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组合与组合数（2）
高二年级 数学
排列 组合
定义 从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象，按照一定顺序排成一列. 从n个不同对象中，取出m（m≤n）个对象，并成一组.
相同点 从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象 不同点 与对象的顺序有关 （先选后排） 与对象的顺序无关
（只选不排）
【复习回顾】
【复习回顾】
组合数的公式和性质
公式：
性质1： （对称性）；
性质2： （合二为一）.
主要用于化简变换，
和简化计算.
例1.计算： .
灵活运用组合数的性质，可以达到化简算式，简化计算的效果
例2.辨析下列问题是排列问题，还是组合问题. 你能否对题目稍作改动，将问题的类型改变？
（1）a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
4支球队中有2支球队，一个是冠军，另一个是亚军.
（对2支球队有顺序要求）
问题等同于“从4个对象中任取2个按先后顺序排成一列”，
是“排列”问题，有 种结果.（如何改编？）
改编：
a，b，c，d四支足球队进行单循环比赛，共需赛多少场？
单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛.
与选取的顺序无关
等同于“从4个不同对象中任取2个并成一组”
变成了“组合”问题，需打 场.
（2）北京地铁四号线是南北走向的双向地铁，线路南起公益西桥站，北至安河桥北站，全线共设24座车站，若某人在“公益西桥站开往安河桥北站”方向的列车上，从一个站上车，另一个站下车，求有多少种不同的上下车的可能？
公益西桥
……
安河桥北
确定了地铁的行驶方向，
是“组合”问题，
共有 种方法.(如何改编 )
改编：
北京地铁四号线是南北走向的双向地铁，线路南起公益西桥站，北至安河桥北站，全线共设24座车站，若某人从一个站上车，从另一个站下车，求有多少种不同的上下车的可能？
公益西桥
……
安河桥北
地铁四号线是双向行驶，
需确定两站之间上下车的顺序，变成了“排列”问题，共有 种方法.
在研究排列组合问题时：
（1）通常先将具体问题抽象转化为相应的数学模型，
（2）注意辨析是“排列问题” 还是“组合问题”.
既：看取出对象后是否考虑顺序.
例3. 现有30件分别标有不同编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件.
（1）一共有多少种不同的取法？
只是取出3件，它们之间无需考虑顺序
等同于“从30个不同对象中任取3个并成一组”，是“组合”问题.
共 种取法.
（2）若3件产品中恰有1件次品，则不同的取法共有多少种？
第一步，取出1件次品，有 种取法；
（注意，虽已满足限制要求，但事件还没有完成）
第二步，取出2件合格品，无需考虑顺序，有 种取法.
根据分步乘法计数原理，共有 种.
3件产品中：1件次品，2件合格品
取出两类不同对象，可分成两步完成：
（3）若3件产品中至少要有1件次品，则不同的取法共有多少种？
3件产品中：有1件次品，2件合格品；
或者：有2件次品，1件合格品；
所以，可以按照取出次品的件数分成两类计算.
法1. 按取出次品的件数分成两类进行：
第一类，取出3件产品中有1件次品，有 种取法；
第二类，取出3件产品中有2件次品：
第一步，取出2件次品，无顺序要求，有 种取法；
第二步，再取出1件合格品，有 种取法.
由分步乘法计数原理，有 种取法.
由分类加法计数原理，共有 种.
（3）若3件产品中至少要有1件次品，则不同的取法共有多少种？
法2.排除法，反面：没有次品.即：3件全是合格品.
“任取3件”-“3件都是合格品”=“3件中至少有1件次品”
即： 种取法.
显然用排除法解决这个问题，分类情况更少，研究更简便.
可能会出现的解法：
取出的3件产品中至少要有1件次品，所以分成两步完成：
第一步，先取出1件次品，有 种方法；
第二步，再从剩余29件产品中随意取出2件，有 种方法.
由分步乘法计数原理，有 种取法.
思考：到底是哪里出现了问题？
不妨设2件次品为 和 ，28件合格品为 、 、…、 .
若3件产品中，有2件次品和1件合格品，可能会出现下面的情况：
建议：研究有关“至多”或“至少”这样的计数问题时，要么直接分类研究，或运用“排除法”计数.
在分析时，可以先对比两种方法，看看哪种方法分类的情况较少，计算更为简便，再选择恰当的方法解决.
先 后 和先 后 ，选取产品应是无序.这里选2个次品时考虑了先后顺序.应将有序取出2件次品产生的重复次数去掉.
