§6.6 关注三角形的外角
班级：_______ 姓名：_______
一、填空请你填一填
（1）如图6—6—1，在△ABC中，∠A=70°,∠ABC=60°,那么∠ACB的度数是_______；与∠ACB相邻的一个外角是_______，它的度数等于_______.
（2）如图6—6—2，∠1=35°,∠2=78°,∠3的度数等于_______；如果∠4=16°,那么∠2－∠5的度数等于_______.
图6—6—1 图6—6—2
（3）如图6—6—3，已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°则∠BDC的度数等于_______.
（4）如图6—6—4，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=72°,则∠2=_______.
图6—6—3 图6—6—4
图6—6—5
（5）如图6—6—5，∠α=125°,∠1=50°，则∠β的度数是_______.
二、数学眼光看世界
如图6—6—6中的几个图形是五角星和它的变形.
（1）图甲是一个五角星，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
（2）图甲中的点A向下移到BE上时（图乙），五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？证明你的结论；
（3）把图乙中点C向上移动到BD上时（图丙），五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？证明你的结论.
图6—6—6
图6—6—7
三、已知，如图6—6—7，∠ACE是△ABC的外角，∠ABC与∠ACE的角平分线BP、CP交于点P.
求证：∠P=∠A.
参 考 答 案
一、(1) 50° ∠BCE 130° (2)67° 16°
(3)延长BD交AC于E
则∠BDC=∠3+∠2
而∠3=∠1+∠A
∴∠BDC=∠1+∠A+∠2
=20°+35°+25°=80°
（4）54° （5）105°
图甲
二、（1）证明：如图甲，∠1=∠C+∠E（三角形一个外角等于和它不相邻的内角和）
同理∠2=∠B+∠D
而∠1+∠2+∠A=180°（三角形内角和等于180°）
∴∠C+∠E+∠B+∠D+∠A=180°
图乙
（2）无变化
如图乙，∠1=∠C+∠E
∠2=∠B+∠D
（三角形一个外角等于和它不相邻的内角和）
又∵∠1+∠3+∠2=180°(平角定义)
图丙
∴∠C+∠E+∠B+∠D+∠CAD=180°
（3）无变化
如图丙，∠1=∠ACE+∠E
∠2=∠B+∠D（三角形一个外角等于和它不相邻的内角和）
而∠1+∠3+∠2=180°（平角定义）
∴∠ACE+∠E+∠B+∠D+∠CAD=180°
三、证明：∵∠1=∠2+∠P
∴∠P=∠1－∠2
∵CP平分∠ACE
∴∠1=∠ACE
又∵BP平分∠ABC（已知）
∴∠2=∠ABC
∴∠P=∠ACE－∠ABC
=（∠ACE－∠ABC）
而∠ACE－∠ABC=∠A（三角形外角定理）
∴∠P=∠A5.三角形内角和定理的证明 6.关注三角形的外角
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理解并掌握三角形的内角和定理及三角形的外角的性质，弄清它们的形成及推理过程，会应用定理进行角的计算或证明.
一、选择题
1.已知，如图1，△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是( )
图1
A.∠BAC＜∠ADC B.∠BAC=∠ADC
C.∠BAC＞∠ADC D.不能确定
2.对于△ABC，下列命题中是假命题的为( )
A.若∠A+∠B=∠C，则△ABC是直角三角形
B.若∠A+∠B＞∠C，则△ABC是锐角三角形
C.若∠A+∠B＜∠C，则△ABC是钝角三角形
D.若∠A=∠B=∠C，则△ABC是斜三角形
3.在△ABC中，已知∠A+∠C=2∠B，∠C－∠A=80°，则∠C的度数是( )
A.60° B.80°
C.100° D.120°
4.如图2，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是( )
图2
A.∠A＞∠DOE＞∠BEC
B.∠DOE＞∠A＞∠BEC
C.∠BEC＞∠DOE＞∠A
D.∠DOE＞∠BEC＞∠A
5.如图3，∠B=∠C，则∠ADC与∠AEB的关系是( )
图3
A.∠ADC＞∠AEB B.∠ADC=∠AEB
C.∠ADC＜∠AEB D.不能确定
二、填空题
6.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠C=________.
