赛结束，每一局比赛获胜方得2分，失败方得1分.甲、乙两队相互打比赛，已知甲队每一局获胜的概率均为.
（1）求甲、乙两队三局结束比赛的概率；
（2）记比赛结束时甲队的得分为，求的分布列和期望.
22.（12分）
已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求m，n；
（2）若在上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围.
忻州市2022-2023学年高二下学期期中联考
数学参考答案
1. B 根据分类加法计数原理，不同的选法有种.
2. C 因为，所以，.
3. C 因为，所以，，所以，解得.
4. B 由题意可得，解得.
5. A 先涂区域ADE，有6种选择；再涂区域CDEF，有5种选择；接着涂区域ABCD，有4种选择；然后涂区域ABFE，有3种选择；剩下的区域BCF有3种选择.故不同的涂色方法有种.
6. D 令函数，.
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以函数的最小值为，即的最小值为.
7. D 设A表示“军舰被击沉”，事件表示“军舰被i艘潜艇击中”（）.
，
，
，
.
8. C 找寻数字的排列规律，第1条斜线上的数是1，第2条斜线上的数是，第3条斜线上的数是，，第4条斜线上的数是，，第5条斜线上的数是，，，…，第n条斜线上的数是，，，，…，发现规律是从开始，后一个组合数的下标减小1，上标增大1，直到找全满足规律的所有的组合数，所以第12条斜线上的数是，，，，，，所以该斜线上最大的数是.
9. AC 因为，所以，，越大，则越小，.故选AC.
10. ABD 千位不能是0，有3种选择，剩下的元素全排列即可，可以组成个不同的数，A正确.
若组成的数为奇数，则个位上的数有2种选择，再排千位，有2种选择，剩下的2个数全排，有种情况，B正确.
若组成的数为偶数，分两种情况：当个位上的数为2时，千位有2种选择，剩下的2个数全排，有种情况；当个位上的数为0时，剩下的3个数全排，有种情况.共种情况，C错误.
将数字1和2看成整体，有种情况，D正确.
11. ABD 因为，，，
若先发生，则乙箱中有3个红球，3个白球，3个黑球，，所以A正确.
若先发生，则乙箱中有2个红球，4个白球，3个黑球，；
若先发生，则乙箱中有2个红球，3个白球，4个黑球，.
所以；；
.
所以，故B正确.
因为，所以，故C错误.
因为，所以D正确.
12. BCD 取EF的中点H，连接EH，CH（图略），则，A错误.
其俯视图如图所示，可得点C的坐标为，O，E，F，A四点共面，B，C正确.
，，，，，
，D正确.
13. 6 由，得.
14. 9； 由，得.因为展开式的通项为，所以展开式中的系数为.
15. 2940 人数分配有2，2，4和3，3，2两种情形，所以共有种安排方案.
16. 由，得，，，可得.因为，，所以两式作差得，则，所以，解得.
17. 解：（1）因为是公差为的等差数列，
所以.又因为，所以.……3分
设的公差为d，则.
故.……5分
（2）因为，……7分
所以.……10分
18. 解：（1）记事件A为“该女孩来自E家庭”，记事件B为“选到的是女孩”.
.……5分
（2）X可能的取值为0，1，2.……6分
，……7分
，……8分
.……9分
X的分布列为
X 0 1 2
P
……10分
.……12分
19. 解：（1）因为填入的5个数字中有1和2，所以只需再从剩下的4个数字中选取3个填入即可.……2分
在安排顺序时，1和2不相邻，则“插空”，不同的填入方法有种.……4分
故1和2不能相邻，不同的填入方法有种.……6分
（2）只考虑填入的5个数字中有1和3，不同的填入方法有种.……8分
若区域A，B，C中没有奇数，则1和3在区域D，E，不同的填入方法有种.……10分
故填入的5个数字中有1和3，且区域A，B，C中有奇数，不同的填入方法有种.……12分
20. 解：（1）由题意可得；…2分
.……4分
（2）①由（1）可知，，……6分
则.……8分
②由①可知1名学生的体重位于的概率为0.6826.……10分
因为，所以.……12分
21. 解：（1）甲、乙两队三局结束比赛的情况包括甲连赢三局和甲连败三局，……1分
甲连赢三局的概率，……2分
甲连败三局的概率，……3分
故甲、乙两队三局结束比赛的概率为.……4分
（2）由题可知，的取值可能为3，5，6，7，8，……5分
且，，，
，.……9分
故的分布列为
3 5 6 7 8
P
……10分
.……12分
22. 解：（1）因为，所以.……1分
因为，所以.……3分
由，得.……4分
（2）因为，所以.
