八年级数学上册试题 2.6 实数 北师大版（含答案）

2.6 实数
一．选择题
1．如图所示，以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是（　　）
A．﹣1 B．2﹣ C．2﹣2 D．1﹣
2．把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　）
A． B． C． D．﹣
3．如图所示，AB＝2，则数轴上点C表示的数为（　　）
A．3 B．5 C． D．
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0
5．如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别1，，则⊙A的直径长为（　　）
A．﹣1 B．1﹣ C．2﹣2 D．2﹣2
6．对于实数a和b，定义两种新运算：①a*b＝（|a﹣b|+a+b），②a b＝a11b，则（5 3）*（3 5）＝（　　）
A．355 B．533 C．533﹣355 D．533+355
7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞﹣1 B．ab＞0 C．b＜﹣a D．|a|＜|b|
二．填空题
8．如图，数轴上A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1．过点B作BC⊥AB，且BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为 　 　．
9．已知实数a满足|2011﹣a|+＝，求a﹣20112的值为　 　．
10．点A表示﹣，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬一个单位到达点B，则B表示的数为　 　．
11．如图，在数轴上找到表示﹣3的点B，过点A作AB⊥OB，AB＝2，以O为圆心，OA为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C在数轴上表示的数是　 　．
12．把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是　 　．
13．在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：x≤y时，x★y＝x2；x＞y时，x★y＝y．则当z＝﹣3时，代数式（﹣2★z） z﹣（﹣4★z）的值为　 　．
14．一个长为3，宽为2的长方形从表示﹣1的点开始绕着逆时针翻转90°到达E点，则E点所表示的数是　 　．
15．①点M在数轴上与原点相距个单位，则点M表示的实数为　 　，
②数轴上到的点距离为的点所表示的数是　 　．
三．解答题
16．把下列各数分别填入相应的横线上．
﹣5、|﹣|、0、﹣3.14、、﹣12、﹣、+1.99、﹣（﹣6）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）
（1）整数：　 　．
（2）分数：　 　．
（3）无理数：　 　．
17．（1）已知实数m，n满足|n﹣2|+＝0，则mn的值为多少？
（2）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，t的算术平方根为2，求2+﹣t的值．
18．请用直尺与圆规在下面的数轴上画出表示的点（不写作法，但要保留清晰的作图痕迹）．
19．如图，数轴上点A，C对应的实数分别为﹣4和4，线段AC＝8cm，AB＝2cm，CD＝4cm，若线段AB以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1cm/秒的速度向左匀速运动．
（1）问运动多少秒时BC＝2cm？
（2）线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间？
（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD﹣AP＝3PC．若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
20．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，
例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；
而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和5两点之间的距离　 　．
（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝　 　．
（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝　 　．
21．如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14．
（1）填空：点H在数轴上表示的数是　 　，点A在数轴上表示的数是　 　．
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值．
（3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值．
22．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab++e2+的值．
23．阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；
当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
如图3，当点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
如图4，当点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是　 　数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是　 　．
（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣4，则点A和B之间的距离是　 　，若|AB|＝3，那么x为　 　．
（3）当x是　 　时，代数式|x+2|+|x﹣1|＝7．
（4）若点A表示的数﹣1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点？（请写出必要的求解过程）．
24．我们知道，在数轴上|a|表示数a所对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，由此我们可进一步地来研究数轴上任意两个点之间的距离，一般地，如果数轴上两点A、B 对立的数用a，b表示，那么这两个点之间的距离AB＝|a﹣b|．也可以用两点中右边的点所表示数的减去左边的点所表示的数来计算，例如：数轴上P，Q两点表示的数分别是﹣1和2，那么P，Q两点之间的距离就是 PQ＝2﹣（﹣1）＝3．
启发应用
如图，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0
（1）求线段AB的长；
（2）如图，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝x﹣8的解，
①求线段BC的长；
②在数轴上是否存在点P使PA+PB＝BC？若存在，直接写出点P对应的数：若不存在，说明理由．
25．如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a﹣30|+（b+6）2＝0．点O是数轴原点．
