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专题11.3 多边形及其内角和
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．内角和为720°的多边形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意有（n﹣2） 180°＝720°，
解得n＝6．
该多边形为六边形，
故选D．
2．一个多边形每一个外角都等于18°，则这个多边形的边数为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
【答案】D
【解析】∵一个多边形的每一个外角都等于18°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360°÷18°＝20，
故选D．
3．正五边形ABCDE中，其内角∠BAE大小是（ ）
A．72° B．90° C．108° D．150°
【答案】C
【解答】因为五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
所以∠BAE108°，
故选C．
4．下列角度中，不能成为多边形的内角和的是（ ）
A．1800° B．630° C．540° D．900°
【答案】B
【解析】设多边形的边数为n，
A、（n﹣2）×180°＝1800°，
解得：n＝12，多边形的边数为12，故本选项不符合题意；
B、（n﹣2）×180°＝630°，
解得：n＝，多边形的边数不能为分数，故本选项符合题意；
C、（n﹣2）×180°＝540°，
解得：n＝5，多边形的边数为5，故本选项不符合题意；
D、（n﹣2）×180°＝900°，
解得：n＝7，多边形的边数为7，故本选项不符合题意；
故选B．
5．若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和（ ）
A．增加180° B．增加360° C．减少180° D．不变
【答案】D
【解析】任意多边形的外角和都是360°，
∴若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和不变．
故选D．
6．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
【答案】C
【解析】：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，
则这个多边形的边数为2003+1＝2004．
故选C．
7．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是（ ）
A．72° B．84° C．82° D．94°
【答案】B
【解答】如图，
由题意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，
则∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°．
故选B．
8．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较与的大小
【答案】A
【解析】∵多边形的外角和为，
∴△ABC与四边形BCDE的外角和与均为，
∴，
故选A．
9．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
【答案】B
【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n＝360°÷45°＝8，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．
故选B．
10．如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC＝α，∠APC＝β，则∠ADC的度数为（ ）
A．180°﹣α﹣β B．α+β C．α+2β D．2α+β
【答案】C
【解析】在四边形ABCD中，
∠ADC＝360°﹣α﹣（∠DCB+∠DAB）
＝360°﹣α﹣（360°﹣2∠PCD﹣2∠PAD）
＝2（∠PCD+∠PAD）﹣α
＝2（∠ADC﹣β）﹣α，
∴∠ADC＝α+2β，
故选C．
二、填空题
11．一个多边形的每一个内角都等于150°，这个多边形共有 条边．
【答案】十二
【解析】∵多边形的每一个内角都等于150°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣150°＝30°，
∴边数n＝360°÷30°＝12．
故答案为：十二．
12．一个n边形从一个顶点出发最多引出7条对角线，则n的值为 ．
【答案】10
【解析】：∵多边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n﹣3，
∴n﹣3＝7，
解得n＝10．
故答案为：10．
13．商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形，若选购地砖镶嵌地面，那么，可供选择的有______种．
【答案】3
【解析】①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌
②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；
③正五边形每个内角是180° 360°÷5＝108°，不能整除360°，不能镶嵌；
④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；
故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有3种．
故答案为：3．
14．一个四边形四个内角的度数之比为1：1：0.6：1，则该四边形最小内角的度数为______．
【答案】60度##60°
【解析】∵四边形内角和为360°，且四边形的四个内角的度数比为1：1：0.6：1，
∴最小内角的度数=，
故答案为：．
15．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在A1、D1处，若∠1+∠2＝145°，则∠B+∠C＝ °．
【答案】107.5
【解析】∵∠1+∠2＝245°，
∴∠AMN+∠DNM107.5°，
∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）＝360°，∠A+∠D+（∠B+∠C）＝360°，
∴∠B+∠C＝∠AMN+∠DNM＝107.5°，
故答案为：107.5°．
16．下图是可调躺椅示意图，AE与BD交于点C．小明觉得当躺椅的角度是如图所示的数据时最舒适，此时___________度．
【答案】120
【解析】在中，，
∵对顶角相等，
∴，
∴
．
故答案为：120．
17．n边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个n边形分成b个三角形，则a，b可以分别用n表示, 则__________．
【答案】
【解析】n边形从一个顶点出发可以画（）条对角线，所以，将这个n边形分成个三角形，所以，
所以；
故答案为：．
18．剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
