2.1等式性质与不等式性质(第1课时)课件(共18张PPT)-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019）必修第一册

(共18张PPT)
第2章 一元二次函数、方程和不等式
代数学习
数
式
等式
方程（组）
不等式
一元一次不
等式（组）
函数
解不等式（组）的理论依据是什么？
方程、不等式（组）与函数之间有什么联系？
2.1 等式性质与不等式性质
第一课时
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、
大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不
少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等
式表示, 不等用不等式表示。
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子
【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”
连接起来的式子
问题1: 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某路段限速；；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
设该路段行驶的汽车速度为，则
，
设三角形三边分别为，则
设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂
线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ
A
B
C
P
Q
合作探究一 用不等式或不等式组表示不等关系
小结：用不等式表示实际问题中不等关系的方法
从实际问题中
抽象出不等关系
用字母表示不等关系中的相关量
用不等号连接这些字母
建立不等式
数学抽象
问题2： 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，如何定价才能使提价后的销售的总收入不低于20万元？
设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为
______________万元。于是，不等关系：“销售总收入
不低于20万元”可以用不等式表示为__________________
0.2）x
0.2）x
如何解这个不等式呢？
不等关系：销售的总收入不低于20万元
温故知新
追问：解方程的主要依据是什么？类比解方程，你能找到
解不等式的主要依据吗？
解方程的主要依据：
类比
解不等式的主要依据：
等式性质
不等式性质
比较两个式子
的大小关系
合作探究二 比较数或式子的大小
问题3：对于两个实数a，b，怎样判断它们的大小关系？
方法一、利用数轴上的位置关系比较
我们知道，实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．
方法二、利用作差法或作商法比较
实数大小比较的基本事实
【作差法】
①
②
③
比较大小关系
研究差值符号
运算
【解】运用作差法：
(1)
所以＞
=）+）
=(a-b)(a-b)
=(a+b)
(a+b)，即
因为a>0, b>0,所以a+b>0, 又
【总结】比较两个代数式大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形；
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)作出结论．
变式1：课本40页练习3变式2:设M＝，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　 )A．M>N　　　B．M＝N C．MA
如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标灵感来源于中国古代数学家赵爽的弦图，图中有什么相等关系和不等关系？
很显然赵爽弦图是我们在初中研究勾股定理时的模型，我们把
它抽象成如图所示的图形.
设图中直角三角形的两个直角边长为，那么正方形的边长就是，这样，四个直角三角形的面积之和就是，正方形的面积为，很显然正方形的面积大于三角形面积和.即
当直角三角形变为等腰直角三角形时，内部的小正方形变成了一个点，此时，有，所以综合可知，
合作探究三 一个重要不等式
一般地，，这个不等式被称为重要不等式，当且仅当时，等号成立.
证明：利用完全平方公式得：
当且仅当时，等号成立. 所以0
由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
，当且仅当时，等号成立.
追问：，这个猜想成立吗？请证明。
等式性质与不等式性质（1）
实际
问题
不等
关系
不等式
不等式
性质
数学抽象
两个实数大小
关系的基本事
实（作差法）
？