封闭图形中的植树问题（教案）-五年级上册数学人教版

五上第七单元第三课时《封闭图形中的植树问题》
《封闭图形中的植树问题》
【主题与课时】
人教版五年级上册第七单元第三课时《封闭图形中的植树问题》。
【课标要求】
《义务教育数学课程标准》（2022）版关于综合与实践的要求指出：尝试在真实的情境中发现和提出问题，探索运用基本的数量关系，以及几何直观、逻辑推理和其他学科的知识、方法分析与解决问题，形成模型意识和初步的应用意识、创新意识。
【教材学情分析】
本单元的数学广角主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，借助线段图等手段让学生从中发现规律，并建构成数学模型，最后进行应用，来解决生活中的一些实际问题。
植树问题共分为三个例题，例1呈现的是在小路一旁植树，且两端都栽的情形；例2是在小路两旁栽树，且两端都不栽的情形；在做一做中，还配套了在小路一旁一端栽、一端不栽的植树情形。为了表述更加简洁，可以把以上植树问题统称为“线段植树”。而例3不一样，它不是“线段植树”，而是“封闭植树”，指的是在一条首尾相接的封闭曲线上的植树问题，教材继续渗透化繁为简的思想和画图的策略，并借助小精灵的问题“如果把圆拉直成线段，你能发现什么？”启发学生联系已有的“线段植树”和现在的“封闭植树”，同时也渗透了转化的数学思想方法。
学生在前面已经掌握了“线段植树”的三种类型，了解了栽的棵数与间隔数之间的关系。在学习的过程中，学生能感受化繁为简的魅力，以及画图策略的直观性，它们能将复杂的问题简单化，进而从中发现规律，抽取出数学模型，找到解决植树问题的方法。本课时继续沿用这样的学习方法去研究封闭图形上的植树问题。如何让学生建立起封闭植树和线段植树的联系，在头脑中建立解决此类问题的模型是教学的重难点。
【学习目标】
1、通过猜测、验证、应用等数学探究活动，引导学生经历解决封闭图形中的植树问题的全过程，理解封闭植树就相当于线段植树中的一端栽、一端不栽，从而建构封闭植树的数学模型。
2、继续渗透化繁为简的数学思想方法和画图的策略，培养学生从实际问题中探索规律,从而解决问题的能力。
3、让学生感受数学在日常生活中的广泛应用,使学生感受到数学的价值,激发学生学习数学的兴趣。
【评价任务】
1、完成任务一，检测目标2。
2、完成任务二，检测目标1。
3、完成任务三，检测目标3。
4、完成检测练习，检测目标1、2、3。
【资源与建议】
1、继续渗透化繁为简的数学思想，以及画图的解题策略。
2、放手让学生自主探究。学生已经有了前面“线段植树”的学习经验，此时可以大胆放手让学生自主探究，在初步得出猜想后，顺势让学生去验证，最终得出结论。
3、注重模型的对比和沟通。学生能很容易记住“封闭植树”是“棵树=间隔数”，但往往只是机械记忆，如何进行有效记忆，就需要教师引导学生去沟通“封闭植树”和“线段植树（一端栽、一端不栽）”之间的联系，这样才能方便学生理解和记忆。
【关键问题】
1、在圆形池塘周围栽树，为什么“棵树=间隔数”？
2、你用什么方法验证“棵树=间隔数”这个猜想？
3、如果是其他形状的池塘，比如三角形、长方形、或一些不规则形状，也有这样的规律吗？
【学习过程】
任务一：初步感知，提出猜想
（指向目标1、2）
出示例题：张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要载多少棵树？
思考（1）这题和我们之前学过的植树问题一样吗？哪里不同？
思考（2）周长120m，每隔10m栽一棵，如果画图给你什么感受？
预设：可以化繁为简，选周长短点（整十数）的池塘先画图试试看。
汇报展示：
学生作品1：周长是40m，每隔10m栽一棵，有4个间隔，能栽4棵。
学生作品2：周长是60m，每隔10m栽一棵，有6个间隔，能栽6棵。
……
汇报展示：
学生作品1：周长是40m，每隔10m栽一棵，有4个间隔，能栽4棵。
学生作品2：周长是60m，每隔10m栽一棵，有6个间隔，能栽6棵。
……
思考（3）观察以上同学的作品，你有什么想法？
预设：在圆形池塘周围栽树，棵树=间隔数。
【设计意图：学生已有“线段植树”的学习经验，在比较例3和前面的例1例2不同之后，教师便可引导学生借助已有的方法进行探究学习。通过化繁为简，数形结合，学生初步发现“棵树=间隔数”的规律，但这只是个猜想，正确与否，还需验证！】
任务二：大胆探究，验证猜想
（指向目标1）