【答案】6
【解析】根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，
10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为，
，
解得．
故答案为：．
三、解答题
19．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．
【解析】设这个多边形的每一个内角为x°，那么180﹣xx，
解得x＝150，
那么边数为360÷（180﹣150）＝12．
答：这个多边形的每一个内角的度数为150，它的边数为12．
20．已知如图：直线DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，求证：
（1）∠A+∠1＝180°；
（2）∠A＝∠2．
【解析】证明：（1）∵DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，
∴∠ACD＝∠ABD＝90°，
∴∠A+∠1＝360°﹣90°﹣90°＝180°；
（2）∵∠1+∠2＝180°，∠A+∠1＝180°，
∴∠A＝∠2．
21．（1）如图（1）所示是四边形，小明作出它对角线为2条，算法为2．
（2）如图（2）是五边形，小明作出它的对角线有5条，算法为5．
（3）如图（3）是六边形，可以作出它的对角线有 条，算法为 ．
（4）猜想边数为n的多边形对角线条数的算法及条数．
【解析】（3）六边形，可以作出它的对角线有9条，算法：9；
故答案为：9；9；
（4）n的多边形对角线条数的算法及条数．
22．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
【解析】（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，
由题意，得（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．
即多边形的每个外角为40°．
又∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的外角个数9．
∴多边形的边数＝9，
答：这个多边形的边数是9；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
当截线为经过对角2个顶点的直线时，多边形的边数减少了1条边，内角和＝（9﹣2﹣1）×180°＝1080°；
当截线为经过多边形一组对边的直线时，多边形的边数不变，内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°；
当截线为只经过正方形一组邻边的一条直线时，多边形的边数增加一条边，内角和＝（9﹣2+1）×180°＝1440°．
答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是1080°或1260°或1440°．
23．如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D＝210°
（1）∠DAB+∠CBA＝ 度；
（2）若∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点E，求∠E的度数．
【解析】（1）∵∠DAB+∠CBA+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠CBA＝360°﹣（∠C+∠D）＝360°﹣210°＝150°．
故答案为：150；
（2）∵∠DAB与∠ABC的平分线交于四边形内一点E，
∴∠EAB∠DAB，∠EBA∠ABC，
∴∠E＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）
＝180°（∠DAB+∠CBA）
＝180°（360°﹣∠C﹣∠D）
（∠C+∠D），
∵∠C+∠D＝210°，
∴∠E（∠C+∠D）＝105°．
24．如图，在△ABC中，D为三角形内一点，∠A=53°，∠ABD=43°，∠ACD=16°，∠BDC的角平分线交BC于点E，过点E作EF//BD交DC于点F．
（1）求∠BDC的度数．
（2）求∠DEF的度数．
【解析】如图：
根据四边形内角和为，
，
，
；
（2）∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠EDC，
∵∠BDC=112°，EF//BD，
∴∠BDE=∠DEF=∠BDC=56°．
25．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）错当成内角的那个外角为多少度？
【解析】（1）设多边形的边数为n，
180°（n﹣2）＝2020°，
解得，
∵n为正整数，
∴“多边形的内角和为2020°”不可能．
（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，
依题意可列方程：（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，
∵﹣180°＜x﹣y＜180，
∴2020°﹣180°＜180°（n﹣2）＜2020°+180°，
解得，
又∵n为正整数，
∴n＝13，n＝14．
故明明求的是十三边形或十四边形的内角和．
（3）十三边形的内角和＝180°×（13﹣2）＝1980°，
∴y﹣x＝2020°﹣1980°＝40°，
又x+y＝180°，
解得：x＝70°，y＝110°；
十四边形的内角和＝180°×（14﹣2）＝2160°，
∴y﹣x＝2020°﹣2160°＝﹣140°，
又x+y＝180°，
解得：x＝160°，y＝20°；
所以那个外角为110°或20°．
26．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
【解析】（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；
（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．
27．问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．
问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；
小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：
由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；
由“ ”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．
所以2∠APC= ．
所以∠APC= ．
请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；
解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系为
解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为
【解析】问题1：连接PO并延长．
则∠1=∠A＋∠2，∠3=∠C＋∠4，
