北师大版八年级数学上册试题 第一章《勾股定理》章节复习题 （含答案）

第一章《勾股定理》章节复习题
一．选择题
1．已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m和n（m＜n），过此三角形锐角的顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则有（　　）
A．m2+2mn+n2＝0 B．m2﹣2mn+n2＝0
C．m2+2mn﹣n2＝0 D．m2﹣2mn﹣n2＝0
2．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，4，6，8，10，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）
A．2，8，10 B．4，6，10 C．6，8，10 D．4，4，8
3．在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
4．已知直角三角形的斜边长为15，一直角边长为12，则另一条直角边长为（　　）
A． B．3 C．27 D．9
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点E，F在斜边AB上，且满足AE＝EF＝FB＝2，点P在直角边上，且满足PE+PF＝5，则这样的P点个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t表示移动的时间，若△POQ是等腰三角形，此时t的值是（　　）
A．6或12 B．4或12 C．4或6 D．6或8
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD的长度是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．若Rt△ABC的两边a，b满足+（b﹣4）2＝0，则它的第三边c为（　　）
A．5 B． C． D．5或
9．三个正方形的面积如图所示，则S的值为（　　）
A．3 B．12 C．9 D．4
二．填空题
10．在直角三角形ABC中，若AB＝8，AC﹣BC＝2，则三角形ABC的面积为 　 　．
11．如图，在△ABC中，高AD与中线CE相交于点F，AD＝CE＝6，FD＝1，则BC＝　 　．
12．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，C的面积分别为10，16，则正方形B的边长是 　 　．
13．如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1+S2＝51，则图中阴影部分面积为　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为　 　．
15．已知一个直角三角形的两边长分别是a，b且a，b满足+|b﹣4|＝0．则斜边长是　 　．
16．如图，将“赵爽弦图”向内部进行多次“构造”：在正方形ABCD中，AB＝1，作Rt△ABA1≌Rt△BCB1≌Rt△CDC1≌t△DAD1，得到第1次构造的正方形A1B1C1D1，然后在正方形A1B1C1D1中作Rt△A1B1A2≌Rt△B1C1B2≌Rt△C1D1C2≌Rt△D1A1D2得到第2次构造的正方形A2B2C2D2，…，依次下去，如果A1B＝2A1A，A2B1＝2A2A1，A3B2＝2A3A2，…，则第4次构造所得的正方形A4B4C4D4的面积等于 　 　．
三．解答题
17．如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．
18．某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒1个单位，移动至拐角处调整方向需要0.5秒（即在B、A处拐弯时分别用时0.5秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．
（1）点C到AB边的距离是　 　；
（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
19．已知关于x的方程：x2﹣（6+m）x+9+3m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程都有实数根．
（2）若该方程的两个实数根恰为斜边为5的直角三角形的两直角边长，求m的值．
20．如图，已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为AB边上一动点（不与点A、B重合），过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N．
（1）判定四边形CMPN的形状，并说明理由；
（2）直接写出点P的运动过程中，线段MN的长度的取值范围．
21．如图，每小个正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称格点，△ABC的顶点都是在格点上．
（1）求△ABC的周长；
（2）求△ABC的面积．
22．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．若AB＝10，CD＝6，求BC的长．
