高中数学北师大版必修第一册第二章 3函数的单调性（Word含解析）

函数的单调性
一、选择题
1．下列函数中，在区间(0,2)上是增函数的是(　　)
A. y＝3－x　　　　　　　　 B. y＝x2＋1
C. y＝－x2 D. y＝x2－2x＋2
2．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是增函数，则(　　)
A. k> B. k<
C. k>－ D. k<－
3．函数f(x)＝2－在区间[1,3]上的最大值是(　　)
A．2 B．3
C．－1 D．1
4．函数y＝ax＋3在区间[0,2]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为(　　)
A. － B. 0
C. D. 或－
5．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有<0成立，则有(　　)
A．函数f(x)先是增加的，后是减少的
B．函数f(x)先是减少的，后是增加的
C．函数是R上的增函数
D．函数是R上的减函数
6．函数y＝的单调减区间为(　　)
A. [0，＋∞)
B. (－∞，0]
C. (－∞，0)，(0，＋∞)
D. (0，＋∞)∪(－∞，0)
二、填空题
1．函数y＝x2＋3x－5的单调增区间为________，单调减区间为________．
2．已知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，则f与f(a2－a＋1)的大小关系是________．
3．已知函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋2在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
1．画出函数y＝|4－x2|的图像，并指出它的单调性．
2．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增加的；
(2)若f(x)在上的值域是 ，求a的值．
3．判断函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性，并加以证明．
4．若函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是减少的，求a的取值范围．
一、选择题
1.解析　因为y＝3－x在(0,2)上单调递减，y＝－x2在(0,2)上单调递减，故A、C不对，又y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，故D不对．
答案　B
2.解析　由题意得2k＋1>0得k>－，故选C.
答案　C
3.解析　容易判断f(x)在区间[1,3]上是增加的，所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)＝1.
答案　D
4.解析　a显然不等于0，当a>0时，由f(2)－f(0)＝2a＝1，得a＝；当a<0时，由f(0)－f(2)＝－2a＝1，得a＝－，∴a的值为±.
答案　D
5.解析　当a>b时，有f(a)－f(b)<0，∴f(a)0，∴f(a)>f(b)，∴函数是R上的减函数．
答案　D
6.解析　y＝＝1＋，利用函数的图像可知，答案为C.
答案　C
二、填空题
1.答案　　
2.解析　∵a2－a＋1＝2＋≥>0，
∴，a2－a＋1均为(0，＋∞)内的值，
又f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∴f(a2－a＋1)≤f.
答案　f(a2－a＋1)≤f
3．解析　由题意可得－≤2，得a≥－3.
答案　[－3，＋∞)
三、解答题
1.解　y＝|4－x2|＝图像如图所示：
函数在(－∞，－2]和[0,2]上是减少的，在[－2,0]和[2，＋∞)上是增加的．
2.解　设任意x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，
∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增加的．
(2)∵f(x)在上是增加的，
∴f＝，f(2)＝2，易得a＝.
3.解　设－1f(x2)－f(x1)＝－
＝，
∵－1∴x1－x2<0，x1·x2＋1>0，x－1<0，x－1<0.
故当a<0时，f(x2)>f(x1)，
f(x)＝在(－1,1)上为增函数；
当a>0时，f(x2)f(x)＝在(－1,1)上为减函数．
4.解　设任取x1，x2，且 －2f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝
＝.
因为－2所以x1＋2>0，x2＋2>0，x1－x2<0，
由f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是减少的，
得f(x1)－f(x2)>0，
∴2a－1<0，∴a<.
故a的取值范围是.