(共22张PPT)
二项式定理与杨辉三角（1）
高二年级 数学
实际情境：
小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，那么不难知道，投篮结果可以分成11类：投中0次，投中1次，投中2次……投中10次.
× × × √ × √ × × × ×
比如在一个表格的十个格子中画勾或叉，画勾代表投中，画叉代表没投中，假设投中2次，分别是在第4次、第6次就如下表：
投中1次，就有
种情况，
投中0次只有1种（即
）情况，
投中2次就有
种情况，……，投中10次有
种情况．
因此，小张投篮10次，结果共有
种情况，那么上式的结果是多少呢？
我们知道：
而且
首先观察右边各项，思考一下，展开式中的每一项是怎么形成的呢？
发现
①
从三个括号中各取一个字母相乘得到，比如第一个括号取a，第二个取b，第三个取a，就能得到 ；
所以展开式中的每一项都一定是3次项，即展开式中只能含有 ， ， ， .
第二步，研究每一项具体有多少个呢？比如要得到 ，
①式右边的3个括号中，要有1个取b，
剩下2个都取a，
因此有
种取法，所以有
个 ；
同理可知，①式右边展开后有
个 ；
可以看成①式右边的3个括号中取0个b得到的结果；
可以看成①式右边的3个括号中取3个b得到的结果；
因此
①
归纳反思：
以选择多少个b为对象，
选0个b（就是
）系数为 ，
选1个b（就是
）系数为 ，
）系数为 ，
选2个b（就是
）系数为 ，
选3个b（就是
）系数为 .
选k个b（就是
（1）对
来说，展开式中的每一项都是n次项；
（2）按b的升幂排列，有
共n+1种结果；
）系数为 ，a和b指数和为n.
n次式，选k个b（就是
（3）以选择多少个b为对象：
猜想规律：
二项式定理及相关概念
（要求n是正整数，k是满足0≤k≤n的自然数.）
一般地，当n是正整数时，有
上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为
的展开式，
它共有n+1项，其中
是展开式中的第k+1项
将
称为二项展开式的通项公式．
表示），
称为第k+1项的二项式系数.
（通常用
例1.（1）写出
的展开式．
解：在二项式定理中，令a=1，b=x，n=6，可得
（2）写出
的展开式．
解：在二项式定理中，令a=2，b= –x，n=5，可得
小结：
利用二项式定理写展开式，要确定a,b分别是什么，括号内的两项，前面一项看成是a，后面一项看成是b，然后按照定理展开即可．
比如
，就令a = p , b = q；
，就令a = p, b = – q．
例2.（1）
的展开式的第4项是_______，含
的项的二项式系数是________．
解：根据通项公式
由已知 k = 5，则其二项式系数为
（2）求
的展开式中含
的项.
解：因为
所以展开式中的第k+1项为
要使此项含
，必须有9 – 2 k = 3，从而有k = 3，
因此含
的项为第4项
含
的项的系数是–84，二项式系数是
（3）求
的展开式中常数项的值和对应的二项式系数．
解：因为
所以展开式中的第k+1项为
要得到常数项，必须有3 –k = 0，从而有 k = 3，
因此常数项是第4项，且
可知常数项值为160，对应二项式系数
小结：
S1：确定定理中的a , b , n 在题目中指的都是什么；
求二项展开式中指定项的解题程序：
S2：写通项公式
，通过指数运算进行整理；
S3：若所求指定项的次数为t，令指数运算后整理出的字母指数等于 t（常数项的指数为0），计算出 k ；
S4：将 k 代入通项公式 ，即为所求．
令x=1，右端的展开式就是所求的问题，而左端代入1，得到
赋值法
根据二项式定理可知
再对比课前投篮问题，要计算的是
对于
，令x=1，可得
令x = – 1，可得
（②+③）÷2，可得512.
