2021～2022学年高二下学期期末联合考试
数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据含存在量词的命题的否定方法写出已知命题的否定即可判断.
【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，故命题“”的否定为“，”.
故选：D.
2. 随机变量X服从正态分布，且，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正态分布的性质可求出，而方差无法确定，从而可得出答案．
【详解】因为，
由正态分布的对称性可得，故B正确，A错误，
而正态分布的方差无法确定，故C，D均错误.
故选：B．
3. 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合A、B，再求.
【详解】因为
所以.
故选：A
4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为的周长为18，所以，结合题意可得，代入离心率公式运算求解．
【详解】设焦距为．
因为的周长为18，所以，所以．
因为长半轴长为5，即
所以椭圆C的离心率为
故选：B．
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由已知得函数的定义域为,
因为，所以为奇函数，
则排除、,
当时，；则在上单调递增，
则排除,
故选:.
6. 抛物线上一点P到原点的距离为，则P到焦点的距离为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】设，则，解出值，则距离为，代入即可.
【详解】设，则，
解得（负根舍去），
所以P到焦点的距离为．
故选：B.
7. 计算（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列的前n项和公式计算.
【详解】表示首项为，公比为的等比数列的前11项和，所以．
故选：A.
8. 某圆锥的母线长为4，高为3，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆锥的外接球与轴截面相关线段的几何关系列方程求外接球的半径，进而求外接球的表面积.
【详解】设该圆锥外接球的半径为R，则，解得R=，
故该圆锥外接球的表面积S=4πR2=.
故选：D
9. 已知P是直线l：x＋y－7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：相切，切点分别为A，B.则｜AB｜的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线与圆相切的几何性质可知，当取得最小值时，最大，的值最小，当时，取得最小值，进而可求此时
【详解】圆是以为圆心，2为半径的圆，由题可知，当最小时，的值最小. ，当取得最小值时，最大，最小，点到直线的距离，故当时，最大，且最大值为，此时，则.
故选：A
10. 随机变量X的分布列如下所示．
X 1 2 3
P a 2b a
则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分布列得出，即可代入计算出，即可根据方差的运算率得出，令，求导得出，即可得出答案.
【详解】由题可知，即，
，
，
则，
令，
则，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则的最大值为.
故选：D.
11. 已知向量，，满足，，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意设，，，即可根据向量运算得出，再根据三角函数范围得出答案.
【详解】由题意可设，，，
则，，
则，
，
，
其中，
，
则，
故选：D.
12. 援鄂医护人员A，B，C，D，E，F共6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和当地的一位领导共7人站成一排拍照，则领导和队长A相邻且不站两端，B与C相邻，B与D不相邻的排法种数为（ ）．
A. 120 B. 240 C. 288 D. 360
【答案】B
【解析】
【分析】先将领导和队长A，B和C分别“捆绑”，利用间接法求解：先排“B与C相邻，和D，E，F排列，按插空排M”，再排除“B与C相邻，B与D相邻，和D，E，F排列，按插空排M”的情况．
【详解】先将领导和队长A，B和C“捆绑”，分别当作一个整体M，N，有种不同的排法．
将N与D，E，F一起排列，有种不同的排法，再让M从中间的3个位置选1个位置排，有种不同的排法，所以共有种不同的排法．
当B与D相邻时，将B安排在中间，C，D安排在B的两侧，有种排法，然后将他们3人当作一个整体P，与E，F一起排列，有种不同的排法，再让M从中间的2个位置中选1个位置排，共有种不同的排法．
故共有种不同的排法．
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的除法运算和复数模的意义求解作答.
【详解】，
所以．
故答案为：
14. 若函数的图象在点处的切线恰好经过点（2，3），则a＝______．
【答案】-1
【解析】
【分析】先求导，然后分别求出，表示出切线方程，最后将点（2，3）代入切线方程即可求出答案.
【详解】由题可知，则．
又，所以的图象在点处的切线方程为，即．因为点（2，3）在切线上，所以，解得．
故答案为：-1.
15. 某学校高一 高二 高三的学生人数之比为，这三个年级分别有的学生获得过奖学金，现随机选取一名学生，此学生恰好获得过奖学金，则该学生是高二年级学生的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用条件概率的公式进行求解.
【详解】设事件A为被选到的学生获得过奖学金，事件为该学生是高二年级学生，
,
,
则.
故答案为：.
16. 科学记数法是一种记数的方法．把一个数表示成与10的次幂相乘的形式，其中，．当时，．若一个正整数的16次方是12位数，则______．（参考数据：，）
【答案】5
【解析】
【分析】设，根据题意可得，则，根据，可得，再根据题中所给数据即可得出答案.
【详解】解：由题意可设，
因为正整数的16次方是12位数，所以，所以，
因为，所以，所以，
则，
又，，，
所以正整数．
故答案为：5.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在中.AB＝2，AC＝，BC＝4，D为AC上一点.
（1）若BD为AC边上的中线，求BD；
（2）若BD为∠ABC的角平分线，求BD.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理，先求得，然后求得.
（2）利用余弦定理，先求得，即可求得、，利用等面积法求得.
【小问1详解】
在中，，
因为BD为AC边上的中线，所以，
在中，，
所以.
【小问2详解】
在中，，
由于，所以.
因为BD为角平分线，所以.
由，得，
即，解得.