（1）点A表示的数为　 　，点B表示的数为　 　，线段AB的长为　 　．
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则点C在数轴上表示的数为　 　．
（3）现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到O点时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？
答案
一．选择题
B．B．C．B．C．A．C．
二．填空题
8．．
9．2012．
10．﹣+1．
11．﹣．
12．．
13．﹣7
14．﹣3．
15．±； 0或﹣2．
三．解答题
16．（1）﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6），
（2）|﹣|、﹣3.14、、+1.99，
（3）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
17．解：（1）∵|n﹣2|≥0，≥0，
又∵|n﹣2|+＝0，
∴|n﹣2|＝0，＝0．
∴n＝2，m＝﹣3．
∴mn＝（﹣3）2
＝9．
∴mn的值为9．
（2）∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，t的算术平方根为2，
∴ab＝1，c+d＝0，t＝4．
∴2+﹣t
＝2+0﹣4
＝﹣2．
∴2+﹣t的值为﹣2．
18．解：如图．
（1）在数轴上找到表示3的点B；
（2）过点B作垂线段，使得垂线段AB＝2；
（3）连结OA，则OA＝；
（4）以O为原点，OA长为半径画圆交数轴于点P，则P点为表示的点．
19．解：（1）设运动t秒时，BC＝2cm，
①当点B在点C的左边时，由题意得：3t+2+t＝6，解得：t＝1；
②当点B在点C的右边时，由题意得：3t﹣2+t＝6，解得：t＝2．
∴t的值是1或2．
（2）（2+4）÷（3+1）＝1.5（秒）．
答：线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开，共经过1.5秒的时间．
（3）存在关系式BD﹣AP＝3PC．
设运动时间为t秒，
①当t＝时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD＝CD＝4，
PA+3PC＝AB+2PC＝2+2PC，
当PC＝1时，BD＝AP+3PC，即 BD﹣AP＝3PC；
②当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2；
当点P在线段BC上时，
BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，
AP+3PC＝AC+4PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣BC+4PC
当PC＝时，有BD＝AP+3PC，即 BD﹣AP＝3PC．
③当t＝时，点A与点C重合，
0＜PC≤2，BD＝CD﹣AB＝2AP+3PC＝4PC，
当PC＝时，有BD＝AP+3PC，即BD﹣AP＝3PC，
∵P在C点左侧或右侧
∴PD的长有2种可能，即5或3.5．
20．解：（1）根据题意知数轴上表示﹣2和5两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7，
故答案为：7；
（2）∵|x﹣1|＝3，即在数轴上到表示1和x的点的距离为3，
∴x＝﹣2或x＝4，
故答案为：﹣2或4；
（3）∵|x﹣2|+|x+4|表示在数轴上表示x的点到﹣4和2的点的距离之和，且x位于﹣4到2之间，
∴|x﹣2|+|x+4|＝2﹣x+x+4＝6，
故答案为：6．
21．解：（1）由题意可得，点H在数轴上表示的数为：5+10＝15；
点A在数轴上表示的数为：5﹣14﹣6＝﹣15．
故答案为：15；﹣15．
（2）∵点M是线段AD的中点，
∴点M表示的数为5﹣14﹣＝﹣12，
又∵EN＝EH，
∴点N在数轴上表示的数为：5+（15﹣5）＝，
由题意可得，x秒时，
点M在数轴上表示的数为：﹣12+4x，
点N在数轴上表示的数为：﹣3x，
∴OM＝|4x﹣12|，ON＝|3x﹣|，
∵OM＝2ON，
∴|4x﹣12|＝2|3x﹣|
∴4x﹣12＝2（3x﹣）或4x﹣12＝﹣2（3x﹣），
解得x＝或x＝．
故答案为：或．．
（3）当CD与EF重合时，所用时间为＝7秒，
由题意得：AD与EH重合的部分为＝4，如图1所示，
设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t1秒，
∴t1＝＝2，
∴第一次重叠面积为12时，时间t为2+7＝9（秒）；
当AD与EH重叠部分为4时，如图2所示，
设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t2秒，
∴t2＝＝6，
∴第二次重叠面积S＝12时，时间t为6+7＝13（秒）；
∴当长方形ABCD与长方形EFGH重叠部分的面积为12时，t的值为9或13．
22．解：由题意可知：ab＝1，c+d＝0，e＝±，f＝64，
∴e2＝（±）2＝2，，
∴ab++e2+＝+0+2+4＝6．
23．解：（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是|6﹣1|＝5，
数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|＝5．
（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣4，
则点A和B之间的距离是|x+4|，若|AB|＝3，
则|x+4|＝3，解得x＝﹣1或﹣7．
（3）当x＞1时，|x+2|+|x﹣1|＝x+2+x﹣1＝7，2x＝6，x＝3，
当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣1|＝﹣x﹣2+1﹣x＝7，﹣2x＝8，x＝﹣4，
当﹣2≤x≤1时，|x+2|+|x﹣1|＝x+2+1﹣x＝3≠7，∴当x＝﹣4或3时，代数式|x+2|+|x﹣1|＝7．
（4）设运动t秒后，有一点恰好是另两点所连线段的中点，由题意，得
①点B为线段PQ中点时，，解得，
②点P为线段BQ中点时，，解得，
③点Q为线段BP中点时，，解得t＝5．
答：运动或或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
24．解：（1）由题意得|a+3|+（b﹣2）2＝0，
所以a+3＝0，b﹣2＝0，
解得，a＝﹣3，b＝2，
所以AB＝2﹣（﹣3）＝5；
（2）①2x+1＝x﹣8，
解得，x＝﹣6，
∴BC＝2﹣（﹣6）＝8，
即线段BC的长为8；
②存在点P，当点P对应的数是3.5或﹣4.5使PA+PB＝BC．
25．解：（1）∵|a﹣30|+（b+6）2＝0，
∴a﹣30＝0，b+6＝0，
解得a＝30，b＝﹣6，
AB＝30﹣（﹣6）＝36．
故点A表示的数为30，点B表示的数为﹣6，线段AB的长为36．
（2）点C在线段AB上，
∵AC＝2BC，
∴AC＝36×＝24，
点C在数轴上表示的数为30﹣24＝6；
点C在射线AB上，
∵AC＝2BC，
∴AC＝36×2＝72，
点C在数轴上表示的数为30﹣72＝﹣42．
故点C在数轴上表示的数为6或﹣42；
（3）经过t秒后，点P表示的数为t﹣6，点Q表示的数为，
（i）当0＜t≤6时，点Q还在点B处，
∴PQ＝t﹣6﹣（﹣6）＝t＝4；
（ii）当6＜x≤9时，点P在点Q的右侧，
∴（t﹣6）﹣[3（t﹣6）﹣6]＝4，
解得：t＝7；
（iii）当9＜t≤36时，点P在点Q的左侧，
∴3（t﹣6）﹣6﹣（t﹣6）＝4，
解得：t＝11．
综上所述：当t为4秒、7秒和11秒时，P、Q两点相距4个单位长度．
故答案为：30，﹣6，36；6或﹣42．