1、布置学习任务
思考（1）在圆形池塘周围栽树，我们通过画图举了几个例子，发现“棵树=间隔数”，但这只是个猜想，还需我们去验证。
2、汇报展示
作品一：我又画了两种，周长70米有7个间隔，能栽7棵树；周长100米有10个间隔，能栽10棵树；我觉得在圆形池塘周围栽树“棵树=间隔数”。
思考（1）继续画图思考，真不错！但仅凭这些就能说明在圆形池塘周围栽树“棵树=间隔数”？
预设：我认真思考过，不管是多少米，都是有几个间隔，就有几棵树。如果再多10米，就再多1个间隔，再多1棵树，结果都是“棵树=间隔数”。
思考（2）如果不是每隔10米栽一棵树数了，假如周长40米的池塘变成每隔5米栽一棵树，还是吗？
思考（3）假如50米的池塘变成每隔2米栽一棵树，还是吗？
小结：改变周长，改变间隔的米数，通过列举，发现举出的例子都是“棵树=间隔数”，而且发现举不出不符合的例子，所以我们可以认为“棵树=间隔数”。
作品二：周长40米，一棵树对应一个间隔，所以“棵树=间隔数”，我觉得不管周长是多少，都是一棵树对应一个间隔。
思考（4）我们来看看刚才画的几幅图，找一找是否也是一棵树对应一个间隔？
小结：一棵树对应一个间隔，棵树和间隔数是一一对应的，所以“棵树=间隔数”。
作品三：沿第一棵树的旁边剪开，把它拉直，就是一端栽、一端不栽，所以我认为“棵树=间隔数”。
思考（5）为什么拉直后是一端栽？另一端不栽？上台指一指，一端栽是圆形的哪里，一端不栽又是圆形的哪里？
小结：通过把圆拉直成线段，我们发现在池塘周围栽树就是我们前面学过的在线段上“一端栽、一端不栽”的情况，所以“棵树=间隔数”。
作品四：我借助灯带，发现把“一端有、一端没有”的围在圆的周围刚好，这个灯就相当于是树，这种在圆形上植树就相当于是“一端栽、一端不栽”的情况，所以我也认为“棵树=间隔数”。
3、对比辨析，小结方法
得出结论：在圆形池塘周围栽树，棵树=间隔数。
【设计意图：有了猜想，就引导学生动手操作去验证。学生的想法是丰富的，但针对小部分无想法的学生，我借助装饰为他们提供了三种灯带模型，这其实就是“线段植树”的三种类型，学生会思考哪条灯带围起来会比较合适，从而架构起从“封闭植树”到“线段植树”的桥梁，让每个孩子都参与到课堂中来。此环节的教学，学生通过“继续画”、“找对应”、“剪开圆”、“用灯带围”等方法自由开放地去验证，课堂呈现出热闹的场面，同时，也能让学生的思维从直观向抽象进行过渡，直至数学模型的建立。】
任务三：迁移类推，总结规律
（指向目标1、2）
1、组织讨论
思考（1）例题中的池塘是圆形的，我们发现“棵树=间隔数”，如果是其他形状的池塘，比如三角形、长方形、或一些不规则形状，也有这样的规律吗？
预设：我们可以把圆拉直成线段，也可以把这些图形拉直成线段，都可以看成我们前面学过的“一端栽、一端不栽”，都是“棵树=间隔数”。
2、得出结论
像这样在一条首尾相接的封闭曲线上植树，不管它是什么形状，我们都可以把它拉直成线段，看成我们前面学过的在线段上植树“一端栽、一端不栽”的情形，都是“棵树=间隔数”。
3、解决例题
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要载多少棵树？
预设：120÷10=12（棵）
【设计意图：有了在圆形池塘上的“棵树=间隔数”，再顺势类推到其他形状的池塘，组织学生进行交流讨论，各抒己见，最终达成共识，完善对“封闭植树”的认识。最后，让学生应用规律解决原先“数据庞大”的植树问题，提高学生对数学学习的兴趣。】
任务四：课堂回顾，总结方法
例题→化繁为简，画图尝试→得出猜想→动手验证→得出结论→解决问题
【作业与检测】
【反思】
本节课，我注重数学思想方法的渗透。
如何将复杂的问题转化成简单的问题进而发现规律，这是解决植树问题基本的思想和有效方法，本节课，我继续引导学生“化繁为简”。而这一数学思想，也从始至终贯穿在整个单元的学习中。
在验证环节，学生普遍会想到我再画几个看看是否符合，但随着周长和间隔米数的改变，实则是画不完的。此时，我引导学生思考画了这么多，能不能画出一个不符合的例子呢？自然是画不出的，这就向学生渗透了小学数学中经常用到的“不完全归纳法”。随着交流的深入，学生会想到把圆剪开，拉直成线段，把“封闭植树”转化成“线段植树”。
其实，植树问题只是一个载体，解决问题不仅仅只是解决问题，而是通过解决这一个问题，给孩子们留下的不只是规律、模型，更是数学学习的方法和研究问题的意识。