四川省自贡市2022-2023学年高二下学期期末数学（文）试卷（含解析）

2022—2023学年高二年级下学期期末考试数 学 试 题（文史类）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．当时，复数在复数平面内对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．将上所有点经过伸缩变换：后得到的曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题，有，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知等比数列{}的前n项和为，则”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．“以直代曲”是重要的数学思想．具体做法是：在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算．比如要求的近似值，我们可以先构造函数，由于0.05与0比较接近，所以求出处的切线方程为，再把代入切线方程，故有，类比上述方式．则（ ）
A．1.001 B．1.005 C．1.015 D．1.025
9．设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列四个结论正确的个数（ ）
①；
②离心率；
③面积的最大值为；
④以线段为直径的圆与直线相切．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
11．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字毛描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知，则 ．
14．已知函数，若，则的范围是 ．
15．双曲线经过一点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ．
16．在平面直角坐标系中，若对于曲线上的任意点，都存在曲线上的点，使得成立，则称函数具备“性质”．则下列函数具备“性质”的序号是 ．
①；②；③；④.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分）
17．已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求该抛物线准线方程及．
18．某中学计划在学校开设劳动实践课程，为了解学生对劳动实践课程的赞同度，随机从高一、高二年级学生中一共抽取了100人进行调查，其中高一年级对开设劳动实践课程赞同的占，而高二年级有20人表示对开设劳动实践课程赞同．下表是部分列联表：
赞同 不赞同 合计
高一年级 60
高二年级 20
合计
(1)求表中，，的值；能否有的把握认为对开设劳动实践课程的赞同度与年级有关？
(2)为进一步了解学生对劳动实践课程认知，用分层抽样的方法随机从参与调查的高二学生中选取4人，若再从这4人中随机选取2人进行个别交流，求这2人中至少有1人不赞同的概率．
附表：．
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
19．已知函数．
(1)若的单调递减区间为，求实数的值；
(2)若函数在单调递减，求实数的取值范围．
20．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；
(2)求为曲线的点，为曲线的点，求的最小值．
21．已知椭圆的离心率为，右顶点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)、为椭圆上的不同两点，设直线、的斜率分别为、，若，证明：直线经过定点．
22．已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)证明：当时，．
1．C
解析：复数
当时，，，
，，复数在复数平面内对应点位于第三象限.
故选：C
2．A
解析：抛物线即，故其焦点坐标为，
故选：A
3．D
解析：由得，
代入得，
化简得，即.
故选：D
4．B
解析：由全称命题的否定可知，，.
故选：B
5．C
解析：若公比，则当时成立；
若公比，则与符号相同
与的符号相同，故
即是的充要条件
故选:C.
6．D
解析：由题意双曲线可知，，
故其渐近线方程为，
过倾斜角为的直线方程为，即，
不妨设l与渐近线的交点如图示：