例4.要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学：
（1）如果甲得4本，乙得3本，丙得2本，则共有多少种不同的分法？
（注：每本书是不同的，每人分配到多少本是确定的）
“定向分配问题”，可以分成三步完成：
第一步，先选4本书给甲，无顺序要求，有 种方法；
第二步，再选3本书给乙，有 种方法；
第三步，最后2本书都给丙，有 种方法.
由分步乘法计数原理，共有： 种方法.
边选书，边分
配：分步分配
（2）如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共
有多少种不同的分法？
注意这个问题与上一问的区别：“不定向分配问题”，如何解决？
相比问题（1），可以先分组，后分配，分两步完成：
第一步，将9本书按照4本、3本、2本分为三组：
第二步，将三组书分配给3个人，即三组书全排列：
由分步乘法计数原理，共 种方法.
（3）如果每个人都得3本，则共有多少种不同的分法？
每人都得3本，等同于“甲3本，乙3本，丙3本”.
每个人分配到多少本书是确定的，属于“定向分配问题”，
可以通过“分步分配”完成：
第一步，先选3本书给甲，有 种方法；
第二步，再选3本书给乙，有 种方法；
第三步，最后3本书都给丙，有 种方法.
共有： 种方法.（无需3组书全排列）
关于“分配”的问题：也是计数问题中的一个重要模型.
像问题1和问题3，每个人分配到多少本书是确定的：
“定向分配”问题，可以通过“分步分配”完成.
像问题2，每个人分配到多少本书是不确定的：
“不定向分配”问题，可以“先分组，再分配”
将研究的问题进行调整：
如果要把9本不同的课外书分成三组：
（1）如果一组4本，一组3本，一组2本，有多少不同的分法？
（2）如果每组都是3本，有多少不同的分法？
这里只是把不同的对象分成了若干组，没有了分配环节.这种问题在计数过程中，与之前的“分配”问题有什么区别呢？这个问题作为思考题，留给同学们课后探究.
例5. 现要从A,B,C,D,E,F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？
限制条件：A 不能 安排在 甲岗位 上
特殊元素
特殊位置
排除法
法1. 从特殊元素“A”入手，注意“可选人数”多于“岗位数”，可按照4个岗位中是否含A，分成两类：
甲
乙
丙
丁
第一类，4个岗位中含A，分成两步完成：
A的位置：
由分步乘法计数原理，含A的方法共有 .
再确定其他岗位人选，共 种方法.
第二类，4个岗位中不含A：
从剩余5人中选4人排到4个岗位中，有 种方法.
综上，根据分类加法计数原理，共有 种方法.
甲
乙
丙
丁
法2.从特殊位置“甲”入手，分成两步完成：
甲
乙
丙
丁
非A：
根据分步乘法计数原理，共有： 种方法.
可以看到，由于岗位数少于人数，因此甲岗位上必须有人，无需分类. 所以相比从特殊元素“A”入手，从特殊位置“甲”入手更为简单.
法3：排除法
先忽略题目中的限制要求：
先“从6人中任意选4人安排到这4个岗位”，再从中去掉“A在甲岗位上”，剩余的就是“A不在甲岗位上”.
共： 种方法.
不难看出，这个问题从反面思考，分类情
况也很少，因此用排除法解决也非常方便.
解决 “含限制条件”的问题时，之前的3种方法都是常用的解题策略.
但是对于不同的具体问题，3种方法在运用过程中的复杂程度并不一致，建议同学们学会具体问题具体分析，养成良好的思维习惯，先动脑再动手，选择恰当的方法解决问题.
【课堂小结】
本节课我们综合运用了排列与组合的知识解决了一些具体问题：
1.在含限制条件的计数问题中，如果是关于“至少”或“至多”的问题，建议同学们先分析对比“直接分类法”和“排除法”，选择分类更少、计算更简便的方法.
【课堂小结】
2.“分配问题”的研究方法：
课上所讲的是将不同的对象进行分配的问题：
（1）定向分配：分步分配；
（2）不定向分配：先分组，后分配.
事实上，还有 “相同对象的分配问题”，有兴趣的同学可以学习B版教材，选择性必修第二册，P21-P22的“拓展阅读”，体会二者之间的区别.
【课堂小结】
3. 综合计数问题
通过前面课程的学习，我们接触了很多典型的计数模型以及研究计数问题的方法. 在处理具体问题时，注意要辨析：是否为排列组合问题；对于综合问题一般会采用“先分类，后分步”的解题策略，注意结合具体问题背景，选择合适的方法研究，不断提升优化解题的能力.
【作业】
B版教材选择性必修第二册 P22.A组 5； 思考题.
