北师大版八年级数学上册试题 4.4一次函数的应用（含答案）

4.4一次函数的应用
一．选择题
1．如图，一个条形测力计不挂重物时长5cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y（cm）关于所挂物体质量x（kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（　　）
A．15 B．18 C．20 D．33
2．如图是甲、乙两个动点在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（　　）
A．点乙前3秒运动的路程为36cm
B．甲、乙两点到第3秒时运动的路程相等
C．甲、乙两点在第3秒时的速度相等
D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度
3．一根粗细均匀的蜡烛，开始燃烧后，剩下的长度y（厘米）与燃烧的时间x（分钟）的关系如图所示，根据图象得到下列信息，错误的是（　　）
A．这根蜡烛总长度是15厘米
B．这根蜡烛可燃烧30分钟
C．每分钟燃烧1厘米
D．燃烧10分钟后，剩下蜡烛长度是10厘米
4．甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．乙车出发2h后休息，当两车相遇时，两车立即按原速度继续向目的地行驶．设甲车行驶的时间为x（h），甲，乙两车到B地的距离分别为y1（km），y2（km），y1，y2关于x的函数图象如图．下列结论：①甲车的速度是km/h；②乙车休息了0.5h；③两车相距akm时，甲车行驶了h．正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．A、B相距90km，甲、乙两人沿相同的路由A到B，l1，l2分别表示甲、乙离开A地的距离s（km）与乙出发的时间t（h）之间的关系．说法正确的是（　　）
A．乙车出发1.5小时后甲才出发
B．两人相遇时，他们离开A地40km
C．甲的速度是30km/h
D．乙的速度是km/h
6．AB两地相距20km，甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发（　　）小时后与乙相遇．
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
7．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二．填空题
8．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡．甲、乙两卡所需费用y甲，y乙（单位：元）与入园次数x（单位：次）的函数关系如图所示．当x满足 　 　时，y甲＞y乙．
9．甲骑电动车从A地以匀速前往B地，到达B地后停止，在甲车出发的同时乙骑助力车从B地匀速前往A地，到达A地后停止，甲的速度比乙快．两人之间的距离y（千米）与甲出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示，根据图象得出下列信息：
①A，B两地相距15千米；
②甲从A地到B地用了45分钟；
③甲到达B地时，乙离A地还有4千米；
④甲骑电动车的速度为25千米/时．
其中正确的是 　 　．（写出所有正确的序号）
10．A、B两地相距480千米，甲车从A地匀速前往B地，乙车同时从B地沿同一公路匀速前往A地．甲车出发30分钟时发现自己有物件落在A地，于是立即掉头以原速返回取件，取件后立即掉头以原速继续匀速前行（掉头和取件时间忽略不计），两车之间相距的路程y（km）与甲车出发时间t（h）之间的函数关系如图所示．则当甲车到达B地时，乙车离A地的路程为 　 　千米．
11．小明和小杰在同一直道的A，B两点间作匀速往返走锻炼（忽略掉头等时间）．小明从A地出发，同时小杰从B地出发，两人第一次相遇时小明曾停下接电话数分钟．图中的折线表示从开始到小杰第一次到达A地止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系图象．则图中的b＝　 　米，d＝　 　分．
12.甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留），前往终点B地，甲、乙两车之间的距离S（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．下列说法其中正确的结论有 　 　．
①A、B两地相距210千米；②甲车速度为60千米/小时；③乙车速度为120千米/小时；④乙车共行驶小时．
13．在一条笔直的公路上有A，B，C三地，其中C地位于A，B两地之间．甲、乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象可得A，B两地之间的距离为 　 　km；当甲车出发 　 　h时，两车相距300km．
14．甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当甲车到达B地时，乙车距A地　 　千米．
15．甲、乙两小朋友都从A地出发，匀速步行到B地（A、B两地之间为笔直的道路），甲出发半分钟后，乙才从A地出发，经过一段时间追上甲，两人继续向B地步行，当甲、乙之间的距离刚好是70米时，乙立刻掉头以原速度向A地步行，半分钟后与甲相遇，乙又立刻掉头向B地以原速度步行（两次掉头时间忽略不计）．甲、乙相距的路程为y（米）与乙出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，当乙到达B地时，甲与B地相距的路程是　 　米．