由于，即；
联立，解得，即，则，
联立，解得，即，则，
则,
故的面积为，
故选：D
7．D
解析：的定义域为，
由，知在单调递减，
又，
所以不等式的解集是．
故选：D
8．B
解析：设，则，
则，故在处的切线方程为，设为，
故由题意得，
故选：B
9．B
解析：对于①，由椭圆的定义可知，故①正确；
对于②，由椭圆方程知，
所以离心率，故②错误；
对于③，，当为椭圆短轴顶点时，
的面积取得最大值，最大值为，故③错误；
对于④，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为:
，
即圆心到直线的距离等于半径，
所以以线段F1F2为直径的圆与直线相切，
故④正确.
故选：B.
10．A
解析：解：∵，
∴，
∵，
∴为奇函数，其图象关于原点对称，故B，D错误；
将代入得：，故C错误．
故选：A．
11．A
解析：函数的定义域为，且，
令，可得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的唯一极值点为，
因为函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，
则函数在区间上存在极值点，且，
所以，，解得.
故选：A.
12．D
解析：令，原问题可转化为直线与函数的图象有两个不同的交点..令，则，所以在上单调递增，又，，所以存在，使得，即，从而，所以当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增.所以，作出函数的大致图象，如图所示，易知当时，函数与的图象有两个不同的交点，即在上有两个不同的零点.
故选：D
13．
解析：由得，
故，
故答案为：
14．
解析：由函数，可得，
即为R上的单调递增函数，
故由可得，
即的范围是，
故答案为：
15．
解析：由题意双曲线经过一点，渐近线方程为，
可设双曲线方程为，
将代入方程得，
故双曲线的方程为，标准方程为，
故答案为：
16．②④
解析：对于①，如图所示，曲线，当点时，
要使得点满足成立，那么点落在直线上，
而此时与两直线是平行的，不存在交点，
故此时不满足在上存在点，使得成立，故①不满足条件；
对于②，如图所示，对于函数，
对于曲线上的任意点，都存在曲线上的点，
使得成立，故②满足条件；
对于③，因为，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，当时，函数取得最大值，即，
当时，；当时，.
当点，要使得点满足成立，那么点落在直线上，
而此时与两曲线不存在交点，故此时不满足在上存在点，
使得成立，故③不满足；
对于④，如下图所示，曲线，对于曲线上的任意点，
在曲线上都存在点，使得成立，故④满足条件.
故答案为：②④.
17．；8
解析：由题意抛物线可知焦准距为，
则焦点，抛物线准线方程为；
过焦点且倾斜角为的直线的方程为，
联立可得，
设，则，
故.
18．(1)，，，有的把握认为对开设劳动实践课程的赞同度与年级有关
(2)
解析：（1）由题意得，，，，
，
有的把握认为对开设劳动实践课程的赞同度与年级有关.
（2）用分层抽样的方法随机从参与调查的高二学生中选取4人，则赞同的有2人，记为A,B,
不赞同的2人，记为a，b，
若再从这4人中随机选取2人进行个别交流，
总的基本事件有：，则2人中均赞同的基本事件仅有，
所以这2人中至少有1人不赞同的概率概率为.
19．(1)
(2)
解析：（1）由题意得，
因为的单调递减区间为，即的解集为，
故是的两根，即，
当时，，由，解得，
等号仅在时取得，即的单调递减区间为，符合题意，
故.
（2）函数在单调递减，即在上恒成立，
即在上恒成立，此时，
即在上恒成立，而，故,
经验证当时, 即，
等号仅在时取得，此时函数在单调递减，符合题意，
故.
20．(1)；
(2)
解析：（1）由题意知曲线的参数方程为（为参数），
化为普通方程为；
曲线的极坐标方程为，即，
故化为直角坐标方程为；
（2）由（1）知曲线:表示圆，圆心为，半径为1；
圆心到曲线，即到直线的距离为，
故曲线与直线相离，
则曲线的点与曲线上的点之间的最短距离为，
即的最小值为.
21．(1)
(2)证明见解析
解析：（1）解：因为椭圆的右顶点为，则，
又因为椭圆的离心率为，则，故，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）证明：分以下两种情况讨论：
①若直线的斜率存在，设方程为，

则将直线方程代入椭圆方程，消去可得，
，得，
设、，则有，，
，
，
，
化简得，解得或，
当时，方程为，过定点，不合题意，
当时，方程为，过定点；
②若直线的斜率不存在，设方程为，
设、，，
即，解得或（舍去）.
此时方程为，显然直线过点.
综上，直线经过定点.
22．(1)极大值为0，无极小值
(2)证明见解析
解析：（1）由函数可得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故为的极大值点，则的极大值为，无极小值.
（2）证明：的定义域为，
当时, ，
要证明，只需证明，
令，即，
该函数在上单调递减，且，
即存在，使得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，
对于函数，，
在上单调递减，故，
即有，即，
故.