5. 现有10件产品（除了2件一等品外，其余都是二等品），从中抽取3件：
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰有1件一等品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件一等品的抽法有多少种？
思考：如果要把9本不同的课外书分成三组：
（1）如果一组4本，一组3本，一组2本，有多少不同的分法？
（2）如果每组都是3本，有多少不同的分法？
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组合与组合数（1）
高二年级 数学
【情境与问题】
（1）小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第
二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共
有多少种不同的选择方式？
问题1：你能否用适当的符号列举两问的选择方式？
设3所学校分别为A,B,C.
问题1的所有情况： 问题2的所有情况：
（A,B），（B,A）， （A,B），
（A,C），（C,A）， （A,C），
（B,C），（C,B）. （B,C）.
问题2：两问的结果是否一样？你能否从“列举”的结果或
运用“排列”的知识，说明理由.
列举结果
问题3：你能否找到两个问题的内在联系，并用数学式表示？
相对于问题（2），问题（1）也可以看作分成两步完成：
第一步，从3所学校中任取2所学校，即完成问题（2），
设有 种方法；
第二步，将选出的2所学校全排列，排列数为 .
根据分步乘法计数原理：方法数为 .
所以 ，即：问题（2）的方法数 .
事实上，问题（2）也是计数问题中的一种重要模型.
问题4：你能否类比排列的知识，从问题（2）中提炼出数学本质吗？
从3所大学中选择2所，有多少种不同的选择方式？
↓这个问题本质是：
从3个不同对象中任取出2个对象，不考虑顺序并成一组，有多少种不同的组法？
↓
像这样的计数问题：组合问题（一般化，概括定义）
【抽象概括，形成概念】
1.组合
一般地，从 个不同对象中取出 （m≤n）个对象并成一组，称为从 个不同对象中取出 个对象的一个组合.
组合定义的特征：
（1）取出的对象互不相同的；（互异性）
（2）取出后“并成一组”，即与对象的顺序无关.（无序性）
可以把每一个组合都看成是一个集合.
排列 组合
定义 一般地，从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象，按照一定顺序排成一列. 一般地，从n个不同对象中，取出m（m≤n）个对象，
并成一组.
相同点 从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象 不同点 与对象的顺序有关 （先选后排） 与对象的顺序无关
（只选不排）
2.组合数
从 个不同对象中取出 （m≤n）个对象的所有组合
的个数，称为从 个不同对象中取出 个对象的组合数.
用符号 表示.
组合数的计算：（排列 组合）
排列问题也可以按 “先选后排”分两步完成：
第一步，先从n个不同对象取出m个，是组合问题，方法有 种；
第二步，将选出的m个对象做全排列，有 种排法.
由分步乘法计数原理，则 ，
所以组合数
从n个不同对象中取出m个做排列，方法数为 .
组合数公式：
（1） （连乘形式）
（2） （阶乘形式）
特殊组合数：
（1）当 时， （注意 ）；
（2）当 时， ；
（3）当 时， .
结合具体问题来直观解释这3个组合数的含义.
对于组合数的概念以及在应用时，需注意：
（1）组合数 既表示一个结果，又表示一种运算.
（2）
（连乘） （阶乘）
通常进行具体计算，或组合数 中m较小时，
使用连乘形式比较方便，
如： .
当组合数中含有未知量，或需要将组合数进行“恒等变换” 时，通常用阶乘的形式，可起到简化列式的效果.
也可以利用信息技术软件来计算组合数.B版教材选择性必修第二册P21，了解相关方法.
例1. 平面内有5个点，其中任意三点不共线，且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度不相等.
（1）这些点共可以连成多少条不同的线段？
由题意，任意三点不共线，由两点可确定一条线段，
并且是否为相同线段，与两个端点顺序无关.
共有 条线段.
“组合”问题：
(具体计算,应用连乘公式)
例1. 平面内有5个点，其中任意三点不共线，且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度不相等.
（2）以这些点为端点，共可以作出多少个不同的非零向量？
①任意一点为始点，另一点为终点，均可作出一个非零向量；
②对调起点和终点的顺序，对应的向量不同，因此要考虑顺序；
③连成的所有线段中，任意两条线段长度不相等，向量互不相同.
“排列” 问题： 个非零向量.
例1. 平面内有5个点，其中任意三点不共线，且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度不相等.
（3）以这些点为顶点，共可以组成多少个不同的三角形？
以任意三个不共线的点作为顶点，都可以构成一个三角形，
且是否为同一个三角形，与三个顶点的顺序无关.
“组合”问题： 个三角形.
研究具体计数问题时：
（1）先将具体问题转化为相应的数学模型.
（2）注意辨析是“排列”问题，还是“组合”问题？
即判断：取出对象后，是否需要考虑顺序.（重要区分标志）
在之前的结果中，发现一组相等的组合数： .