18. 防疫抗疫，人人有责．随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增．下表是某口罩厂今年的月份x与订单y（单位：万元）的几组对应数据：
月份x 1 2 3 4 5
订单y
（1）求y关于x的经验回归方程，并估计该厂6月份的订单金额；
（2）已知甲从该口罩厂随机购买了4箱口罩，该口罩厂质检过程中发现该批口罩的合格率为，不合格产品需要更换．用X表示甲需要更换口罩的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考数据：；
参考公式：回归直线的方程是，其中，
【答案】（1），59.9万元
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知和参考数据求出即可得出经验回归方程，代入可估计该厂6月份的订单金额；
（2）由题意可得X的取值可能为0，1，2，3，4，且，求出X取不同值的概率即可得出分布列，求得期望．
【小问1详解】
由数据可得
，
故y关于x的经验回归方程为
当时，
估计该厂6月份订单金额为59.9万元．
【小问2详解】
依题意，随机变量X取值可能为0，1，2，3，4，且．
；；
；；
．
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
．
19. 已知数列的首项为3，且．
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】(1)对条件进行代数变换，即可证明 是等差数列；
(2)对 裂项求和即可.
【小问1详解】
因为 ，所，
则，所以数列是以 为首项，公差等于1的等差数列，
∴，即；
【小问2详解】
，
则；
综上，， .
20. 如图，在四棱锥中，，，，，，，都在平面的上方.
（1）证明：平面平面；
（2）若，且平面CDE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析. （2）2
【解析】
【分析】(1)先证平面，再证明平面平面.
(2)设AD长为t，建立空间直角坐标系，计算两个待求平面的法向量，代入公式求出t的值，然后计算四棱锥的体积.
【小问1详解】
，又
所以 ， ，所以平面，
又平面
所以，平面平面.
【小问2详解】
因为 ，结合(1)问易得 两两互相垂直，所以建立如图所示的坐标系
设AD=t ，则：
， ，
所以 ， ，设平面的法向量为
由 得
令 则
又平面ABE
所以取平面ABE的法向量为
解得 或 (舍).
即 ，所以四边形ABCD的面积 ，由题知
， ，平面ABCD
所以BE为四棱锥 的高，所以四棱锥的体积为
.
故四棱锥的体积为2.
21. 已知的右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，过点的直线与相交于两点.当轴时，.
（1）求的方程.
（2）若，是直线上一点，当三点共线时，判断直线的斜率是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【答案】（1）
（2）是定值，斜率为0
【解析】
【分析】（1）利用点到直线的距离求出，再根据通径求出，即可得解；
（2）设，直线方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意，即可得到，即可得到，从而得解；
【小问1详解】
解：根据对称性，不妨设到直线的距离为，
则，
令，则，解得，
所以当轴时，，则.
故的方程为.
【小问2详解】
解：设.
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立方程组，化简得，
由，得，则
设，因为三点共线，所以，整理得.
因为，
所以，即直线AN斜率为定值0.
当直线AB的斜率为0时，A，B，M，N都在x轴上， 则直线AN的斜率为定值.
综上所述，直线AN的斜率为定值0.
22. 已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)求函数的导函数，再求函数的解，结合极值点的定义，求极值点和极值；
(2)利用导数分析函数的单调性，求其最小值，再利用导数证明即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
因为，所以，其中，
由题可知，令，得.
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
故在处取得极小值，极小值为，无极大值.
【小问2详解】
因为，其中，
.
令，则，即在上单调递增.
因为，，，
则存在，使得，即，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
从而，
则.
令，
则，
即在上单调递增，所以，
所以当时，.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2021～2022学年高二下学期期末联合考试
数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
2. 随机变量X服从正态分布，且，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
3 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知椭圆左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
6. 抛物线上一点P到原点的距离为，则P到焦点的距离为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 计算（ ）
A. B. C. D.
8. 某圆锥的母线长为4，高为3，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知P是直线l：x＋y－7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：相切，切点分别为A，B.则｜AB｜的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10. 随机变量X的分布列如下所示．
X 1 2 3
P a 2b a
则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知向量，，满足，，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
12. 援鄂医护人员A，B，C，D，E，F共6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和当地的一位领导共7人站成一排拍照，则领导和队长A相邻且不站两端，B与C相邻，B与D不相邻的排法种数为（ ）．
A. 120 B. 240 C. 288 D. 360
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ______．
14. 若函数图象在点处的切线恰好经过点（2，3），则a＝______．
15. 某学校高一 高二 高三的学生人数之比为，这三个年级分别有的学生获得过奖学金，现随机选取一名学生，此学生恰好获得过奖学金，则该学生是高二年级学生的概率为___________.
16. 科学记数法是一种记数的方法．把一个数表示成与10的次幂相乘的形式，其中，．当时，．若一个正整数的16次方是12位数，则______．（参考数据：，）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在中.AB＝2，AC＝，BC＝4，D为AC上一点.
（1）若BD为AC边上的中线，求BD；
（2）若BD为∠ABC的角平分线，求BD.
18. 防疫抗疫，人人有责．随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增．下表是某口罩厂今年的月份x与订单y（单位：万元）的几组对应数据：
月份x 1 2 3 4 5
订单y
（1）求y关于x的经验回归方程，并估计该厂6月份的订单金额；
（2）已知甲从该口罩厂随机购买了4箱口罩，该口罩厂质检过程中发现该批口罩的合格率为，不合格产品需要更换．用X表示甲需要更换口罩的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考数据：；
参考公式：回归直线的方程是，其中，
19. 已知数列的首项为3，且．
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
20. 如图，在四棱锥中，，，，，，，都在平面上方.
（1）证明：平面平面；
（2）若，且平面CDE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.
21. 已知的右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，过点的直线与相交于两点.当轴时，.
（1）求的方程.
（2）若，是直线上一点，当三点共线时，判断直线的斜率是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
22. 已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）证明：当时，.
