苏教版高中数学必修第二册 12.4　复数的三角形式 课件(共46张PPT)

(共46张PPT)
12.4　复数的三角形式*
通过复数的几何意义，了解复数的三角形式；了解复数的代数形式与三角形式之间的关系；了解复数三角形式的乘除运算及其几何意义.
课标要求
素养要求
通过了解复数的三角形式及复数三角形式乘、除的几何意义，发展数学抽象及数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.复数的辐角
非负半轴
任一非零的复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角有无限多个值，这些值相差______的整数倍，其中适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫作复数z＝a＋bi的辐角主值，记作arg z，即0≤arg z<2π.
2.辐角主值
2π
3.复数的三角形式
r(cos θ＋isin θ)
两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的____，其积的辐角等于这两个复数的辐角的____.
即r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝__________________________________.
4.复数三角形式的乘法
积
和
r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的____，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的____.
5.复数三角形式的除法
商
差
点睛
复数三角形式的特征
(1)r≥0.
(2)相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值.
(3)cos θ与isin θ之间用“＋”号连接.　　　
1.思考辨析，判断正误
(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个.( )
(2)复数0的辐角是任意的.( )
(3)复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式可以转化为代数形式.( )
(4)两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等.( )
√
√
√
√
2.复数1＋i的辐角主值为(　　)
C
B
4.若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝________.
解析　因为z＝cos 30°＋isin 30°，
则z2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝(cos 30°＋isin 30°)×(cos 30°＋isin 30°)＝cos 60°＋isin 60°，故arg z2＝60°.
60°
课堂互动
题型剖析
2
题型一　求辐角主值、模
明确复数三角形式的相关概念是准确解答此类问题的基础，另外掌握复数代数形式的乘、除运算是关键.
思维升华
【训练1】　已知z＝1＋cos θ＋isin θ(π<θ<2π)，求arg z.
∴复数z对应的点在第四象限，
题型二　复数的代数形式化为三角形式
【例2】　将下列复数代数式化成三角形式：
将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：
(1)先求复数的模；(2)确定复数对应的点所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数的三角形式.
思维升华
D
题型三　复数三角形式的乘法运算
【例3】　计算：
直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加.
思维升华
2i
＝2(cos 90°＋isin 90°)＝2i.
题型四　复数三角形式的除法运算
A.2π－3θ B.3θ－2π
C.3θ D.3θ－π
B
直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.
思维升华
一、牢记4个知识点
1.复数的辐角及辐角主值.
2.复数三角形式的特征.
3.复数的代数形式与三角形式的互化.
4.复数的三角形式乘法与除法的法则.
二、掌握1种方法——转化法
三、注意1个易错点
辐角与辐角主值的区别与联系：
区别：辐角θ有无数个，在0≤θ<2π范围内的辐角才是辐角主值，辐角主值只一个.
联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂小结
分层训练
素养提升
3
B
A.cos 60°＋isin 60° B.－cos 60°＋isin 60°
C.cos 120°＋isin 60° D.cos 120°＋isin 120°
D
∴z＝cos 120°＋isin 120°.
3.(多选题)下列复数不是复数三角形式表示的是(　　 )
ABC
A.3 B.5 C.11 D.12
BC
结合各选项，可知n＝5或11.
5.设A，B，C是△ABC的内角，若z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一个实数，则△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.形状不能确定
C
二、填空题
4
－3－3i
8.设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为__________________.
解析　∵(1＋i)z＝i，
三、解答题
9.写出下列复数的三角形式：
10.求证：
(1)[r(cos θ＋isin θ)]2＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)；
(2)[r(cos θ＋isin θ)]3＝r3(cos 3θ＋isin 3θ).
证明　(1)[r(cos θ＋isin θ)]2＝r2(cos θ＋isin θ)2
＝r2(cos2 θ－sin2θ＋2icos θsin θ)＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)，
所以待证式成立.
(2)[r(cos θ＋isin θ)]3＝[r(cos θ＋isin θ)]2· [r(cos θ＋isin θ)]
＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)·r(cos θ＋isin θ)
＝r3[cos(2θ＋θ)＋isin(2θ＋θ)]＝r3(cos 3θ＋isin 3θ)，
所以待证式成立.
A.1 B.2 C.3 D.4
B
D
设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，
又α∈(0，π)，
本节内容结束