这里是否具有一定规律？在后面练习中继续观察
例2. 计算：（1） ；（2） .
（2）
（1） ；
在具体计算时，应用组合数的连乘公式计算.
通过例1和例2，我们发现了三组相等的组合数：
， ， .
共同特征：（1）两个组合数的下标相同；
（2）两个上标的和等于下标.
将满足这样2个特征的组合数一般化
归纳： .
证明： .
也可以从组合数的含义来解释这个等量关系
组合数中含有“未知量”，应用阶乘公式展开
，所以等式成立
表示为：从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数. 当确定了取出哪m个对象时，那么剩余的（ n–m ）个对象也就确定下来了.所以取出m个对象的每一个组合，与选出剩余（ n–m ）个对象的每一个组合是一一对应的.那么，从n个不同对象中取出m个对象的组合数 ，与从n个不同对象中取出（ n–m ）个对象的组合数 是相等的.
组合数性质1： .
(1)反映了组合数的对称性；
(2)在计算组合数时，当 时，
可以将计算 转化为计算 ，会更加简便.
(后续练习中慢慢体会)
例3. 一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取出5个球：
（1）共有多少种不同的取法？
只是取出球，所以不用考虑取出球的先后顺序，
因此等同于“从8个不同对象中任取5个并成一组”，
是组合问题.方法数为
适当运用组合数的性质，
可起到简化计算的效果
（2）如果必须取红球，共有多少种不同的取法？
因为红球只有1个，所以取出的红球已经确定下来，
只需再从剩余的7个白球中取出4个即可，
组合问题，方法数为：
（3）如果不取红球，共有多少种不同的取法？
（可以从两个角度研究这个问题）
法1. “不取红球”，也就是 “取出的5个球均为白球”，
问题等同于“从7个不同白球中取出5个白球”，
仍是组合问题.
所以不同的取法有： 种.
（3）如果不取红球，共有多少种不同的取法？
从“任意取出5个球”中，去掉“必须取红球”即可.
利用前2问的结论可以得到： 种.
法2：出现类似“不”的否定词语---排除法
（3）如果不取红球，共有多少种不同的取法？
直接法：
排除法：
下标相同的两个组合数的和，也是一个组合数
那么这样的等量关系是偶然的还是必然的？
在同一问题中，从两个角度分别计算整理得到的，猜测应具备普遍性
尝试问题一般化，试试能否提炼数学本质，归纳结论？
原问题：一个口袋里有7个不同白球和1个红球，从中取出5个球，有多少种不同的取法？
假设有n+1个不同对象，甲是其中一个，
从这n+1个对象中取出m+1个，这样的组合共有多少个？
（类比之前的计数过程，也从两个角度研究这个问题）
问题可一般化为：
法1. 从 个对象中取出 个的组合数为 .
法2. 分成两类情况：
第一类，如果取出的对象中含甲，
等价于“从剩余n个不同对象再取出m个的组合”，有 种方法.
第二类，如果取出的对象中不含甲，
等价于“从剩余n个不同对象取出m+1个的组合”，有 种方法.
根据分类加法计数原理，共有 种方法.
可得： .（利用公式推导证明选做）
组合数性质2： .
在关于一些组合数的计算或化简变换中，会经常用到.
如，计算：
法1： .
法2： .
下标相同，上标相差1
合二为一，化简运算
【课堂小结】
1.组合与组合数的概念
本节课我们从具体问题中抽象出组合的概念，通过类比排列，概括出问题的本质特征，得到组合的定义.并利用排列数公式推导出组合数的公式.
【课堂小结】
2.注意组合的特征：
（1）“取出的对象互不相同”，即互异性；
（2）“取出的对象并成一组”，即无序性.
（区分排列与组合的重要标志）
3.组合数的公式和性质
公式：
性质1： ；
性质2： .
主要用于化简变换，简化计算.
【课堂小结】
4.体会组合数性质的推导过程.
在两个性质的推导过程中，我们经历了“发现、猜想、归纳、证明”的学习过程，探究出组合数的性质，感受到了从特殊到一般的探究过程，体会了转化与化归的数学思想，提升了抽象概括能力,
【课堂小结】
【作业】B版教材 第22页 A组：1，3； B组：3（选做）.
A组 1.北京队、上海队、天津队、广东队四个足球队举行友谊
比赛，每两个队要比赛一场
（1）求一共有多少场比赛？并列出所有可能的情况；
（2）最终产生冠、亚军各一个队，一共有多少种情况？并列
出所有可能的冠亚军情况.
A组 3.计算：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
B组 3.选做：
利用组合数公式证明： .
谢谢
