2021-2022学年高二（上）期中数学试卷
参考答案
1-8：CBDBC ACD
9-12：ACD；BCD；BC；ABC；
13、（2，-1）
14、
15、-4
16、；
17、
18、
19、解：（1）连接AC，BD使AC∩BD=O，因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
以O为坐标原点，的方向为x,y轴，以四棱柱ABCD-A1B1C1D1上下底面中心的连线指向上底面的方向为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB=AA1=2，由∠BAD=60°，底面ABCD是菱形，∴BD=2，
20、
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-1）+1，联立方程组
21、证明：（1）取AB中点O，CD中点E，连接OP，OE，
∵△PAB为等边三角形，∴OP⊥AB，又∵OP 平面PAB，平面PAB∩底面ABCD=AB，平面PAB⊥底面ABCD，∴OP⊥面ABCD，又OE 面ABCD，∴OP⊥OE，
∵取AB中点O，CD中点E，∴OE∥AD，∵底面ABCD为直角梯形，其中∠ABC=∠BAD=90°，
∴OE⊥AB，
以O为坐标原点，以OB，OE，OP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
22、2021-2022学年高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知双曲线实轴的一端点为A，虚轴的一端点为B，且|AB|=5，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
2．已知椭圆的一个焦点坐标为（-1，0），则m的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．圆x2+y2-6x-2y+1=0被x轴所截得的弦长为（ ）
A． B． C．4 D．
4．过点P（4，6）且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．设实数x,y满足x+y=4，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．8
6．已知向量＝(2，0，1)为平面α的法向量，点A（-1，2，1）在α内，点P（1，2，-2）在α外，则点P到平面α的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．过双曲线C：、右焦点F1、F2分别作倾斜角为45°的直线与双曲线C相交于x轴上方P1、P2两点，则|P1F1|+|P2F2|=（ ）
A． B．2 C． D．4
8．椭圆C：（0＜b＜3）上恰有4个不同的点Pi（i=1，2，3，4）满足|PiB|=2|PiA|，其中A（1，0），B（4，0），则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错或不选得0分）
9．已知关于x,y的方程mx2+ny2=1（其中m,n为参数）表示曲线C，下列说法正确的是（ ）
A．若m=n＞0，则表示圆
B．若mn＞0，则表示椭圆
C．若mn＜0，则表示双曲线
D．若mn=0，m+n＞0，则表示两条直线
10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．△PF1F2的周长为8
B．△PF1F2面积的最大值为
C.的取值范围为[2，3）
D．|PF1||PF2|的取值范围为（3，4]
11．已知F1、F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=λ|PF2|，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则双曲线离心率的取值范围为
B．若，则双曲线离心率的取值范围为
C．若λ=7，则双曲线离心率的取值范围为
D．若λ=7，则双曲线离心率的取值范围为
12．卵形曲线也叫卵形线，是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线．卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹．设焦点F1（-c,0），F2（c,0）是平面内两个定点，|PF1| |PF2|＝a2（a是定长），特别地，当c=a时的卡西尼卵形线又称为伯努利双纽线，某同学通过类比椭圆与双曲线的研究方法，对伯努利双纽线进行了相关性质的探究，得到下列结论，其中正确的是（ ）
A．曲线过原点
B．关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称
C．方程为（x2+y2）2=2a2（x2-y2）
D．曲线上任意点P（x0，y0），x0∈[-a,a]，y0∈
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．不论m为任何实数，直线（m-2）x+（m+1）y-m+5=0恒过一定点，该定点坐标为 .
14．三棱锥O-ABC，M是BC边的中点， （用基底表示）
15．已知半径为2的球O有一内接正四面体ABCD，则 .
16．双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2的直线l交双曲线C于A、B两点，△ABF1为等边三角形，若A、B两点都在右支上，则双曲线的离心率为 ；若A、B两点分别在左、右两支上，则双曲线的离心率为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）已知△ABC的顶点A（1，2），AC边上的高BD所在直线方程为x-2y=0，AC边上的中线BE所在直线方程为x-4y-2=0．
（1）求点B的坐标；
（2）求点C的坐标及BC边所在直线方程．
18．（12分）已知圆C的圆心C在直线x-y-1=0上，且与直线2x+3y-10=0相切于点P（2，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点Q（2，3）的直线l被圆C截得的弦AB长为6，求直线l的方程．
19．（12分）如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=AA1，E是AA1的中点，F是BC的中点．
（1）求异面直线D1E和DC1所成角的余弦值；
（2）求直线D1E与平面DFC1所成角的正弦值．
20．（12分）已知双曲线E：的两条渐近线所成的锐角为60°且点（2，3）是E上一点．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）若过点P（1，1）的直线l与E交于A，B两点，点P能否为线段AB的中点？并说明理由．
21．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，△PAB为等边三角形，平面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=AB=2，BC=1，M为线段PD中点．
（1）证明：AM⊥平面PCD；
（2）求平面PAC与平面MAC的夹角的余弦值．
22．（12分）已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆C方程；
（2）已知O为坐标原点，A、B为椭圆C上非顶点的不同两点，且直线AB不过原点，不垂直于坐标轴．
在下面两个条件中任选一个作为已知：
①直线OA与直线OB斜率之积kOA kOB为定值
②△OAB的面积为定值
证明：存在常数λ＞0，使得，且点M在椭圆C上，并求出λ的值．