若，则，在上为增函数，
所以在上至多有一个零点，不合题意.……5分
若，则在上为增函数，且，.……6分
若，则，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
所以在上有且只有一个零点，不合题意.……7分
若，则，，，，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，……8分
所以根据零点存在性定理，在上有且只有一个零点.
又在上有且只有一个零点0，
所以当时，在上有两个零点.……9分
当时，，，，，
且在上单调递减，在上单调递增.……10分
因为在上有且只有一个零点0，
所以若在上有两个零点，则在上有且只有一个零点.……11分
又，所以，即，所以，
即当时，在上恰有两个零点.
综上所述，m的取值范围为.……12分
数 学
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册占30%，选择性必修第三册第六、七章占70%.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 甲工厂有80名工人，乙工厂有60名工人，丙工厂有70名工人，现从中选取1人参加技术培训，则不同的选法有（ ）
A. 180种 B. 210种 C. 240种 D. 270种
2. 已知等比数列满足，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
3. 已知，且，则（ ）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.8
4. 某同学求得的一个离散型随机变量的分布列为（ ）
X 1 2 3
P 0.2 m n
若，则（ ）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
5. 某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A. 1080种 B. 720种 C. 660种 D. 600种
6. 已知直线与函数，的图象分别交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 甲、乙两艘潜艇同时对军舰进行射击，两艘潜艇击中军舰的概率分别为0.6，0.7.军舰被一艘潜艇击中就被击沉的概率为0.3，被两艘潜艇击中就被击沉的概率为0.5，则军舰被击沉的概率为（ ）
A. 0.517 B. 0.42 C. 0.46 D. 0.348
8. “杨辉三角”是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一.如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第12条斜线上，最大的数是（ ）
A. 35 B. 36 C. 56 D. 70
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在某次数学测试中，学生的成绩，则（ ）
A. B. 若越大，则越大
C. D.
10. 由数字0，1，2，3组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是（ ）
A. 可以组成18个不同的数 B. 可以组成8个奇数
C. 可以组成12个偶数 D. 若数字1和2相邻，则可以组成8个不同的数
11. 甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则（ ）
A. B.
C. D.
12. “十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图2所示的空间直角坐标系，则（ ）
A. B. 点C的坐标为
C. O，E，F，A四点共面 D. 直线CE与直线DG所成角的余弦值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 抛物线上的点到焦点的距离为10，则______.
14. 已知展开式的二项式系数和为512，则______；展开式中的系数为______.（本题第一空2分，第二空3分）
15. 2023年2月6日，土耳其发生7.8级地震，我国在第一时间派出救援队进行救援.已知某救援队共有8人，根据救灾安排，该救援队需要安排到三个地区实施救援，每个地区至少2人，每人只去一个地区，则共有______种安排方案.
16. 已知函数有两个极值点，（），且，，则______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
设等差数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
18.（12分）
A，B，C，D，E这5个家庭的子女人数如下表所示：
A B C D E
男孩 0 1 0 1 1
女孩 0 0 1 1 2
（1）若从这些子女中随机选一人，已知选到的是女孩，求该女孩来自E家庭的概率；
（2）若从这5个家庭中任选3个家庭，记女孩比男孩多的家庭数为X，求X的分布列及期望.
19.（12分）
从1，2，3，4，5，6中任取5个数字，随机填人如图所示的5个空格中.
A B C D E
（1）若填入的5个数字中有1和2，且1和2不能相邻，试问不同的填入方法有多少种？
（2）若填入的5个数字中有1和3，且区域A，B，C中有奇数，试问不同的填入方法有多少种？
20.（12分）
为贯彻落实《健康中国行动（2019—2030年）》《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，确保2030年学生体质达到规定要求，各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查，现从该校抽取200名学生测量他们的体重，得到如下样本数据的频率分布直方图.
（1）求这200名学生体重的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）.
（2）由频率分布直方图可知，该校学生的体重Z服从正态分布，其中近似为平均数，近似为方差.
①利用该正态分布，求；
②若从该校随机抽取50名学生，记X表示这50名学生的体重位于区间内的人数，利用①的结果，求.
参考数据：.若，则，，.
21.（12分）
某单位组织员工进行排球娱乐比赛，比赛规则如下：比赛实行五局三胜制，当任何一方率先赢下三局比赛时比赛结束，每一局比赛获胜方得2分，失败方得1分.甲、乙两队相互打比赛，已知甲队每一局获胜的概率均为.
（1）求甲、乙两队三局结束比赛的概率；
（2）记比赛结束时甲队的得分为，求的分布列和期望.
22.（12分）
已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求m，n；
（2）若在上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围.