小结：
利用赋值法得到二项式系数和的规律
如果令a = b = 1，则有
结论1：在
的展开式中，二项式系数和为
二项式系数的和只与n有关．
如果令a = 1，b = –1，则有
也就是说
结论2：在
的展开式中，奇数项的二项式系数和
等于偶数项的二项式系数和．
课堂小结
本节课学习了二项式定理，即
要清楚二项展开式有n+1项，按b的升幂排列，利用定理
可以直接写二项展开式．二项式定理的通项公式为
利用通项公式求指定项．注意区分系数和二项式系数.
课后作业：
教材P33 习题3–3A2，4，6； P34 习题3–3B2
谢谢(共23张PPT)
二项式定理与杨辉三角（2）
高二年级 数学
复习上节课的主要内容：
1.二项式定理：
二项展开式有n+1项，按a的降幂排列，利用定理可以直接写二项展开式．
2.二项式定理的通项公式为：
，利用通项
公式可以求指定项．
3.区分清楚系数和二项式系数，并理解应用赋值法得到二项式系数和为
巩固练习：
已知
的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则
n =__，展开式中含有
的项是___，该项的二项式系数是___.
解：依题意可知
，因此n=10.
从而可知展开式的通项为
要使此项含有
，必须有20 – 2k = 6，从而k=7，
因此含有
的项为
该项的二项式系数是120.
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
··· ···
杨
辉
三
角
图片来自互联网资源
我国古代数学家贾宪在1050年前后就给出了类似的数表，这一成果在南宋数学家杨辉著的《详解九章算术》中得到摘录．因此，这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”．西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”，这些文献认为类似的数表是数学家帕斯卡于1654年发现的．实际上比我国发现数表要晚了600多年．
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
··· ···
杨
辉
三
角
杨辉三角至少具有以下性质：
（1）每一行都是对称的，且两端的数都是1；
这个对称可以表述为：与首末两端“等距离”的两个数相等.
说明：杨辉三角中的数代表的二项展开式的二项式系数，由组合数性质可知，
，所以每一行的数都是对称的．
两端的数分别是
，显然二者均为1.
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
··· ···
杨
辉
三
角
杨辉三角至少具有以下性质：
（2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．
可以说成：从第三行起，每一行除了两端的1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.
杨辉三角至少具有以下性质：
说明：杨辉三角中的数代表的二项展开式的二项式系数，从第三行起，假设其中的任意一个数为
，其上一行
与这个数相邻的两个数分别为
，由组合数性质
可知，
，显然结论成立．
根据性质，大家能不能直接写出杨辉三角中第7行的数呢？
1 7 21 35 35 21 7 1
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
当二项式的次数不太大时，可以借助规律直接写出二项式系数．
第7行
杨辉三角至少具有以下性质：
（3）杨辉三角的每一行的数都是开始越来越大，然后越来越小（中间大、两边小）．
第6行 n=6 1 6 15 20 15 6 1
第7行 n=7 1 7 21 35 35 21 7 1
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
··· ···
杨
辉
三
角
说明：假设
，则
化简可得
，从而有
利用二项式系数的对称性可知，二项式系数
是先逐渐变大，再逐渐变小.
当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，
当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．
莱布尼茨三角形
例1.求证：
能被100整除．
证明：因为
由二项式定理可知
注意到上述右边的展开式中，前面98项都是100的倍数，最后一项为1，由此可知，原数能被100整除.
借助二项式定理可以解决整除的问题，其方法是利用二项式定理将目标表达式按照除数展开，得出除数的整数倍即可．
归纳反思：
例2.当n是正整数且x>0时，求证：
证明：由二项式定理可知
因为x > 0，所以上式右边的项都是正数，
从而可知
例如，假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.2%，那么6年后该地区的人口应为
这个数大概是多少呢？
利用例2的结果可知
实际应用
经济学中常借助二项式定理进行近似值估算
保留6位有效数字的近似值107.419.
课堂小结
本节课学习了杨辉三角，并通过观察总结杨辉三角中数字的特征，再次回顾了组合数的性质．应用二项式定理证明整除问题及估计近似值．
课后作业
教材P33习题3–3A3、5 P34习题3–3C4
拓展作业
通过书籍或者网络查找有关数学材料，了解杨辉三角中蕴含的其他数学内容，将有关材料整理成小论文，与其他同学进行交流．
谢谢