16．甲、乙两人在同一条直线跑道AB上进行往返跑，甲从A地出发，乙从A、B之间的C地出发，且比甲晚出发1分钟，甲到达B地后，立即调头返回A地，并将速度降为原速的，而乙到达B地后仍以原速返回A地（甲、乙掉头的时间均忽略不计），两人之间的距离y（米）与甲的时间x（分）之间的部分函数关系如图所示，则当乙到达B地时，甲离A地的距离为　 　米．
三．解答题
17．小明与小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢．现在小明让小亮先跑若干米，图中l1，l2分别表示两人在赛跑中的路程与时间的关系（图象不完整）．试观察图象并回答下列问题：
（1）哪条线段是表示小明所跑的路程与时间的关系？
（2）小明让小亮先跑了多少米？
（3）谁会赢得这场比赛？
18．某商店销售一种商品，经市场调查发现：当该商品每件售价是50元时，可以销售100件，且利润为1000元；当该商品每件售价是60元时，可以销售80件，且利润为1600元．
（1）该商品每件进价是多少元？
（2）当用字母x表示商品每件售价，用字母y表示商品的销售量时，发现本题中x、y的值总是满足关系式：y＝kx+b，请同学们根据题目提供的数据求出k、b的值，并求出当商品每件售价为70元时，销售利润是多少元？
19．抗击疫情，我们在行动．某药店销售A型和B型两种型号的口罩，销售一箱A型口罩可获利120元，销售一箱B型口罩可获利140元．该药店计划一次购进两种型号的口罩共100箱，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍．设购进A型口罩x箱，这100箱口罩的销售总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型口罩各多少箱，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
（3）若限定该药店最多购进A型口罩60箱，则这100口罩的销售总利润能否为12540元？请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21.如图，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b经过点A（2，0），D（0，1），点B是第一象限的点且，过点B作BC⊥y轴，垂足为C，CB＝1．
（1）直线y＝kx+b的解析式；
（2）求点B坐标；
（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上存在另一个点N，且以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
22．如图，直线l：y＝x+b过点A（﹣3，0），与y轴交于点B，∠OAB的平分线交y轴于点C，过点C作直线AB的垂线，交x轴于点E，垂足是点D．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）求直线DE的函数关系式；
（3）设点P是y轴上一动点，当PA+PD的值最小时，请直接写出点P的坐标．
23．某山区的甲乙两地相距240km，一辆货车从甲地出发匀速开往乙地，货车出发2小时后，一辆小汽车从乙地出发匀速开往甲地，两车同时到达各自的目的地．已知两车行驶的路程之和y（km）与货车行驶的时间x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）货车的速度是 　 　km/h，a的值为 　 　，小汽车行驶了 　 　小时到达甲地；
（2）求小汽车出发后y与x之间的函数关系式，并写出b的值；
（3）当两车相距100km时，求货车行驶的时间．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且△ABC面积为15．
（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）若M为线段BC上一点，且△ABM的面积等于△AOB的面积，求M的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（2，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点P是线段AC上一动点，若直线BP把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点P的坐标；
（3）若点P是直线AC上一动点，点E是坐标轴上一动点，则是否存在动点P使以点B，C，P，E为顶点的四边形是以BC为一边的平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，BC＝10，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE，已知OC：OB'＝4：3．
（1）求点B'的坐标；
（2）求折痕CE所在直线的解析式；
（3）若点P是y轴上的一个动点，当△CPE为等腰三角形时，请求出点P的坐标．
答案
一．选择题
C．B．C．A．D．B．D．
二．填空题
8．x＞10．
9．①④．
10．80．
11．3600，62.5．
12．①②③．
13．480；．
14．100．
15．40．
16．．
三．解答题
17．解：（1）l2表示小明所跑的路程与时间的关系；
（2）观察图象可知，小明让小亮先跑了10米；
（3）由图象可知当小明跑了5秒时，小亮跑了40﹣10＝30（米），小明跑了35米，
所以小明的速度为：35÷5＝7（米/秒），小亮的速度为：30÷5＝6（米/秒）；
小明到达终点的时间是100÷7＝（秒），小亮到达终点的时间是（100﹣10）÷6＝15（秒），