忻州市2022-2023学年高二下学期期中联考
数学参考答案
1. B 根据分类加法计数原理，不同的选法有种.
2. C 因为，所以，.
3. C 因为，所以，，所以，解得.
4. B 由题意可得，解得.
5. A 先涂区域ADE，有6种选择；再涂区域CDEF，有5种选择；接着涂区域ABCD，有4种选择；然后涂区域ABFE，有3种选择；剩下的区域BCF有3种选择.故不同的涂色方法有种.
6. D 令函数，.
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以函数的最小值为，即的最小值为.
7. D 设A表示“军舰被击沉”，事件表示“军舰被i艘潜艇击中”（）.
，
，
，
.
8. C 找寻数字的排列规律，第1条斜线上的数是1，第2条斜线上的数是，第3条斜线上的数是，，第4条斜线上的数是，，第5条斜线上的数是，，，…，第n条斜线上的数是，，，，…，发现规律是从开始，后一个组合数的下标减小1，上标增大1，直到找全满足规律的所有的组合数，所以第12条斜线上的数是，，，，，，所以该斜线上最大的数是.
9. AC 因为，所以，，越大，则越小，.故选AC.
10. ABD 千位不能是0，有3种选择，剩下的元素全排列即可，可以组成个不同的数，A正确.
若组成的数为奇数，则个位上的数有2种选择，再排千位，有2种选择，剩下的2个数全排，有种情况，B正确.
若组成的数为偶数，分两种情况：当个位上的数为2时，千位有2种选择，剩下的2个数全排，有种情况；当个位上的数为0时，剩下的3个数全排，有种情况.共种情况，C错误.
将数字1和2看成整体，有种情况，D正确.
11. ABD 因为，，，
若先发生，则乙箱中有3个红球，3个白球，3个黑球，，所以A正确.
若先发生，则乙箱中有2个红球，4个白球，3个黑球，；
若先发生，则乙箱中有2个红球，3个白球，4个黑球，.
所以；；
.
所以，故B正确.
因为，所以，故C错误.
因为，所以D正确.
12. BCD 取EF的中点H，连接EH，CH（图略），则，A错误.
其俯视图如图所示，可得点C的坐标为，O，E，F，A四点共面，B，C正确.
，，，，，
，D正确.
13. 6 由，得.
14. 9； 由，得.因为展开式的通项为，所以展开式中的系数为.
15. 2940 人数分配有2，2，4和3，3，2两种情形，所以共有种安排方案.
16. 由，得，，，可得.因为，，所以两式作差得，则，所以，解得.
17. 解：（1）因为是公差为的等差数列，
所以.又因为，所以.……3分
设的公差为d，则.
故.……5分
（2）因为，……7分
所以.……10分
18. 解：（1）记事件A为“该女孩来自E家庭”，记事件B为“选到的是女孩”.
.……5分
（2）X可能的取值为0，1，2.……6分
，……7分
，……8分
.……9分
X的分布列为
X 0 1 2
P
……10分
.……12分
19. 解：（1）因为填入的5个数字中有1和2，所以只需再从剩下的4个数字中选取3个填入即可.……2分
在安排顺序时，1和2不相邻，则“插空”，不同的填入方法有种.……4分
故1和2不能相邻，不同的填入方法有种.……6分
（2）只考虑填入的5个数字中有1和3，不同的填入方法有种.……8分
若区域A，B，C中没有奇数，则1和3在区域D，E，不同的填入方法有种.……10分
故填入的5个数字中有1和3，且区域A，B，C中有奇数，不同的填入方法有种.……12分
20. 解：（1）由题意可得；…2分
.……4分
（2）①由（1）可知，，……6分
则.……8分
②由①可知1名学生的体重位于的概率为0.6826.……10分
因为，所以.……12分
21. 解：（1）甲、乙两队三局结束比赛的情况包括甲连赢三局和甲连败三局，……1分
甲连赢三局的概率，……2分
甲连败三局的概率，……3分
故甲、乙两队三局结束比赛的概率为.……4分
（2）由题可知，的取值可能为3，5，6，7，8，……5分
且，，，
，.……9分
故的分布列为
3 5 6 7 8
P
……10分
.……12分
22. 解：（1）因为，所以.……1分
因为，所以.……3分
由，得.……4分
（2）因为，所以.
若，则，在上为增函数，
所以在上至多有一个零点，不合题意.……5分
若，则在上为增函数，且，.……6分
若，则，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
所以在上有且只有一个零点，不合题意.……7分
若，则，，，，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，……8分
所以根据零点存在性定理，在上有且只有一个零点.
又在上有且只有一个零点0，
所以当时，在上有两个零点.……9分
当时，，，，，
且在上单调递减，在上单调递增.……10分
因为在上有且只有一个零点0，
所以若在上有两个零点，则在上有且只有一个零点.……11分
又，所以，即，所以，
即当时，在上恰有两个零点.
综上所述，m的取值范围为.……12分
同课章节目录