23．已知：如图，△ABC的面积为84，BC＝21，现将△ABC沿直线BC向右平移a（0＜a＜21）个单位到△DEF的位置．
（1）求BC边上的高；
（2）若AB＝10，
①求线段DF的长；
②连接AE，当△ABE是等腰三角形时，求a的值．
24．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）若AC＝2，求AB的长．
25．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时？有DC2＝AE2+BC2．
答案
一．选择题
C．B．B．D．B．B．A．D．C．
二．填空题
10．15或60．
11．5．
12．．
13．．
14．3或或2．
15．5或4．
16．．
三．解答题
17．解：连接AC，如下图所示：
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝AB BC+AC CD＝×3×4+×5×12＝36．
18．解：（1）△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∵AB＝5，BC＝3，
∵52＝AC2+32，
∴AC＝4，
∴点C到AB边的距离＝＝＝2.4；
故答案为：2.4；
（2）存在，使△PBC为等腰三角形时，P在AB上或在AC上，
当P在AB上时，
①BC＝BP，
∵BP＝t﹣0.5﹣3，
∴t﹣0.5﹣3＝3，
解得：t＝6.5；
②CB＝CP，如图1，
过点C作CD⊥AB于D，则BD＝PD，
由（1）知：CD＝2.4，
∵BC＝3，
∴BD＝＝1.8，
∴BP＝3.6，
∴t＝3.6+3+0.5＝7.1；
③PB＝CP，
∴∠B＝∠PCB，
∵∠ACP+∠PCB＝∠A+∠B＝90°，
∴∠ACP＝∠A，
∴AP＝CP＝BP＝2.5，
∴t＝2.5+0.5+3＝6；
当P在AC上，CB＝CP＝3，
∴t＝3+5+0.5+0.5+4﹣3＝10．
综上所述，t的值为6.5或7.1或6或10．
19．（1）证明：∵关于x的方程x2﹣（6+m）x+9+3m＝0的判别式Δ＝（6+m）2﹣4（9+3m）＝m2≥0，
∴无论m为何值方程都有两个实数根；
（2）解：∵直角三角形的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，
∴AB+AC＝m+6，AB AC＝9+3m，
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴（AB+AC）2﹣2AB AC＝BC2，
即（m+6）2﹣2×（9+3m）＝52，
解得：m＝﹣7或m＝1，
又∵AB AC＝9+3m，m为正数，
∴m的值是1．
20．解：（1）四边形CMPN是矩形
理由：∵AC2+BC2＝52+122＝169＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，
∴∠CMP＝∠CNP＝90°，
∴∠ACB＝∠CMP＝∠CNP＝90°，
∴四边形CMPN是矩形；
（2）当MN⊥AC时，MN有最小值，最小值为：，
MN＜BC，
∴线段MN的长度的取值范围为：．
21．解：（1）由勾股定理得：，，，
∴△ABC的周长＝；
（2）由（1）可知，AC2+AB2＝（）2+（）2＝20，BC2＝（2）2＝20，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴．
22．解：∵△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，AB＝10，CD＝6，
∴AC＝AB＝10．
设BD＝x，则AD＝10﹣x，
在Rt△ACD中，
∵AC2＝CD2+AD2，即102＝62+（10﹣x）2，解得x＝2．
在Rt△BCD中，
∵BC2＝CD2+BD2，即BC2＝62+22＝40，
∴BC＝＝2．
23．解：（1）作AM⊥BC于M，
∵△ABC的面积为84，
∴×BC×AM＝84，
解得，AM＝8，即BC边上的高为8；
（2）①在Rt△ABM中，BM＝＝6，
∴CM＝BC﹣BM＝15，
在Rt△ACM中，AC＝＝17，
由平移的性质可知，DF＝AC＝17；
②当AB＝BE＝10时，a＝BE＝10；
当AB＝AE＝10时，BE＝2BM＝12，
则a＝BE＝12；
当EA＝EB＝a时，ME＝a﹣6，
在Rt△AME中，AM2+ME2＝AE2，
即82+（a﹣6）2＝a2，
解得，a＝，
则当△ABE是等腰三角形时，a的值为10或12或．
24．解：（1）∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
（2）∵AC＝2，
∴AD＝AC sin∠C＝2×sin45°＝；
∴AB＝＝＝．
25．解：如图，连接CD，
设AE＝x米，
∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米，
∴AC＝12米，
∴EC＝（12﹣x）米，
∵正方形DEFH的边长为2米，即DE＝2米，
∴DC2＝DE2+EC2＝4+（12﹣x）2，
AE2+BC2＝x2+36，
∵DC2＝AE2+BC2，
∴4+（12﹣x）2＝x2+36，
解得：x＝米，
答：当AE为米时，有DC2＝AE2+BC2．