∵＜15，
∴小明会赢得这场比赛．
18．解：（1）∵100件商品的利润为1000元，
∴一件商品的利润为1000÷100＝10（元），
50﹣10＝40（元），
∴该商品每件进价是40元；
（2）把x＝50，y＝100；x＝60，y＝80分别代入y＝kx+b得：
，解得：，
由题意得：，
解得：40≤x≤100，
∴y＝﹣2x+200（40≤x≤100），
当x＝70元时，y＝﹣2×70+200＝60，
销售利润为：（70﹣40）×60＝1800（元）．
∴，
当商品每件售价为70元时，销售利润是1800元．
19．解：（1）根据题意得，
y＝120x+140（100﹣x）＝﹣20x+14000，
答：y与x的函数关系式为：y＝﹣20x+14000；
（2）根据题意得，100﹣x≤3x，解得x≥25，
∵y＝﹣20x+14000，k＝﹣20＜0；
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝25时，y取最大值为﹣20×25+14000＝13500，则100﹣x＝75，
即商店购进A型口罩25箱、B型口罩75箱，才能使销售总利润最大，最大利润为13500元；
（3）根据题意得25≤x≤60，
∵y＝﹣20x+14000，k＝﹣20＜0；
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝60时，y取最小值为﹣20×60+14000＝12800，
∵12800＞12540，
∴这100箱口罩的销售总利润不能为12540元．
20．解：（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，
将C（0，12），A（8，4）代入得：
，解得，
∴直线AC解析式为y＝﹣x+12；
（2）过A作AH⊥OC于H，如图：
∵A（8，4），AH⊥OC，
∴AH＝8，
∵C（0，12），
∴OC＝12，
∴S△OAC＝OC AH＝×12×8＝48；
（3）存在，
①若M在线段OA上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为OA中点，
而A（8，4），
∴M（4，2），
②当M在射线AC上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为AC的中点，
而A（8，4），C（0，12），
∴M（4，8），
由等底同高的三角形面积相等可知，若M在C上方的射线AC上的M'处，CM'＝CM时，△OM'C的面积也等于△OAC的面积的，
此时C为线段MM'的中点，
而C（0，12），M（4，8），
∴M'（﹣4，16），
综上所述，M的坐标为：（4，2）或（4，8）或（﹣4，16）．
21．解：（1）∵A（2，0），D（0，1），
将点A、D的坐标代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴直线y＝kx+b的解析式：y＝﹣x+1；
（2）∵BC＝1，BC⊥y轴，
∴设B（1，m），
∵AB＝，
∴1+m2＝5，
解得m＝2（负值舍去），
∴B（1，2）；
（3）∵点N在x轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴BM∥x轴，且BM＝ON，
根据（1），点B的坐标为（1，2），
∴﹣x+1＝2，
解得x＝﹣2，
∴点M的坐标为（﹣2，2），
∴BM＝1﹣（﹣2）＝1+2＝3，
①点N在点O的左边时，ON＝BM＝3，
∴点N的坐标为（﹣3，0），
②点N在点O的右边时，ON＝BM＝3，
∴点N的坐标为（3，0），
③作N（﹣3，0）关于A对称的点N′，则N′也符合，
点N′的坐标是（7，0），
综上所述，点N的坐标为（﹣3，0）或（3，0）或（7，0）．
22．解：（1）把点A（﹣3，0）代入y＝x+b，得b＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
在 Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴AB＝＝5．
∵AC平分∠OAB，CD⊥AB，CO⊥OA，
∴CD＝CO，∠ACD＝∠ACO，
∵AC＝AC，
∴△ACD≌△ACO（SAS），
∴AD＝AO＝3，BD＝AB﹣AD＝2．
设CD＝CO＝m，则BC＝4﹣m，
在Rt△BDC中，
由勾股定理知，CD2+BD2＝BC2，
∴m2+22＝（4﹣m）2，
解得，m＝，
∴C（0，）；
（2）∵CD⊥AB，CO⊥OA，
∴∠CDB＝∠COE＝90°，
∵CD＝CO，∠BCD＝∠ECO，
∴△BCD≌△ECO（ASA），
OE＝BD＝2，
∴E的坐标（2，0），
∵C（0，），
设直线DE的函数关系式为y＝kx+，
∴0＝2k+，解得：k＝﹣，
∴直线DE的函数关系式为y＝﹣x+；
（3）作点A关于y轴对称的点A′，连接A′D交y轴于点P，即为所求的点P，此时，PA+PD的值最小，过点D作DF⊥BC于F，
∵CD＝CO＝，OB＝4，
∴BC＝，
∵CD⊥AB，BD＝2，
∴DF＝＝，
∵直线DE的函数关系式为y＝﹣x+，
∴D（﹣，），
∵A（﹣3，0），
∴A′（3，0），
设A′D的解析式为y＝k′x+b′，
∴，解得：，
∴A′D的解析式为y＝﹣x+，
当x＝0时，y＝，
∴点P的坐标为（0，）．
23．解：（1）由图象可得，
货车的速度是80÷2＝40（km/h），
a＝240+240＝480，
6﹣2＝4（小时），
小汽车行驶了4小时到达甲地，
故答案为：40，480，4；
（2）设小汽车出发后y与x之间的函数关系式为y＝kx+m，
由题意得：，