∵∠2＋∠4=∠P，∠1＋∠3=∠AOC，
∴∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；
故答案为：∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；
问题2：如图2，由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；
由“三角形外角的性质”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．
所以2∠APC=∠B+∠D．
所以∠APC= （∠B＋∠D）=38°．
解决问题1：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴（180°－2∠1）＋∠B=（180°－2∠4）＋∠D，
在四边形APCB中，（180°－∠1）＋∠P＋∠4＋∠B=360°，
在四边形APCD中，∠2＋∠P＋（180°－∠3）＋∠D=360°，
∴2∠P＋∠B＋∠D=360°，
∴∠P=180°－（∠B＋∠D）；
解决问题2：如图4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵（∠1＋∠2）＋∠B=（180°－2∠3）＋∠D，
∠2＋∠P=（180°－∠3）＋∠D，
∴2∠P=180°＋∠D＋∠B，
∴∠P=90°＋（∠B＋∠D）．
故答案为：∠P=90°＋（∠B＋∠D）．
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专题11.3 多边形及其内角和
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．内角和为720°的多边形是（ ）
A． B．
C． D．
2．一个多边形每一个外角都等于18°，则这个多边形的边数为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
3．正五边形ABCDE中，其内角∠BAE大小是（ ）
A．72° B．90° C．108° D．150°
4．下列角度中，不能成为多边形的内角和的是（ ）
A．1800° B．630° C．540° D．900°
5．若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和（ ）
A．增加180° B．增加360° C．减少180° D．不变
6．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
7．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是（ ）
A．72° B．84° C．82° D．94°
8．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较与的大小
9．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
10．如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC＝α，∠APC＝β，则∠ADC的度数为（ ）
A．180°﹣α﹣β B．α+β C．α+2β D．2α+β
二、填空题
11．一个多边形的每一个内角都等于150°，这个多边形共有 条边．
12．一个n边形从一个顶点出发最多引出7条对角线，则n的值为 ．
13．商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形，若选购地砖镶嵌地面，那么，可供选择的有______种．
14．一个四边形四个内角的度数之比为1：1：0.6：1，则该四边形最小内角的度数为______．
15．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在A1、D1处，若∠1+∠2＝145°，则∠B+∠C＝ °．
16．下图是可调躺椅示意图，AE与BD交于点C．小明觉得当躺椅的角度是如图所示的数据时最舒适，此时___________度．
17．n边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个n边形分成b个三角形，则a，b可以分别用n表示, 则__________．
18．剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
三、解答题
19．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．
20．已知如图：直线DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，求证：
（1）∠A+∠1＝180°；
（2）∠A＝∠2．
21．（1）如图（1）所示是四边形，小明作出它对角线为2条，算法为2．
（2）如图（2）是五边形，小明作出它的对角线有5条，算法为5．
（3）如图（3）是六边形，可以作出它的对角线有 条，算法为 ．
（4）猜想边数为n的多边形对角线条数的算法及条数．
22．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
23．如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D＝210°
（1）∠DAB+∠CBA＝ 度；
（2）若∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点E，求∠E的度数．
24．如图，在△ABC中，D为三角形内一点，∠A=53°，∠ABD=43°，∠ACD=16°，∠BDC的角平分线交BC于点E，过点E作EF//BD交DC于点F．
（1）求∠BDC的度数．
（2）求∠DEF的度数．
25．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）错当成内角的那个外角为多少度？
26．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
27．问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．
问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；
小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：
由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；
由“ ”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．
所以2∠APC= ．
所以∠APC= ．
请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；
解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系为
解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为
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