2023~2024学年人教版数学九年级上册第二十二章 二次函数 单元测试 （含答案）

第二十二章 二次函数
一、单选题
1．下列函数中是二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．把抛物线y＝x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，所得函数的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
3．抛物线 的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．给出一种运算：对于函数 ，规定 .例如：若函数 ，则有 .已知函数 ，则方程 的解是（　　）
A．x1=x2=0 B．x1=2 ，x2=﹣2
C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=4，x2=﹣4
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0，②a﹣b＝0，③4a+2b+c＜0，④若（﹣2，y1）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（　　）
A．①④ B．③④ C．①③④ D．①②
6．如图，直线 (k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A( 4，0)、B(0，3)，抛物线 与y轴交于点C，点E在抛物线 的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是(　　)
A．2 B．4 C．2.5 D．3
7．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
X ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（　　）
A．6s B．4s C．3s D．2s
二、填空题
9．已知A(﹣1，y1)、B(﹣2，y2)是抛物线y＝﹣2x2上的两点，则y1　 　y2(填＞、＜、＝).
10．抛物线 的顶点关于x轴对称的点的坐标为　 　.
11．抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）在﹣1＜x＜0位于x轴下方，在3＜x＜4位于x轴上方，则m的值为　 　．
12．某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80元，每日平均客流量为136人，为了促进全民健身运动，游泳馆决定降价促销，经市场调查发现，票价每下降1元，每日游泳健身的人数平均增加2人．当每日销售收入最大时，票价下调　 　元．
13．公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.8米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA水平距离为1米时，达到距水面最大高度1.44米（不计其他因素）．则水池的半径至少要 　
　米，才能使喷出的水流不致落到池外．
三、解答题
14．如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为，此时拱桥的最高点到水面的距离为．
（1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；
（2）当水面宽时，达到警戒水位，如果水位以的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？
15．某工艺品厂设计了一款成本为10元/件的小工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件） … 20 30 40 50 60 …
每天销售量y（件） … 500 400 300 200 100 …
（1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，工艺品厂试销该小工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售额﹣成本）
16．已知直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴．
（1）若抛物线顶点在x轴上，且过（0，1），求抛物线的解析式；
（2）若抛物线不过第一象限，求 的取值范围；
（3）若抛物线过点（1，1），当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．
17．随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中。某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2022年第(为整数)个月每台的销售价格为(单位：元)，与的函数关系如图所示(图中ABC为一折线).
（1）当1≤≤10时，求每台的销售价格与之间的函数关系式；
（2）设该产品2022年第个月的销售数量为(单位：万台)，与的关系可以用来描述.求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？
(销售收入=每台的销售价格销售数量)
18．某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：
（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？
（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第天的利润比第m天的利润至少多49元，则第天每顶帽子至少应提价几元？
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点.
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标.
（2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差.
（3）若点是轴上方抛物线上的点（不与点A，B，D重合），设点P的横坐标为，过点作轴，交直线AD于点，当线段PQ的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围.
参考答案
1．D
2．D
3．C
4．B
5．A
6．B
7．B
8．A
9．>
10．(-1，-3)
11．
12．6
13．2.5
14．（1）解：如图，建立平面直角坐标系．
设拱桥所在的二次函数的图象对应的表达式为，由题意，可知图象的顶点坐标为
∵
∴点坐标为
∴
∴
∴所求函数表达式为；
（2）解：当水面宽时，
∴当时， ，
∴函数图象经过（5，3），
．
答：当达到警戒水位后，再过此桥孔将被淹没．
15．（1）解：画出图形，如图所示．
由图可猜想y与x是一次函数关系，设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），
∵这个一次函数的图象经过（20，500），（30，400）两点，
∴ ，解得： ，
∴函数关系式是y=﹣10x+700．
经验证，其他各点也在y=﹣10x+700上
（2）解：设工艺品试销每天获得利润为W元，
由已知得：W=（x﹣10）（﹣10x+700）=﹣10x2+800x﹣7000=﹣10（x﹣40）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴当x=40时，W取最大值，最大值为9000．
故：当销售单价为40元时，工艺品厂试销该小工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元
16．（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1．
∴ ，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线顶点在x轴上，
∴顶点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵抛物线过（0，1），
∴c＝1，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x+1；
（2）解：∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，
∵抛物线不过第一象限，
∴a＜0，c≤0，c﹣a≤0，
∴ ；
（3）解：∵对称轴为直线x＝1，抛物线过点（1，1），
∴该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2+1，
∵当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，
∴当x＝﹣1时，对应的点到x轴的距离最大，
∴抛物线过（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），
∴4＝a（﹣1﹣1）2+1或﹣4＝a（﹣1﹣1）2+1，
解得：a＝ ，或a＝ ．
故a的值为 或 ．
17．（1）当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为
图象过两点，
∴解得
当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为.
（2）设销售收入为万元，
①当时，，
当时，(万元).
②当时，，
随的增大而增大，
当时，=3300（万元）.
第5个月的销售收入最多，最多为3375万元.
18．（1）解：若得
与不符，舍去
当时，得
因此小华第12天生产帽子220顶；
（2）解：当时，当时，
①时，当时，（元）
②时，当时，（元）
③时，当时，
（元）综上所述：当时，W有最大值，最大值为576元．
（3）解：由（2）知：，则，设第15天提价元．
当，
则有得
故：第15天每顶帽子至少应提价0.2元
19．（1）解：点是抛物线
上的点，
解得.
抛物线的表达式为.
，
抛物线顶点的坐标为.
（2）解：抛物线顶点的坐标为，
当时，随的增大而减小.
当肘，在处，取得最大值；
在处，取得最小值.
当时，二次函数的最大值与最小值的差为.
（3）或.