第二章 轴对称培优专题 线段垂直平分线、角平分线的应用同步练习（含解析）

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第二章 轴对称
培优专题 线段垂直平分线、角平分线的应用
类型1 线段垂直平分线的应用
1.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B的度数为( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
2.如图,在△ABC中,∠BAC＞90°，分别以点 A，B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于点 D，E，作直线 DE，交BC于点M；分别以点 A，C为圆心，以大于 AC长为半径画弧，两弧交于点 F，G，作直线FG,交 BC 于点 N.连接AM,AN.若∠BAC=α,则 ∠MAN=___________.
类型2 角平分线的应用
3.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4，则四边形ABCD的面积是( )
A.24 B.30 C.36 D.42
4.如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为40,50,60.其三条角平分线交于点 O,则
5.已知:在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.
(1)如图1,求∠BDC的度数;
(2)如图2,连接AD,作 DE⊥AB,DE=2,AC=4,求△ADC的面积.
类型3 线段垂直平分线与角平分线的综合应用
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,点 D,P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是( )
A. AD=CD B.∠ABP=∠CBP C.∠BPC=115° D.∠PBC=∠A
7.如图,在△ABC中,AB=AC,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作∠BAC的平分线AM交 BC 于点 D;
②作边 AB的垂直平分线 EF,EF与AM 相交于点P；
③连接PB,PC.
请你观察图形解答下列问题：
(1)线段 PA,PB,PC之间的数量关系是_______________;
(2)若∠ABC=70°,求∠BPC的度数.
参考答案
1. B【解析】因为DE垂直平分AC,所以AD=CD.所以∠ACD=∠A=50°.
又因为CD平分∠ACB,所以∠ACB=2∠ACD=100°.
所以∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-50°-100°=30°.故选B.
2.2α-180°【解析】由作法得DE垂直平分AB,FG垂直平分AC,所以MA=MB,NA=NC.
所以∠MAB=∠B,∠NAC=∠C.所以∠MAN=∠BAC-∠MAB-∠NAC=∠BAC-(∠B+∠C).
因为∠B+∠C=180°-∠BAC,所以∠MAN=∠BAC-(180°-∠BAC)=2∠BAC-180°=2α-180°.
故答案为2α-180°.
B【解析】过D作DH⊥AB交BA 的延长线于点 H,因为 BD平分∠ABC,∠BCD=90°,所以DH=CD=4.
所以四边形 ABCD的面积 故选B.
4.4:5:6 【解析】如图,利用角平分线的性质作OD⊥AB于点D,OE⊥BC于点E.
因为BO平分∠ABC,所以OD=OE.所以=40:50=4:5.
同理 =5:6.所以
5.解:(1)因为BD平分∠ABC,所以
因为CD平分∠ACB,所以
所以∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-30°-20°=130°.
(2)作 DF⊥AC 于点F,DH⊥BC 于点H,如图.
因为BD平分∠ABC,DE⊥AB,DH⊥BC,所以DH=DE=2.
因为CD平分∠ACB,DF⊥AC,DH⊥BC,所以DF=DH=2.
所以△ADC的面积
6. D 【解析】由作图可知，点D在AC的垂直平分线上，所以DA=DC,故选项 A正确.
所以∠A=∠ACD=40°.
由作图可知,BP平分∠ABC,所以∠ABP=∠CBP,故选项B正确.
因为AB=AC,∠A=40°,所以
因为 =30°.
所以∠BPC=180°-35°-30°=115°,故选项C正确.
因为∠PBC=35°,∠A=40°,所以∠PBC≠∠A,故选项D错误.故选D.
7.解:(1)PA=PB=PC
(2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=70°.所以∠BAC=180°-2×70°=40°.
因为AM平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD=20°.
因为PA=PB=PC.所以∠ABP=∠BAP=∠CAP=∠ACP=20°.
所以∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°.
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