解得，
即小汽车出发后y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120，
∴当x＝3时，y＝100×3﹣120＝180，
∴b的值为180；
（3）当两车相遇前相距100km时，
y+100＝240，
即100x﹣120+100＝240，
解得，
当两车相遇后相距100km时，
y﹣100＝240，
即100x﹣120﹣100＝240，
解得，
24.解：（1）直线y＝x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，5），
即OA＝2，OB＝5，
∵△ABC面积为15，
∴（OA+OC） OB＝15，
∴OC＝4，
∴C（4，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+5；
（2）∵S△ACM＝S△ABC﹣S△ABM＝S△ABC﹣S△ABO＝15﹣×2×5＝10，
∴S△ACM＝×6×ym＝10，解得：ym＝，
解得：xm＝，
∴M（，）；
（3）∵A（﹣2，0），M（，），
设直线AM的表达式为y＝k′x+b′，
将点A、M的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
∴直线AM的表达式为：y＝x+2．
①当BC为平行四边形的边，四边形BCDE为平行四边形时，如图：
∵B（0，5），BE∥CD，BE＝CD，
∴点E的纵坐标是5，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．
∴x+2＝5，解得：x＝3，
∴E （3，5），
∴BE＝CD＝3，
∵C（4，0），
∴D（7，0）；
②当BC为平行四边形的边，四边形BDEC为平行四边形时，如图：过点E作EF⊥x轴于F，
∵四边形BDEC为平行四边形，
∴BC＝ED，∠DBC＝∠CED，BD＝EC，
∴△BDC≌△ECD（SAS），
∴EF＝OB，
∵B（0，5），
∴EF＝OB＝5，
∴点E的纵坐标是﹣5，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．
∴x+2＝﹣5，解得：x＝﹣7，
∴OF＝7，
在Rt△BOC和Rt△EFD中，
，
∴Rt△BOC≌Rt△EFD（HL），
∴DF＝OC，
∵C（4，0），
∴DF＝4，
∴OD＝4+7＝11，
∴D（﹣11，0）；
③当BC为平行四边形的对角线时，
∵B（0，5），BE∥CD，BE＝CD，
∴点E的纵坐标是5，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．
∴x+2＝5，解得：x＝3，
∴E （3，5），
∴BE＝CD＝3，
∵C（4，0），
∴D（1，0）．
综上，存在，满足条件的点D的坐标为（7，0）或（﹣11，0）或（1，0）．
25.解：（1）由得：A（﹣4，0），C（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）：
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝；
（2）∵A（﹣4，0），C（0，﹣2），B（2，0）．
∴AC＝6，
∴S△ABC＝×6×2＝6，
设P（m，），（﹣4＜m＜0），
①当S△ABP：S△BPC＝1：2时，即＝，
∴，
∴m＝，
∴；
当S△ABP：S△BPC＝2：1时，即＝，
∴，
∴m＝，
∴，
∴；
（3）以点B，C，P，E为顶点的四边形是以BC为一边的平行四边形，
设P（m，）（﹣4＜m＜0），
①如图，当E在y轴的正半轴上时，C也在y轴上，设对角线PB、CE的交点为Q，则点Q在y轴上，
∵四边形PEBC是平行四边形，
∴PQ＝BQ，
∵B（2，0），（m+2）＝0，
∴m＝﹣2，
代入P（m，）得＝﹣，
∴P1（﹣2，﹣）；
②如图，当E在y轴的负半轴上时，BP＝CE．BP∥y轴，
∵B（2，0），
∴m＝2，＝﹣3，
∴P2（2，﹣3）；
③如图，当E在x轴的负半轴上，EB为对角线，PA＝CA．
∵A（﹣4.0），P（m，），C（0．﹣2），
∴（m+0）＝﹣4，
解得：m＝﹣8，
∴＝2，
∴P3（﹣8，2）．
综上，存在，P1（﹣2，﹣），P2（2，﹣3），P3（﹣8，2）．
26．解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∵OC：OB'＝4：3，
设OC＝4x，则OB'＝3x，
∴B'C＝＝5x，
∵B'C＝BC＝10，
即5x＝10，
解得x＝2，
∴OB'＝3x＝6，
∴B'（6，0）；
（2）由（1）知，OC＝4x＝8，
∴C（0，8），
设AE＝a，则BE＝B'E＝8﹣a，AB'＝AO﹣OB'＝10﹣6＝4，
由勾股定理，得AE2+AB'2＝BE'2，
即a2+42＝（8﹣a）2，
解得a＝3，
∴E点坐标为（10，3），
设直线CE的解析式为y＝kx+b，
代入C点和E点坐标，得，
解得，
∴CE所在的直线解析式为y＝﹣x+8；
（3）由（2）知，C（0，8），E（10，3），
设P（0，t），
则CE＝＝5，CP＝|8﹣t|，EP＝，
若△CPE为等腰三角形，分以下三种情况：
①当CP＝CE时，
即|8﹣t|＝5，
∴t＝8+5或8﹣5，
故P点坐标为（8+5，0）或（8﹣5，0）；
②当CE＝EP时，
即5＝，
解得t＝﹣2或8，
故P点的坐标为（﹣2，0）或（8，0），
③当CP＝EP时，
即|8﹣t|＝，
解得t＝﹣，
故P点的坐标为（﹣，0）；
综上，当△CPE为等腰三角形时，P点的坐标为（8+5，0）或（8﹣5，0）或（﹣2，0）或（8，0）或（﹣，0）．