7.△ABC中，若∠A=30°，∠B=∠C，则∠B=________，∠C=________.
8.△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是∠A的平分线，则∠DAC的度数为________.
9.△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，∠B=63°，则∠DCA=________.
10.如图4，点D在△ABC边BC的延长线上，DE⊥AB于E，交AC于F，∠B=50°，∠CFD=60°，则∠ACB=________.
图4
三、解答题
11.已知：如图5，AB∥CD，AD∥BC，∠1=50°，∠2=80°.
求：∠C的度数.
图5
12.已知：如图6，D是△ABC的∠C的外角平分线与BA的延长线的交点.
求证：∠BAC＞∠B.
图6
13.已知：如图7，在△ABC中，BD、CE是∠B、∠C的平分线，且相交于点O.
求证：∠BOC=90°+∠A.
图7
参考答案
一、1.B 2.D 3.C 4.D 5.B
二、6.90° 7.50° 100° 8.40° 9.63° 10.100°
三、11.50° 12.略 13.略●备课资料
本章检测题
一、填空题
1.命题“任意两个直角都相等”的条件是________，结论是___________，它是________（真或假）命题.
图6－77
2.如图6－77，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3=________.
3.在△ABC中，∠C=2（∠A+∠B），则∠C=________.
图6－78
4.已知，如图6－78，AB∥CD，BC∥DE，那么∠B+∠D=__________.
5.已知，如图6－79，AB∥CD，若∠ABE=130°,∠CDE=152°,则∠BED=__________.
图6－79
二、选择题
1.下列语言是命题的是
A.画两条相等的线段
B.等于同一个角的两个角相等吗？
C.延长线段AO到C，使OC=OA
D.两直线平行，内错角相等.
图6－80
2.如图6－80，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC等于
A.63° B.62°
C.55° D.118°
3.下列语句错误的是
A.同角的补角相等
B.同位角相等
C.同垂直于一条直线的两直线平行
D.两条直线相交只有一个交点
三、解答题
1.举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题.
图6－81
2.已知，如图6－81，AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=26°,求∠C.
四、证明题
图6－82
1.已知，如图6－82，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C.
求证：∠1=∠2.
2.已知，如图6－83，△ABC中，∠C>∠B,AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.
图6－83
求证：∠DAE=（∠C－∠B）.
参考答案：
一、1.两个角都是直角 这两个角相等 真
2.90° 3.120° 4.180° 5.78°
二、1.D 2.B 3.B
三、1.如：60°和50°都是锐角，但它们的和是钝角.
2.解：∵AE∥BD.
∴∠1=∠3
∵∠3=∠2+∠C
∴∠C=∠3－∠2
∵∠3=∠1=3∠2
∴∠C=3∠2－∠2=2∠2
∴∠C=∠2=26°
四、1.证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴AD∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行）
∴∠2=∠CAD（两直线平行，同位角相等）
∵∠4=∠C（已知）
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）
∴∠1=∠CAD（两直线平行，内错角相等）
∴∠1=∠2（等量代换）
2.证明：∵AD⊥BC于D（已知）
∴∠ADC=∠ADB=90°（垂直的定义）
∵AE平分∠BAC（已知）
∴∠CAE=∠BAC（角平分线的定义）
∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形内角和定理）
∴（∠B+∠BAC+∠C）=90°（等式的性质）
∵∠1+∠DAE=∠CAE（已知）
∴∠DAE=∠CAE－∠1
=∠BAC－（90°－∠C）
=∠BAC－［（∠B+∠BAC+∠C）－∠C］
=∠BAC－∠B－∠BAC－∠C+∠C
=（∠C－∠B）（等式的性质）
即：∠DAE=（∠C－∠B）.
